空间几何向量法之点到平面的距离-向量点到面

1、空间几何向量法之点到平面的距1要求一个点到平面的距离，可以分为三个步骤：找出从该点出发的平面的任意一条斜线段对应的向量；求出该平面的法向量；求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，这 就是该店到平面的距离。AB n例子：点A到面a的距离d = （注：AB为点A的斜向量，n是a面的法向量，n点B是面a内任意一点。）求立体几何体积（向量法）体积公式：1、柱体体积公式：V = Sh2、椎体体积公式：V = ! S.h 4 3、球体体积公式：V = n R3课后练习题例题：在三棱锥BACD中，平面ABD平面ACD，若棱长AC=CD=AD=AB=1，且ZBAD=300, 求点D到

2、平面ABC的距离。要求平面a外一点P到平面a的距离，可以在平面a内任取一点A，则点P到平面a的距离即为d=PA | - IPA n I = IPA nI PA I-I n II n I建立如图空间直角坐标系，则 A （ 2,0,0 ）， B （二，。，： ）， C （ 023,0 ）， D （ 2,0,0）.l,:.AC =（多,0）, AB =（胃,0,2）, DC = （-寸,0）设 = (x,y,z)为平面仪的一个法向量，则: AB =号X + ： = 0n AC = 2 x + : y = 0y = -：x,z fx，可取 =m为d代入I DC n II n I 得，d =土1 = 3

3、9, ，一 ，-K I39，即点D到平面ABCd代入I DC n II n I 得，d =土1 = 39, ，一 ，-K I39，即点D到平面ABC的距离是节9。1-已知 A(2,3,1)、B(4,1,2)、C(6,3,7)、D(-5,-4,8)是空间不共面的四点，求点D到平面ABC的距离.解：设n = 3,y,z)是平面ABC的一个法向量，则由nAB = 0及nBC1 = 0,得-2x - 2y + z = 02x + 2y + 5z = 0DAnd=49 49而=1T2y = x32 ，取x=3,得n = (3,2,-2)，于是点D到平面ABC的距离为z = 一一 x32.已知四边形ABC

4、D是边长为4的正方形，E、F分别是AB和AD的中点，GC平面ABCD, 且 GC=2，求点B到平面EFG的距离.解：建立如图2所示的空间直角坐标系C-xyz，则G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0), F(4, 2,0)，A GE =(2,4,-2),GF =(4,2,-2), be =(2,0,0).设平面EFG的一个法向量为n = 3,y,z)，则由图Nn,GE = 0 及 n.GF = 0，得2x+4y - 2z = 04x + 2y - 2z = 0 x=y一c，取y=1，得n = (1,1,3)，于是点B到平面EFG的距离为d= ；z = 3ynJ1111BE,n3.在

5、棱长为1的正方体ABCD-A BCD中，求点C到平面A BD的距离。111111解：建立如图3所示的空间直角坐标系D-xyz，则A1 (1,0,1),B(1,1,0),C 1 (0,1,1).设平面A1BD的一个法向量为n = 3,y,z)，则由nDA = 0及nDB = 0，得x + z = 0nx + y = 0z=-x_C Dn2 2/3，取x=-1,得n =(-1,1, 1),于是点C1到平面A1 BD的距离为d= = J3 = 3 .如图 4,四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点，CA=CB=CD=BD=2, AB=AD=A zAL囹42，求点E到平面ACD的距离

6、.解：由题设易知AOBD，OCBD，AOA=1，OC=V3，.OA2 +OC2 =AC2，.匕AOC=90，即 OAOC.以O为原点，OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则A(0,0,1),B(1,0,0),C(0, v3 ,0),D(-1,0,0),二1思 =3 君e(5，_，。)，ad =(-1,0,-1), AC =(0, 3 ,-!), ED =(-5 ,，).乙 匕2 匕设平面ACD的一个法向量为n = 3, y, z)，则由n AD = 0及 AC =。，得x + z = 03y - z = 0 x=-zx/3，取z=*3得n =(-总,1, 3

7、)，于是点E到平面ACD的距离为d=y=z3EDn21EDnT5-如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ZABC=90, AB=BC=AA1=2, M、N 分别是A、BC1的中点(I )求证：BC1 平面 A1B1C；求证： 切平面A1ABB1；求三棱锥MBC1B1的体积.(I )VABC-A1B1C1 是直三棱柱，.BB11 平面 A1B1C1，AB1BA1B1.T7 D I J D J n I VA76=f 0厂厂 O 口厂 I A O 又 BC 1 _LAB， AB _L 平面 BCC B，. BC LAB .VBB1 = CB=2，ABC1B1C，ABC1 平面 A1B1C.又 A1Bu 平面A1ABB1，MN。平面 A1ABB1，.切平面A1ABB1.(Ill)取又 A1Bu 平面A1ABB1，MN。平面 A1ABB1，.切平面A1ABB1.(Ill)取C1B1中点丑，连结MH.:M是A1C1的中点，.MH A1B1，又A1B1平面BCC1B1,：.MHL平面BCC1Bl，MH是三棱锥M-BC1B1的高，.三棱锥 M-BCB 的体积 V = - * S，MH = - x - x 4 x 1 =-1 13 海菖3 236-如图，在三棱柱 ABC-ABC 中，ACBC, AB1 BE：AC = BC = BB1= 2, D为 AB 中点，且CD 1 DA(1)求证：B