空间向量求二面角

1、空间向量求二面角设兄疽分别为平面哧的法向量二面角aT-味小为&向量云.的夹角为1 , 饱则有。+伊=砒图1）或*呼（图2）基本结论:构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角.可按如下步骤求出平面的法向量的坐耳一第一步（设）:设出平闵法向量的坐标为/7 =xyz）一第二步例）:根据= 0且n& =0可列出方程组Mn+ ir + 勺：-0第三步（解）:把H看作常数，用E表示X、* 第四取）:取E为任意一个啰（当然取得越特殊越好X便得到平面法向量L的坐标.正方体ABEF-DCE矿中，M,N分别为AC. BF的中项（如图），求平面MNA与平而MNE所成角的 余弦值.设平面A

2、MN的法向量叫=牡.v，z)( - jQjj AN=( nr一 I 1 nANLhi=U, =吕肖=：闩=_：.-InJInJ 占* 3故所求两平面所成南的金弦值为:.7练习：如图所示，四棱锥P-ABC叫.底面ABCD为正方形,PD_L平面ABCD, PDAB=2, % F, G分别为FC,P，BC的中点，()求证PA1EK求二面侑D-FE的奈弦值.【解析】以D为坐标原点.度立如图所示的空间直角坐标系D-xyzTD(Oa S 2,Q),C(-2.O, 0),P(0; U,1),F(0, 0,L。).1)证明：PA- (0, 2.EF = 1)证明：PA- (0, 2.EF = (1, 0, f

3、ill PAEF= 1xQ + 0 x2+(-2) x o = I所以PA 1 EF,易知虱=0 0，1), ET-= (L 0, U), FG =(-2t 1; - 1) s设平面iDFG的法向量m = (x!, yH却*则 mDF=!解得nm-FG=(L 1, I)是平面E网的一个法但董，el ,m n _ 2 _ 2 _-jlO园为g皿 n = i=X72=710=f设二面角D-FG-E的平面角为日，由图可知& = n - -= 0 -1，皿设N = i,，n二)是平宙AH了的-个法向长抑崩=W： 一ultG = 0 -,r - 2t + - = 0-A 12j r - z-r = r=

4、 z. 取 m = 11.1.1),一心3小13一小丁 =亦=即点应 T面EFG的距离.为毛.例3加相二三.“一疵甘奇即;为勇力E求证一冬上平面；求:面角A-A.D-B的余弦值;求点(:到平面A.BD的距离.解析(1)；解析(1)；正明:如明.取日。的中点。-迷接S.因为一孩L为一二角号一对以AOVBC因为在因为在燮柱 ABC 一一平一工 _4M1 -T liii取中三t 以取中三t 以OB. QA的方冬为轴,y轴、二轴的正方向建立空间直角坐标系，则 剧L（Mi. L - 1.1.0）, J.in.2- -.3）- .4（0,0，3）,瓦（1,20）, C（ - 1、0、0）.所以拓1 = （

5、13 -何击=（- 20）质l = （- 1、二的区 1 =一 1 方孟 #= -2 + 2 + 11=0-而函：=-1 - I - 3 = 0.所 .4B-LBL)-.即.4：_LKEL瓦 1_疆-又助.与&4交于点乱.听以一场_L平-曲且助.(勾连接AD,设平面AAD的法向量为M = (s j*AD = ( - LL . 1.1 = iXk2.() I.PJ ： ji -L .12J- n 1.L1.-hAD= 0,fl -L4 = 0、令2=L11 = i - ；3 - CM）为平面A AD的一个法由量.Hhl）% AB- 1 F；i； A BD-所妇I为乎面A.BD的法旬量，.；,x

6、化房 - J -申 拓 g 3 .顼 =一=、.片=-4 时址|- *故二牌角且一4刀一的余弦值为平.由（幻知痂1为平面AiBD的法向量， 易讶=|-*0。） 一席=|一二所以点C到口由且/）的兆离,：2=、l = ._1跖| 一如图，在长方体风公一内。禅1中,E, F分别是棱BC7 C心上的点,CF=AB=2CE7 ABADAA =1:2:4.U)求均执线时与山。所成角的金弦值;证明.M_L平面A.ED,求.ntfUt- ED- FE CE C如图，矩 形ABCD 中，AD 平面 ABE, AE = EB = BC = 2 , G 是 AC 中点，f 为AE 平面BCE ； (II)求三棱锥

7、CE上的点，且BFAE 平面BCE ； (II)求三棱锥C - BGF的体积.(本小题满分12分)将棱长为。正方体截去一半(如图7所示)得到如图8所示的几何体，点E，F分别 是BC，DC的中点.证明：AF1 ED】；图7图8求三棱锥E- AF。】的体积.图7图8(本题满分12分)如图，三棱锥P - ABC中，PB 底面ABC , ZBCA = 90。， PB = BC = CA = 4 , E为PC的中点，M为AB的中点， 点F在PA上，且AF = 2FP.求证：BE 平面PAC ；求证：CM/平面BEF ；求三棱锥F - ABE的体积.A如图2，四边形ABCD为矩形，PD上平面ABCD，AB = 1, BC = PC = 2,作如图3折叠， 折痕EF DC，其中点E,F分别在线段PD,PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的 点记为M，并且MF CF .(1)证明：CF上平面MDF ; (2)求三棱锥M - CDE的体积(本小题满分13分)如图5所示，在四棱锥P-ABCD