习题解答(第1章)

1、第1章习题答案三、解答题1设P(AB)=0，则以下说法哪些是正确的A和B不相容；A和B相容；AB是不行能事件；AB不必定是不行能事件；P(A)=0或P(B)=0P(AB)=P(A)解：(4)(6)正确.2设A，B是两事件，且P(A)=，P(B)=，问：在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少解：因为P(AB)P(A)P(B)P(AB)，又因为P(B)P(AB)即P(B)P(AB)0.所以(1)当P(B)P(AB)时P(AB)取到最大值，最大值是P(AB)P(A)=.(2)P(AB)1时P(AB)取到最小值，最小值是P(AB)=+=.3已知事件

2、A，B知足P(AB)P(AB)，记P(A)=p，试求P(B)解：因为P(AB)P(AB)，即P(AB)P(AB)1P(AB)1P(A)P(B)P(AB)，所以P(B)1P(A)1p.4已知P(A)=，P(AB)=，试求P(AB)解：因为P(AB)=，所以P(A)P(AB)=,P(AB)=P(A),又因为P(A)=，所以P(AB)=，P(AB)1P(AB)0.6.5从5双不一样的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中起码有两只配成一双的概率是多少解：明显总取法有nC104种，以下求起码有两只配成一双的取法k：法一：分两种状况考虑：kC51C42(C21)2+C52此中：C51C42(C21)2为恰有1双

3、配对的方法数法二：分两种状况考虑：kC51C81C61+C522!此中：C51C81C61为恰有1双配对的方法数,C52恰有2双配对的方法数2!法三：分两种状况考虑：kC51(C82C41)+C52此中：C51(C82C41)为恰有1双配对的方法数法四：先知足有1双配对再除掉重复部分：kC51C82-C52法五：考虑对峙事件：kC104-C54(C21)4此中：C54(C12)4为没有一双配对的方法数法六：考虑对峙事件：kC104C101C81C61C414!此中：C101C81C61C41为没有一双配对的方法数4!所求概率为pk13.C104216在房间里有10个人，分别佩带从1号到10号的

4、纪念章，任取3人记录其纪念章的号码求：求最小号码为5的概率；求最大号码为5的概率解：(1)法一：法二：C521p12C103C421C10320，法二：，法二：C31A521p12A103C31A421p20A1037将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率解：设M1,M2,M3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则A433C32A429C411P(M1)8,P(M2)16,P(M3)164343438设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求拿出的2此中全部是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少解：设M2,M1,M

5、0分别事件表示拿出的2个球全部是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则C320.3,P(M1)C31C21C220.1P(M2)220.6,P(M1)2C5C5C59口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率解：设M1=“取到两个球颜色相同”，M1=“取到两个球均为白球”，M2=“取到两个球均为黑球”，则MM1M2且M1M2.所以()(M2)(M1)()C52C3213.PMPM1PPM2C82C822810若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率解：这是一个几何概型问题以x和y表示任取两个数，在平面上成立xOy直角坐标系，如图.任取两个数

6、的全部结果组成样本空间=(x，y)：0 x，y1事件A=“两数之和小于6/5”=(x，y)：x+y6/5所以124A的面积12517P(A)的面积125图11随机地向半圆0y2axx2（a为常数）内掷一点，点落在半圆内任何地区的概率与地区的面积成正比，求原点和该点的连线与x轴的夹角小于4的概率解：这是一个几何概型问题以x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标，表示原点和该点的连线与x轴的夹角，在平面上成立xOy直角坐标系，如图.随机地向半圆内掷一点的全部结果组成样本空间=(x，y)：0 x2a,0y2axx2事件A=“原点和该点的连线与x轴的夹角小于4”，y)：0 x2a,0y2axx2,0=(x

7、4所以1212P(A)A的面积2a4a111的面积222a12已知P(A)1,P(BA)1,P(AB)1，求P(AB)432解：P(AB)P(A)P(BA)111,P(B)P(AB)111,4312P(A|B)1226P(AB)P(A)P(B)P(AB)1111.4612313设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中起码有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。设A=“所取两件产品中起码有一件是不合格品”，B=

8、“两件均为不合格品”；P(A)1P(A)1C622C422C102，P(B)C102，315P(B|A)P(AB)P(B)2/21P(A)P(A)153514有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中拿出一个球，此球是白球的概率是多少已知上述从第2个箱子中拿出的球是白球，则从第1个箱子中拿出的球是白球的概率是多少解：设A=“从第1个箱子中拿出的1个球是白球”，B=“从第2个箱子中拿出的1个球是白球”，则P(A)C213,()2，由全概率公式得C5155P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)3C

9、512C41235C915C91,45由贝叶斯公式得1P(A|B)P(A)P(B|A)3C15/2315.P(B)5C9452315将两信息分别编码为A和B传达出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为，而B被误收作A的概率为，信息A与信息B传递的屡次程度为2：1，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少解：设M=“原发信息是A”，N=“接收到的信息是A”，已知P(N|M)0.02,P(N|M)0.01,P(M)2.3所以P(N|M)0.98,P(N|M)0.99,P(M)1,3由贝叶斯公式得P(M|N)P(M)P(N|M)20.98(20.9810.01)196.P(M)P(N|M)

10、P(M)P(N|M)33319716三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1,1,1，问三人中起码有一人能将此密534码译出的概率是多少解：设iA=“第i个人能破译密码”，i=1,2,3.已知P(A1)1,P(A2)1,P(A3)1,所以P(A1)4,P(A2)2,P(A3)3,534534起码有一人能将此密码译出的概率为1P(A1A2A3)1P(A1)P(A2)P(A2)14233.534517设事件A与B互相独立，已知P(A)=，P(AB)=，求P(BA).解：因为A与B互相独立，所以P(AB)=P(A)P(B),且P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B

11、)-P(A)P(B)将P(A)=，P(AB)=代入上式解得P(B)=，因为A与B互相独立,所以A与B互相独立，所以P(BA)P(B)1P(B)10.50.5.18甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为和，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少解：设A=“甲命中目标”，B=“乙命中目标”，M=“目标被命中”，已知P(A)=,P(B)=.因为甲乙两人是独立射击目标.所以P(M)P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.50.75.P(AM)P(A)0.6P(A|M)P(M)0.75P(M)0.819某部件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为，；第二种工

12、艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为，试问：用哪一种工艺加工获得合格品的概率较大些第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是时，状况又怎样解：设Ai=“第1种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2,3；Bi=“第2种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2.1）依据题意，P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，P(B1)=,P(B2)=,第一种工艺加工获得合格品的概率为P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.70.80.90.504,第二种工艺加工获得合格品的概率为P(B1B2)=P(B1)P(B2)=0.70.80.56,可见第二种工艺加工获得合格品的概率大。（2

13、）依据题意，第一种工艺加工获得合格品的概率仍为，而P(B1)=P(B2)=,第二种工艺加工获得合格品的概率为P(B1B2)=P(B1)P(B2)=0.49.可见第一种工艺加工获得合格品的概率大。B）1设两两互相独立的三事件A，B和C知足条件ABC=，P(A)P(B)P(C)1,且已知2P(ABC)9，求P(A)16解：因为ABC=，所以P(ABC)=0,因为A，B，C两两互相独立，P(A)P(B)P(C),所以P(AB)P(BC)P(AC)P(A)P(B)P(B)P(C)P(A)P(C)3P(A)2由加法公式P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC)得3P(

14、A)3P(A)29即4P(A)34P(A)1016考虑到P(A)1,得P(A)1.242设事件A，B，C的概率都是1，且P(ABC)P(ABC)，证明：22P(ABC)P(AB)1P(AC)P(BC)2证明：因为P(ABC)P(ABC)，所以P(ABC)1P(ABC)1P(A)P(B)P(C)P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC)将P(A)P(B)1代入上式获得P(C)2P(ABC)13P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC)2整理得2P(ABC)P(AB)P(BC)P(AC)1.23设0P(A)1，0P(B)1，P(A|B)+P(A|B)1，试证A与B独立证明：因为P(A|B)+P(A

15、|B)1，所以P(AB)P(AB)P(AB)1P(AB)P(B)P(B)P(B)1,1P(B)将P(AB)P(A)P(B)P(AB)代入上式得P(AB)1P(A)P(B)P(AB)1,P(B)1P(B)两边同乘非零的P(B)1-P(B)并整理获得P(AB)P(A)P(B),所以A与B独立.4设A，B是随意两事件，此中A的概率不等于0和1，证明P(B|A)P(B|A)是事件A与B独立的充分必需条件证明：充分性，因为P(B|A)P(B|A)，所以P(AB)P(AB),即P(A)P(A)P(AB)P(B)P(AB),P(A)1P(A)两边同乘非零的P(A)1-P(A)并整理获得P(AB)P(A)P(

16、B),所以A与B独立.必需性：因为A与B独立，即P(AB)P(A)P(B),且P(A)0,P(A)0,所以一方面P(B|A)P(AB)P(A)P(B)P(B),P(A)P(A)另一方面P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(A)P(B)P(B|A)P(A)P(A)P(B),P(A)所以P(B|A)P(B|A).5一学生接连参加同一课程的两次考试第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为p.2若起码有一次及格则他能获得某种资格，求他获得该资格的概率若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率ip2由全概率公式得P(A2)P(A1)P(A2|A1

17、)P(A1)P(A2|A1)p2(1p)p2(1)他获得该资格的概率为P(A1A2)P(A1)P(A2)P(A1A2)P(A1)P(A2)P(A1)P(A2|A1),pp2(1p)pp23pp2.22若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率为P(A1|A2)P(A1A2)P(A1)P(A2|A1)ppp2p.P(A2)P(A2)p2(1p)p126每箱产品有10件，此中次品从0到2是等可能的，开箱查验时，从中任取一件，假如查验为次品，则以为该箱产品为不合格而拒收因为查验偏差，一件正品被误判为次品的概率为2%，一件次品被误判为正品的概率为10%求查验一箱产品能经过查收的概率解：设A=“一箱产品有

18、i件次品”，i=0，1，2.设M=“一件产品为正品”，N=“一件产品被查验为正品”.i已知P(A0)P(A1)P(A2)1,P(N|M)0.02,P(N|M)0.1,3由全概率公式P(M)P(A0)P(M|A0)P(A1)P(M|A1)P(A2)P(M|A2)1(198)9,3101010P(M)1P(M)191,又P(N|M)1P(N|M)10.020.98,1010由全概率公式得一箱产品能经过查收的概率为P(N)P(M)P(N|M)P(M)P(N|M)910.10.892.100.98107用一种查验法查验产品中能否含有某种杂质的成效以下若真含有杂质查验结果为含有的概率为；若真含不有杂质查

19、验结果为不含有的概率为；据过去的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为和今独立地对一产品进行三次查验，结果是两次查验以为含有杂质，而有一次以为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率解：A=“一产品真含有杂质”，Bi=“对一产品进行第i次查验以为含有杂质”，i=1,2,3.已知独立进行的三次查验中两次以为含有杂质，一次以为不含有杂质，不如假定前两次查验以为含有杂质，第三次以为查验不含有杂质，即B1，B2发生了，而B3未发生.又知P(Bi|A)0.8,P(Bi|A)0.9,P(A)0.4,所以P(Bi|A)0.2,P(Bi|A)0.1,P(A)0.4,P(A)0.6,P(AB1B2B3)P(A)P(B1B2B3|A),所求概率为P(A|B1B2B3)P(B1B2B3)P(A)P(B1B2B3|A)P(A)P(B1B2B3|A)因为三次查验是独立进行的，所以P(A|B1B2B3)P(A)P(B1|A)P(B2|A)P(B3|A)P(A)P(B1|A)P(B2|A)P(B3|A)P(A)P(B1|A)P(B2|A)P(B3|A)0.40.80.80.20.905.0.40.80.80.20.60.10.10.98火炮与坦克对战，假定坦克与火炮挨次发射，且由火炮先射击，并同意火炮与坦克各发射2发，已知火炮与坦克每次发射的命中概率不变，它们分别等于和.我们