立体几何中的向量方法(二)-空间向量与垂直关系

1、 /63.2立体几何中的向量方法(二)空间向量与垂直关系【课时目标】1.能利用平面法向量证明两个平面垂直.2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系1空间垂直关系的向量表示空间中的垂直关系线线垂直线面垂直面面垂直设直线1的方向向量为a=(a1,a2,a3)，直线m的方向向量为b=(b1，b，b)，则1丄mO设直线1的方向向量是a=(a1，,c1),平面a的法向量u=(a2，b2，c2),则1丄aO右平面a的法向量u(a1，b1，c1),平面B的法向量为v(a2，b2，c2)，则a丄o232.空间中垂直关系的证明方法一、选择题设直线l1，l2的方向向量分别为a=(1,2,2

2、),b=(2,3,m),若人丄1,，则m等于()TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark8 o Current Document A1B2C3D4已知A(3,0,1),B(0,2,6),C(2,4,2)，则ABC是()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形若直线1的方向向量为a=(1,0,2),平面a的法向量为w=(2,0,4)，贝)A.1aB.1丄aC.1UaD.1与a斜交4.平面a的一个法向量为(1,2,0),平面B的一个法向量为(2,1,0)，则平面a与平面“的位置关系是()A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.不能确定5设直线11的方向向

3、量为a=(1,2,2),l2的方向向量为b=(2,3,2),则11与12的关系是()A.平行B.垂直C.相交不垂直D.不确定6.如图所示，在正方体ABCDAlB1C1D1中，E是上底面中心，则AC1与CE的位置关系是（AC.B相交D.以上都不是相交且垂直二、填空题已知直线l与平面a2,1)与平面a平行，则z=.垂直,直线l的一个方向向量为u=(1,3,z),向量v=(3.已知a=(0,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1)分别是平面a,“，y的法向量，则a,“，y三个平面中互相垂直的有对.下列命题中：若u,v分别是平面a,B的法向量，则a丄uv=0；若u是平面a的法向量且向量a与a共

4、面，则ua=0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直.正确的命题序号是.(填写所有正确的序号)三、解答题10.已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1,M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN=4cC1.求证：AB丄MN.11.已知ABCA1BlC1是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC的中点，求证：平面AB”丄平面ABB”.【能力提升12.如图，在四面体ABOC中，OC丄OA,OC丄OB,ZAOB=120，且OA=OB=OC=1.设P为AC的中点，Q在AB上且AB=3AQ，证明：PQ丄OA.13.如图，四棱锥P-ABCD中,面ABCD为矩形，PA丄底面ABCD,

5、PA=AB=;2,点E是棱PB的中点.证明：AE丄平面PBC.垂直关系的常用证法要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直.要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直.要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直.3.2立体几何中的向量方法(二)空间向量与垂直关系知识梳理alballuuv2.线线垂直线面垂直面面垂直证明两直线的方向向量的数量积为0.证明两直线所成角为直角.证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量.证明直线与平面内的相父直线互相垂直.证明两个平面的法向量垂直.证明二面角的平面角为直角.作业设计1.BI丄l2，：a丄b,.ab=(1,2,2)(一2,3,m)=

6、2+62m=0,.m=2.CVAB=(-3,-2,-5),AC=(-1,4,-1),bC=(2,6,4),AABAC=0,AAB丄AC,且IaB|AC|BC|,AABC为直角三角形.B.n=-2a,.na,.l丄a.C(1,2,0)(2,1,0)=0,两法向量垂直，从而两平面也垂直.BVa*b=2x1-2x3+2x2=0,Aa丄b,l1丄卩C可以建立空间直角坐标系，通过AC与CE的关系判断.-9解析.1丄Q,.u丄v,.(1,-3,z)(3,2,1)=0,即3+6+z=0,.z=-9.8.0解析ab=(0,1,1)(1,1,0)=10,ac=(0,1,1)(1,0,1)=1工0,bc=(1,1

7、,0(1,0,1)=1和.a,b,c中任意两个都不垂直，即g“、y中任意两个都不垂直.证明如图，以平面ABC内垂直于AC的直线为xB1轴,AC.AA1所在直线为y轴、z轴，则A(0,0,0),N(0,1，+):AB=1厕mn=-I+8+4=o码丄航，即AB1丄mn如图，取AB的中点M,则DM=DC+CA+AM.又5=DC+CB+Bji,两式相加得2DM=CA+CB=Ca+Cb.由于2DM.AA=(CA+CB).AA=0,2DM.AB=(CA+CB).(CB-CA)=|CB|2-|CA|2=0.:.DM丄AA,DM丄AB,AAB=A,:.DM丄平面ABB”,而DM平面ABD.平面ABD丄平面ABBA取O为坐标原点，以OA,OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示)设A(1,0,0),C(0,0,1),0 /622VP为AC中点，P（20，TAB=（-2,蛙），又由已知，可得恥=3血=（2，又OQ=OA+AQ=（1,.PQ=OQ0P=（,卡，一才.PQ.OA=（,，2）（i，）=故PQ丄OA,即PQ丄OA.证明如图所示，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Ax