立体几何与空间向量

1、立体几何与空间向量一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.1.（理）空间四边形OABC.其对角线为OB、AC、M、N分别为对边OA、BC的中点，点G在线段MNI MG I _ I MG I _ 2 上，且I GN I _I -,OB, OC 表示向量 OG = xOA + yOB + zOC，则x，y，z、.111111的值分别为（)a. x _ 3y_ 3,z _-3B. x = 丁，y6_ 3,z3111111C. x _ ,y_ /，z _D. x _ ,y_ c，Z363336（文）已知ABC所在平面内的一点尸，满足：A

2、P的中点为Q，BQ的中点为R，GR的中点P.设42244224a. a +-bb. a-_ bc. a-_ bD a + b777777.77b表示向量AP =（)，2.有以下命题：如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a，b关系是不共线;_八； 八上 八K，A，B，C 一O, A，B，C为空间四点，且向量，A，B，C 一 TOC o 1-5 h z 定共面；已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量a+b，a-b，c也是空间的一个基底，其中正确 的命题是（）A.B.C.D.3.在棱长为1的正方体ABCDAlB1ClD1中，若点P为ABCD的重心，则D/与平面ADD1A1所成

3、的角 的正切值为（）40 A.2、.40 A.2、.13 B.-13v10C.104.（理）已知正四面体OABC，E、F分别为AB、OC的中点，则OE与BF所成角的余弦值为（）ABABCD（文（文）若o为原点，对一切e er，向量OP_ （1+cos e2 -sin e）的长度的最大值为A. kA. k5 -1B1c. 1 +15P为四面体SABC的侧面SBC内一点，若动点P到底面ABC的距离与P到S的距离相等，则动点P的轨迹是侧面SBC内的（）A.椭圆的一部分B.椭圆或双曲线的一部分口双曲线或抛物线的一部分D.抛物线或椭圆的一部分如图，设P、Q AABC内的两点，2 1 2 1 且 AP _

4、 AB + AC, AQ _ AB + AC, 且 5 53 4 ，则AABP的面积与AABQ的面积之比为（ TOC o 1-5 h z A. 1B. 4C. 1D. 15543已知ABCDA1B1C1D1为长方体，对角线AC1与平面A1BD相交于点G,则G是&的（）A-重心B-垂心C-内心。.外心ABCDAlB1ClD1是正方体，点P在线段A1Cx上运动，异面直线BP与AD1所成的角为。，则。的取值范围是（）且满足PA PB = 0,A. （0, 4）B. （0, 6）C且满足PA PB = 0,PB PC = 0，9.已知三棱锥PPB PC = 0，PC PA = 0，则三棱锥PABC的侧

5、面积的最大值为（A. 2BA. 2B.1C. 2D. TOC o 1-5 h z 直三棱柱ABCA1B1C中，AC1与B1C在侧面ABB1A1上的射影长相等，则ABC 一定是（）A.直角三角形B.等腰三角形 C.等边三角形D.等腰直角三角形如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（）A. 48B. 18C. 24D. 36对于已知直线s如果直线b同时满足下列三个条件：与直线s异面；与直线s所成的角为定值。：与直线s的距离为定值d. 那么这样的直线b有（）A. 1条B. 2条C.

6、3条D.无数条二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.13.已知空间三点1，1 ）、B13.已知空间三点1，1 ）、B （-1，0，4）、C （2，-2，3 ），则AB与CA的夹角0的大小是.三棱锥中，已知两相对棱长分别为16和18，其余四条棱长都是17，则此三棱锥的体积是.在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，/ACD=90，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角， 则B、D间的距离为.（理）设有四个条件：平面Y与平面a、p所成的锐二面角相等；直线。旺，sL平面a、bL平面p ；s b是异面直线，s ua , b u。，且a p，b a ；平面a内距离

7、为d的两条平行直线在平面p内的射影仍为两条距离为d的平行直线;其中能推出a p的条件有.（文）有如下四个命题：平面a和平面P垂直的充要条件是平面a内至少有一条直线与平面P垂直;平面a和平面P平行的一个必要不充分条件是a内有无数条直线与平面P平行;直线a与平面a平行的一个充分不必要条件是平面a内有一条直线与直线a平行；两条直线平行是这两条直线在一个平面内的射影互相平行的既不充分也不必要条件.其中正确的序号是.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(本小题满分10分)如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形.ABC = ZBCD = 90 ,AB=BC=P

8、B=PC=2CD，侧面 PBC底面ABCD.PA与BD是否相互垂直，请证明你的结论.求二面角PBDC的正切值.求证：平面PADL平面PAB.(本小题满分12分)已知直四棱柱ABCDA B C D的底面是菱形，ABC = 60 , E、F分别是棱CC与BB上的点，且EC=BC=2FB=2.求证：平面AEFL平面AA C C；求截面AEF与底面ABCD所成二面角的正弦值.(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，PDL底面人8。2，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB，PB的中点.求证：EFXCD；在平面PAD内求一点G，使GFL平面PCB，并证明你的结论.(只理科做)求DB与

9、平面DEF所成角的余弦值.(本小题满分12分)如图，已知直三棱柱ABCA1BlC1的侧棱长为2,底面AABC是等腰直角三角形，且ZACB = 90，AC=2, D 是AA1的中点.求异面直线AB和C1D所成的角的余弦值;设E是AB上一点，试确定E的位置，使得 A1EC1D.(只理科做)在(2)的条件下，求点D 到平面BCE的距离.（本小题满分12分）如图（甲）所示为一几何体的展开图.（1）沿图中虚线将它们折叠起来，是哪一种几何体？试用文字描述并画图；（2）需要多少个这样的几何体才能拼成一个棱长为6cm的正方体？请你在图（乙）中棱长为6cm的 正方体ABCDA1B1C1D1中指出这几个几何体的名

10、称.（3）如图（丙）所示，设棱长为6cm的正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点为&试求：（文）异面直线EB与AB1所成角的大小；（理）平面AB1E与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值。甲乙丙22.（本小题满分1222.已知：如图，一个等腰百角三角形的硬纸片ABC中，ACB = 90 , AC=4cm, CD是斜边上的高， 沿CD把ABC折成百二面角.（1）如果你手中只有一把能度量长度的百尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角ACDB是百 二面角？证明你的结论；（2）试在三棱锥的面ABC上确定一点尸，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，试证明你的结 论.（3）如果在折成的三棱锥内

11、有一个小球，求出小球半径的最大值.参考答案一 一 1 2一 1 2 一 1 (理)B OG = OM + MG = _ OA + _MN = -OA + _ (-OM + OC + CN)23231_. 2 1 1 1- 1_. 1 一二=_ OA + - OA + OC + -(OB - OC) = OA + - OB + -OC.23 226331 (1 (文)DAP = (AR + AC)=1 1、1122( AB + AQ) + AC = 4 AB + 2 AC1 一 7 一 1 1 一 , + _ AP n AP = -AB + _ AC.88422.C 对于“如果向量a, b与任何

12、向量不能构成空间向量的一组基底，那么，a, b2._八 TTT； 所以错误；对于，由于）O, A, b, C为空间四点，且向量OA, OB , OC不构成空间的一个基底，故向量OA, OB，OC共面，点O, A, B, C 一定共面；对于，向量a, b, c是空间的一个基底，故向量a, b, c不共面，从而可以判断向量a+b, a-b, c也不共面，.向量a+b, a-b, c是空间3.的一个基底.A 作PQLAD,连结DQ，则ZPD3.的一个基底.A 作PQLAD,连结DQ，则ZPD1Q就是D1P与平面ADDA所成的角，在 RtAPD1Q 中，PQ = 3,D Q 二*0tan PDQ =1

13、D1QPQ 面4.（理）A 如图，设正四面体O-ABC中的棱长为1, OA =a, OB则 a b = b c = c a = 12(a+b),bF =1 c-b11OE BF = (a+b)-、c-b) = ( a c+ b c-a b-lbl2)OE BF111 1 1(+ 1)cos OE, BF)=2(4 4 2) 2 -,| OE l l BF l .双.、322,2故OE与BF所成角的余弦值为3 .（文）C设点P的坐标为 顷,I 工=1 + cos 0)，则有 | y = 2 - sin 0可得点P（文）C设点P的坐标为 顷,I 工=1 + cos 0)，则有 | y = 2 -

14、sin 0可得点P的轨迹方程为圆5.C6. B如图，设 AM = 2 AB, AN = 1 AC, 设 55，则 AP = AM + AN.由平行四边形法则知NPAB，所以SAB=1，同理可得AB = 4.故SAABP，AABCAABCAABQ即选B.M第6题解题图第7题解题图7. A G 点一定在面 ADB 与面 AACC 的交线 AO 上，而 AGO-A AGCy，-0 = 0 = 1，.G 11111 1 A A, 2为-AyD的重心.8. C连结BC，则AD/BC，异面直线BP与AD1所成角即/QBP，当P运动到C1时，ZC1BP=0 （不能取到），当P运动到A1时，/qBP= |，.

15、0IPHI，依题意知IPHI=IPSI.且IPGI=IPHI/sinG （定值）.IPGIIPSW | PS1 1 (| 31 为定值 I PG I I PG I.在平面内，一动点到一定点的距离与它到一定直线距离的比为一定值e，且0e1的轨迹为椭圆，故 点P的轨迹为椭圆在ASBC内的一部分.B 点A、B1已经在平面ABBlA1内，关键找C、C1的射影位置，取C、C1的射影分别在AB. A 的中点即可.D 每个面都有4条棱与其垂直，6X4=24，每个对角面都可组成两个“正交线面对”，则6X2=12, 共有24+12=36. D在正方体ABCDA1B1C1D1中，设AB=a，CC=b，则b与a异面

16、，b与a所成的角为定值。=90 b与a的距离d为定值，那么，在平面CDD1C1中，与b平行的直线也满足全部条件.故这样的直线有 无数条.13.120.cosAB,CA=(2) x(1) + (1) X 3 + 3 x(一2)一 71142，AB, CA=120 .如图所示，AB=16，SC=1813.120.cosAB,CA=(2) x(1) + (1) X 3 + 3 x(一2)一 71142，AB, CA=120 .如图所示，AB=16，SC=18，其余各棱长均为17.取AB的中点M，则SMAB，MCAB，. 面SMCL面ABC，过点S作SH底面ABC，在SMC中SM=MC=15过M作MN

17、SC，N为SC的中 点，14. 57618 x 12 72.在 RtASMN 中 SM=15，SN=9. .MN=12.又 SH MC=SC MN，SH=-5，S.匕-ABC = 3 X 1 X 16 X 15 X = 576.15. 2或克 如图因为 ZACD = 90。，所以 AC CD = 0BA = AC =0.因为折叠后AB与CD成60角，同理，所以BA, CD)=60 或 120 .因为 BD = BA + AC + CD，所以9 9*9 9*-、二 0*9 BD2 = BA之 + AC2 + CD 2 + 2BA AC + 2BA CD + 2AC CD = BA2 + AC24

18、 ( BA, CD= 60。)_H 一2 ( BA, CD= 120。)1 9- x-_ 一 一 Cd + 2BA CD = 3 + 2 x 1 x 1 x cos BA, CD= FG CP =ar , z2a，/八 、- (0, a,a )= 2 )a2a+ a( z -) = 0，则 z=0.:G是坐标为（? , 0, 0）,即G为AD的中点.（3）（只理科做）设平面DEF的法向量为n =（工，y, ）.3,得 1 a，、/ aay，z)2，2,3,得 1 a，、/ aay，z)2，2,y, z) (a, a，0) = 0 -2(+y + z) 二 , ax+2 y = 0 -取 x=1

19、，则 y=-2，z=1,n=(1, -2, 1).BD ncos BD,n二I BD I n ,2a 气66.DB与平面DEF所成角大小为? arccos3(即arcsinW ).266考点备忘本题主要考查线线垂直，线面垂直，线面角.第（2）问是找出G的位置，通过方程的思想来解决G点的位置，线面角的问题是高考的热点考 题，解答此题需要一定的空间想象和运算 等方面的能力.20. （1）如图，取CC1的中点F，连结AF， 则AFqD，故ZBAF （工其补角）为异 面直线AB与C1D所成的角.在ABF 中，AB=2.；2，AF=BF=、：5，则 cosBAF=2AB 2 -冬-4AF AF .：55

20、arccos（2）过q作C1GA1B1，垂足为G，则G为A1B1的中点，且C1GAAB，故GD为Cfl在平面AA1B1B 上的射影.由A1EC1D，可知A1EDG.在矩形AA1B1B中，AB=22，AA=2, D为AA的中点，G为A1B1的中点，在RtADA1G中，AD2 3DH AE1 DH=TG =3 又 W AD = AE，*2-2 AB，11.E为AB的中点.（3）（只理科做）设点D到平面B1C1E的距离为h.易知点C1到平面B1ED的距离为/2，S耕 2-易知点C1到平面B1ED的距离为/2，S耕 2-13 -=_ BE DE = -v/2 ,2，则 V=1.C1 BED在 AB C

21、 E 中，BC =2，则 BE=CE=6，则 S F1 11 111AB1C1E1由 DB C E = C B ED 得 3、七 X =，解得1 1113.旨 丁.考点备忘 在求解角的问题时，注意紧扣定义，寻求角的位置，将空间胸转化为平面角来处理；计算 空间距离特别是点到平面的距离转化为用等体积法来计算，使问题更加简捷有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥，如图甲所示21. (1)(2)(3)分别为四棱锥A1CDD1C1，AABCD, A1BCCB（文）取DD1中点F，连结AF，则AFBE. ZFAB 1为异面直线EB与AB1的成的角.易计算得 BF=9cm，AF=35 cm，AB 1= 6 : 2 cm.2 AF . ABicosF4 _ AF2 + AB2 - FB2 _ 45 + 2 AF . ABi c0S 1 =2 AF AB- 2 X 3 松 X 6.巨=lcm.v10.异面直线EB与AB1所成角为arccos顶.（理）设B1E，BC的延长线交于点G，连结GA，则GA为平面AB与平面ABC所成二面角的棱， 在底面ABC内作BH上AG，垂足为H，连结HB1，由三垂线定理知：B1HAG.ZBHB为平面AB1E与平面ABC所成二面角的平面角.在 RtAABC 中，BH=兰