圆锥曲线中定点和定值问题解题方法

1、v1.0可编写可改正寒假文科加强（四）：圆锥曲线中的定点和定值问题的解答方法【基础知识】1、对知足必定条件曲线上两点连接所得直线过定点或知足必定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，成立点的坐标知足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），而后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决.2、在几何问题中，有些几何量与参数没关，这就组成了定值问题，解决这种问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是经过考察极端地点，研究出“定值”是多少，而后再进行一般性证明或计算，马上该问题波及的几何式转变为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.假如试题以客观题形式出现

2、，特别方法常常比较见效.题型一：定点问题法一：特别研究，一般证明；法二：设该直线（曲线）上两点的坐标，利用点在直线（曲线）上，成立坐标知足的方程（组），求出相应的直线（曲线），而后再利用直线（曲线）过定点的知识加以解决。例1设点A和B是抛物线?SkipRecordIf.?上原点之外的两个动点，且?SkipRecordIf.?，求证直线?SkipRecordIf.?过定点。解：取?SkipRecordIf.?写出直线?SkipRecordIf.?的方程；A再取?SkipRecordIf.?写出直线?SkipRecordIf.?的方程；最后求出两条直线的交点，得交点为?SkipRecordIf.?

3、。O设?SkipRecordIf.?，直线?SkipRecordIf.?的方程为?SkipRecordIf.?，由题意得?SkipRecordIf.?两式相减得?SkipRecordIf.?，即?SkipRecordBIf.?，?SkipRecordIf.?直线?SkipRecordIf.?的方程为?SkipRecordIf.?，整理得?SkipRecordIf.?又?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?，?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?，?SkipRecordIf.?，?SkipRecordIf.?1v1.0可编写可改正?SkipRecordIf

4、.?直线?SkipRecordIf.?的方程为?SkipRecordIf.?把?SkipRecordIf.?代入直线?SkipRecordIf.?得方程恒成立，因此直线?SkipRecordIf.?过定点?SkipRecordIf.?解：由上得?SkipRecordIf.?又?SkipRecordIf.?，?SkipRecordIf.?代入得?SkipRecordIf.?，整理得?SkipRecordIf.?，?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?直线?SkipRecordIf.?过定点?S

5、kipRecordIf.?【变式操练1】已知椭圆?SkipRecordIf.?的中心在座标原点，焦点在?SkipRecordIf.?轴上，椭圆?SkipRecordIf.?上的点到焦点距离的最大值为?SkipRecordIf.?，最小值为?SkipRecordIf.?（）求椭圆?SkipRecordIf.?的标准方程；（）若直线?SkipRecordIf.?与椭圆?SkipRecordIf.?订交于?SkipRecordIf.?，?SkipRecordIf.?两点（?SkipRecordIf.?不是左右极点），且以?SkipRecordIf.?为直径的圆过椭圆?SkipRecordIf.?的右

6、极点，求证：直线?SkipRecordIf.?过定点，并求出该定点的坐标2v1.0可编写可改正题型二定值问题（1）经过考察极端地点，研究出“定值”是多少，而后再进行一般性证明或计算，马上该问题波及的几何式转变为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.解题方法假如试题以客观题形式出现，特别方法常常比较见效（2）进行一般计算推理求出其结果。.例2：过抛物线?SkipRecordIf.?：?SkipRecordIf.?（?SkipRecordIf.?0）的焦点?SkipRecordIf.?作直线?SkipRecordIf.?交抛物线于?SkipRecordIf.?两点，若线段?SkipRecordIf.

7、?与?SkipRecordIf.?的长分别为?SkipRecordIf.?，则?SkipRecordIf.?的值必等于（）A?SkipRecordIf.?B?SkipRecordIf.?C?SkipRecordIf.?D?SkipRecordIf.?抛物线?SkipRecordIf.?（?SkipRecordIf.?0）的焦点?SkipRecordIf.?，准线?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?：?SkipRecordIf.?又由?SkipRecordIf.?，消去?SkipRecordIf.?得?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?，?3?图v1.

8、0可编写可改正?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?例3B是经过椭圆x2y21.(ab0)右焦点的任一弦，若过椭圆中心的弦MN/AB，a2b2求证：|MN|2：|AB|是定值分析：对于此题，MN,AB分别为中心弦和焦点弦，可将其倾斜角退到0，此时有|MN|24a2，|AB|2a,|MN|2:|AB|2a（定值）下边再证明一般性设平行弦MN、AB的倾斜角为，则斜率ktan，MN的方程为y(tan)x代入椭圆方程，又|MN|(1k2)|x1x2|即得|MN|24a2b21AB方程为ytan(xc)同理可得b2c2sin2，另一方面，直线22ab221222a（定值）|AB|b2

9、c2sin2由可知|MN|:|AB|对于式也可直接由焦点弦长公式获得例4设上的两点，已知向量，,若mn=0且椭圆的离心率短轴长为2，为坐标原.()求椭圆的方程；（）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；（）试问：AOB的面积能否为定值假如是，请赐予证明；假如不是，请说明原因.【答案】解：（）由题意知椭圆的方程为4v1.0可编写可改正（）由题意，设AB的方程为由已知得：()（1）当直线AB斜率不存在时，即,由mn=0得又在椭圆上，因此，因此S=因此三角形AOB的面积为定值（2）.当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b,由5v1.0可编写可改正因此三

10、角形的面积为定值.【高考优选传真】1（2012年江苏省16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆x2y21(ab0)的左、a2b2右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)已知(1，e)和e，3都在椭圆上，此中e为椭圆的离2心率（1）求椭圆的方程；（2）设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于P【分析】（1）由题设知，a2=b2c2，e=c，由点(1，e)在椭圆上，得a12e21c2222b222b22=1，2=a21。a2b21a222=1bc=aa=abcab由点e，3在椭圆上，得2223322222e1c1a131a44a24=0a2=2b2

11、1a2a4a44椭圆的方程为x221。2y6v1.0可编写可改正（2）由（1）得F1(1，0)，F2(1，0)，又AF1BF2，设AF1、BF2的方程分别为my=x1，my=x1，Ax1，y1，Bx2，y2，y10，y20。注意到m0，m=22直线AF1的斜率为=m2（ii）证明：AF1BF2，PBBF2，即PB1BF21PBPF1BF2AF1。PF1AF1PF1AF1PF1AF1AF1BF1PF1=BF2AF12.【2012高考真题上海理22】（4+6+6=16分）在平面直角坐标系?SkipRecordIf.?中，7v1.0可编写可改正已知双曲线?SkipRecordIf.?：?SkipRe

12、cordIf.?1）过?SkipRecordIf.?的左极点引?SkipRecordIf.?的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及?SkipRecordIf.?轴围成的三角形的面积；2）设斜率为1的直线?SkipRecordIf.?交?SkipRecordIf.?于?SkipRecordIf.?、?SkipRecordIf.?两点，若?SkipRecordIf.?与圆?SkipRecordIf.?相切，求证：?SkipRecordIf.?；（3）设椭圆?SkipRecordIf.?：?SkipRecordIf.?，若?SkipRecordIf.?、?SkipRecordIf.?分别是?

13、SkipRecordIf.?、?SkipRecordIf.?上的动点，且?SkipRecordIf.?，求证：?SkipRecordIf.?到直线?SkipRecordIf.?的距离是定值.yxb，得x22bxb210.由y212x2设(1,y1)、(2,y2)，则x1x22b.（lbylfx）PxQxx1x2b21又2，因此OPOQxx2yy2xxb(xx)b211212122(b21)b2bb2b220，8v1.0可编写可改正设O到直线MN的距离为d，由于(|OM|2|ON|2)d2|OM|2|ON|2，1113k233，即d=3因此d2|OM|2|ON|2k213.综上，O到直线MN的距

14、离是定值.3、（2012高考真题福建理19）如图，椭圆E:x2y21(ab0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e1。过F1a2b22的直线交椭圆于A,B两点，且ABF2的周长为8。（）求椭圆E的方程。（）设动直线l:ykxm与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x4订交于点。尝试究：在座标平面内能否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明原因。（）设ca2b2则ec1a2c3a24b2a2ABAF2BF28AF1AF2BF1BF28ABF2的周长为8a2,b3,c14a9v1.0可编写可改正22椭圆E的方程为xy143【反应训练】1过抛物线y22px(

15、p0)上必定点M(x0，y0)(y00)，作两条直线分别交抛物线于Ax1，y1)、Bx2，y2)，当MA与MB的斜率存在且倾斜角互补时，则y1y2等(y0于()A2B2C4D42设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y22px(p0)上的两点，而且知足OAOB，y1y2等于()p2Bp2A43C2p2Dp210v1.0可编写可改正4、过点M(p,0)任作一条直线交抛物线y2=2px(p0)于P、Q两点,则+的值为（）A.B.C.D.5、椭圆=1(ab0)上两点A、B与中心O的连线相互垂直，则的值为（）A.B.C.D.6、已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线

16、的一个交点，而且PF1PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有（）A.+=4B.+=2+e22=4+e22=27、已知定点?SkipRecordIf.?在抛物线?SkipRecordIf.?：?SkipRecordIf.?（?SkipRecordIf.?0）上，动点?SkipRecordIf.?且?SkipRecordIf.?求证：弦?SkipRecordIf.?必过必定点8、设?SkipRecordIf.?为抛物线?SkipRecordIf.?上位于?SkipRecordIf.?轴双侧的两点.O为坐标原点.A(1)若?SkipRecordIf.?证明直线AB恒过一个定点;(2)

17、若?SkipRecordIf.?,证明直线AB恒过一个定点。OB11v1.0可编写可改正【变式操练详尽分析】【变式操练1详尽分析】12v1.0可编写可改正由于以?SkipRecordIf.?为直径的圆过椭圆的右焦点?SkipRecordIf.?，?SkipRecordIf.?，即?SkipRecordIf.?，?SkipRecordIf.?，?SkipRecordIf.?，?SkipRecordIf.?【变式操练2详尽分析】解：（）由题意知椭圆的方程为（）由题意，设AB的方程为13v1.0可编写可改正得又在椭圆上，因此，因此S=因此三角形AOB的面积为定值（2）.当直线AB斜率存在时：设AB的

18、方程为y=kx+b,由14v1.0可编写可改正因此三角形的面积为定值.【反应训练详尽分析】22y1y22代入得2p2py1y20，解得y1y24p.3、【分析】此题可用特别值法不如设弦AB为椭圆的短轴M为椭圆的右极点，则A，b，B，b，Ma，0)因此应选(0)(0)(B4、【分析】不如取PQx轴,则P(p,p),Q(p,-p),|MP|=p,|MQ|=p.+=.5、【分析】则=.假定A、B为椭圆的长轴和短轴的极点，清除选项A、B、C，选D.6、【分析】设椭圆长轴长为2a1,双曲线实轴长为2a2,焦距均为2c,15v1.0可编写可改正|PF|=a1+a,|PF|=a-a2.2211PF1与PF2

19、垂直,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.2-a)22222+=2.112212?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?式可化为?SkipRecordIf.?，即?SkipRecordIf.?将代入得，?SkipRecordIf.?直线?SkipRecordIf.?方程化为：?SkipRecordIf.?16v1.0可编写可改正直线?SkipRecordIf.?恒过点?SkipRecordIf.?8、【分析】1、（1）解:?SkipRecordIf.?即?SkipRecordIf.?.因此过定点(1,0).（2）由于?SkipRecordI

20、f.?,得?SkipRecordIf.?因此?SkipRecordIf.?直线AB过定点(2P,0).且有?SkipRecordIf.?抛物线方程为?SkipRecordIf.?因此过抛物线上A、B两点的切线方程分别是?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?SkipRecordIf.?因此?SkipRecordIf.?为定值，其值为0.10、【分析】xMm,Ax1y1Bx2假定在，使MAMB轴上存在点(0)为常数设(，)，(，y2)当直线AB与x轴不垂直时，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为yk(x1)，将yk(x1

21、)代入x23y25，消去y整理得(3k21)x26k2x3k250.17v1.0可编写可改正k44(3k21)(3k25)0，366k2x1x23k21，23k513、设椭圆E:x2y21（a,b0）过M（2，2），N(6,1)两点，O为坐标原点，（I）a2b2求椭圆E的方程；（II）能否存在圆心在原点的圆，使得该圆的随意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明原因。解:（1）由于椭圆E:x2y21（a,b0）过M（2，2），N(6,1)两点,a2b218v1.0可编写可改正42111a28椭圆E的方程为x2y2因此a2b2解得a28因此161111b2484a2b2b24（2）假定存在圆心在原点的圆，使得该圆的随意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且ykxmOAOB,设该圆的切线方程为ykxm解方程组x2y2得x22(kxm)28,841即(12k2)x24kmx2m280,则=16k2m24(12k2)(2m28)8(8k2m24)0,即8k2m240 x1x24km12k2228)2228k2,yy12(kx1m)(kx2m)2xx12kmx(1x2)2k(2m4km2m要2m28km212k2m12x1x212k2k12k2使OAOB,需使x1x2y1y20,即2m