概统lec07-参数估计-习题课

1、第6于步第6于步F t 2分矩估计法,定,或理论依4矩估计法,定,或理论依4最大似然法在.最大似然法在.最大似然估最大似然估 的估计值Lx1,x2, xn;) Lx1,x2, xn;其中是 可能的取值范围这样得到的与样本x1 (x1,x2,xn (X1,X2,Xn x2 xn有关,似然函数L()称为样似然函数L()称为样本的2X.L()称为样本的.求最大似然估计量的步n,xn;) 求最大似然估计量的步n,xn;) p(xi;L()L(x1,x2nL() L(x1,x2,xn;)f(xi;或(二) nnlnL()ln p(xi;lnL()ln f(xi;或求最大似然估计量的步骤dlnL()对数似

2、然方(三) 对求求最大似然估计量的步骤dlnL()对数似然方(三) 对求并解方程即得未知参数 的最大似然估计值对数似然方程即 i1,2,k的最大似然估 ii lnLi 1,2,极大似然估计量的不变性 具有单值反函数， 设的函数极大似然估计量的不变性 具有单值反函数， 设的函数 = 是 估计量的评选标若12为总体X的一个样本，估计量的评选标若12为总体X的一个样本， 包含在总体X若估计量()= 1,2,存在且对于任意有估计量的评选标比较参数的两个无估计量的评选标比较参数的两个无偏估计量1和 2 ，如果在样本容量n相同的情况下， 1的观察值在真值的附近212形式设1 1(1, 2)和2 = 2(1

3、, 2)是的无偏估计量，若有较2有效 估计量的评选标若 = (估计量的评选标若 = (1, 2, , )为参数于任意，当时，则称致估是的区间估计设X 服从某分布，但其分布中有未知参数 的取值范围随机抽取的样本来估区间估计设X 服从某分布，但其分布中有未知参数 的取值范围随机抽取的样本来估，并12出这个区间包含真值的概率，称为区间估计；即 1的区间01,给需找出，1212此区间称为置信区间 称为置信度.置信区间反映估计的精确程度，而置信度则反映了估计的可靠程度置信区间和置信上限、置信下设总体X的分布置信区间和置信上限、置信下设总体X的分布F (x;含有一个未知参数对于给定值(01若由样本X1X2

4、, Xn 确定的两个统计量 X1X2,Xn ) X1X2,Xn ) 满 (X1,X2,Xn ) (X1,X2,Xn )1则称随机区间 是的置信水平为1 的置区间, 和分别称为置信水平1 的双侧置区间的置信下限和置信 上限,1为置求置信区间的一般步21求置信区间的一般步212 = (1,2,;其中包含待估计参数,并且Z的分布已知且不依赖于任何未知参数(包括3.对于给定的置信度1，定出两个常数a,b，使得 (1, 2, , ; ) = 1 ；求置信区间的一般步4求置信区间的一般步4 (12) 不等式 ，其中 = (12 = (12)都是统计量，那么， 求置 = 1 求置 = 1 = 1= 12,

5、若为连续量，则有= 12， = 所求置信区间为（12 ，2 正态总体均值方差的置信区间与上下限单个正态总1.的置信正态总体均值方差的置信区间与上下限单个正态总1.的置信的一个置信水平为1 的置信的置信水平为1 的置信2.方差 2 的置信区方差2的一个2.方差 2 的置信区方差2的一个置信水平为1的置信区方差2的一个置信水平为1的置信区两个正态总1.两个总体均1 2 的置1 2的一个置信水平为1的置信两个正态总1.两个总体均1 2 的置1 2的一个置信水平为1的置信1 2的一个置信水平11 1XY t/2(n1 nn22 122(n (n 2其中Sw ,n1 n2 两个正态总1.两个总体均值差1

6、212的一个置信水1两个正态总1.两个总体均值差1212的一个置信水1的置信区XY t/2nnZ2 n2Z Y 其中Ziiii两个正态总2的置信区22.两个总体方差两个正态总2的置信区22.两个总体方差2的一个置信度为1 的置信区122(0 1)分布的置信区间(0 1)分布的置信区间f(x; p) px(1 p)1x其中anb(2nX cnX,/单侧置信区间的对于(0单侧置信区间的对于(01), 若由样本X1X2Xn 确定的统计 X1X2,Xn 满P 1则称随机区间 , ) 是 的置信水1 的单侧置信区间, 称为 的置信水平为 1 的单侧置又如果统X1又如果统X1X2,Xn对于任意 满足P 1

7、则称随机(是 的置信水平1 侧置信区间, 称为 的置信水平为1 的单侧置正态总体均值与方差的单侧置信区间 的一个置信水平为 1 的单侧置信区X St (n1),正态总体均值与方差的单侧置信区间 的一个置信水平为 1 的单侧置信区X St (n1),n 的置信水平为1 的置信下S X t (nn的一个置信水平为 1 的单侧置信的一个置信水平为 1 的单侧置信(n 1)S的置信水平为 1 的单侧置信上(n 1)S.(n22231-1.总体X的概率分布律为: 其中 22231-1.总体X的概率分布律为: 其中 02,32,，求 的矩估计与极大似然估计解(1)EXxk 223(11令EX X，则有：

8、3-3(23L()(3(23L()( 2)(13 1lnL()ln163ln2ln(23dlnL() 3622, X是来自X的样本，试确定常数C, CY CX2, X是来自X的样本，试确定常数C, CY CX X 2X123456解2的无偏估计2221212 D(X1) D( X2) 2(X1,X2独立同理EX4 )2X )5X6)2 (ECX1 X22 X ) 26345126222345C2222126222345C222222 6C2E(CY 6C2要使CY 为 2 的无偏估计E(CY6C2 2于是C 16例3.X1, X2,Xn p(01)分布的一个样本p并证明是p的无偏估计量x例3.

9、X1, X2,Xn p(01)分布的一个样本p并证明是p的无偏估计量x0,f(x; p px(1 p)1xnnnnL(p)f(xi; p) (1 ,nnlnL(p)iinnnpdlnL(,1 dlnL(p)nn(1 p) i pnxi 由 dlnL(p)nn(1 p) i pnxi 由 innx 故参p的最大似然估计ii nX Xn参数 p的最大似然估计量iiE() E(X) E nnE(X ) nXiinii p的无偏估计量例4.若总体X的数学期望为，方差为3例4.若总体X的数学期望为，方差为3 1 2 ; 2;11221244335 8 3 83 312D1D3解：D D13 2 12 1

10、4D1D3解：D D13 2 12 14195D21281D4D5DD同122999DX 25D 172312设X N，例X ,X 12设X N，例X ,X 123.52的置信区间解10.95 t n1t0.025 92查表故的置信区X s n nnn,X t22例6.设某异常区磁场强度服从正态分布 N(, 2 现对该区进行磁测按仪器规定其方差不得超 例6.设某异常区磁场强度服从正态分布 N(, 2 现对该区进行磁测按仪器规定其方差不得超 0.00250.01今抽测16个点x12.7S (15)2解：n2的1(15)2 (n 1)S(n 1)S,(n(n1)2/0.01故此仪器工作稳定得样本均

11、值x1500小时S 20小时服从正态分布N，得样本均值x1500小时S 20小时服从正态分布N， 20均值及标准差的置信）该批灯（ 0.0）； ） 以X作的估计，误差绝对值不超过12小时的概率未知，的（1 - 0.05）置信度的置信区间X S2n，的（1- 0.05）置信度的置（2）因为 X-tn1nS X 所以PX，的（1- 0.05）置信度的置（2）因为 X-tn1nS X 所以PX 12Sn1nSX 2Pt(9)20.95-1 n- n-1S 920 9202 ,11n1-22例8.设总体 为已知，问抽取多大容22 N00的样本，才能使总体均值的置信水平为0.95的置区间的长度不大于 已

12、知，则例8.设总体 为已知，问抽取多大容22 N00的样本，才能使总体均值的置信水平为0.95的置区间的长度不大于 已知，则解2设抽取样本容量为01 0.95X ,X 2zz nn置信区间的长度为：2z2n 20n,20ll例9.设两位化验员A, B独立地对某种聚合物的含氯用相同的方法各10次测定，其测定值的方差2次为0.5419和设 分别是AB两化验22，AB测量数据总体的方差例9.设两位化验员A, B独立地对某种聚合物的含氯用相同的方法各10次测定，其测定值的方差2次为0.5419和设 分别是AB两化验22，AB测量数据总体的方差，且总体服从正态分布，求方比的置信度为90%的置信区间2AB

13、n2 10,S2 0.5419,S2 解nAB1取 0.，F(9,9)18(9,9)F方差比 2A2B1A n 1,n n 1,n F1SF 1 B2B210. 为提高某一化学生产过程的得率，试图采用得率的平均值X 91.73.10. 为提高某一化学生产过程的得率，试图采用得率的平均值X 91.73.211X 93.7，样本方差4.0，2221 - 2的置信水平为0.95的置信区间由题意 1 XY t/2(n1 n2 n n 2 22(n 2且1122n1 n222(n 2且1122n1 n2 于是12的一0.9511 X2 Sw t0.0258即所求置0.245,S20.357,在置信度0.

14、98下210.245,S20.357,在置信度0.98下2122 的置信区间.假 2122解 n1 n2 (n 1,n 1) (8,5)F1/1211(8,5) (8,5) ,F/F0.9822S1S1 (n 11(8,5) (8,5) ,F/F0.9822S1S1 (n 1,n 1)2(n 1,n 2FSS1/121222,从两条流水线上抽取样本：X1X2,X12及Y1,Y2,Y17算出X 2.4.Y从两条流水线上抽取样本：X1X2,X12及Y1,Y2,Y17算出X 2.4.Y S212且相互独立，其均值分别为 设两总体方求 置信度为95%的置信区间；2221211222.解1 1X Y t/2n2 nn2 122(n 其中Sw 1122n1 n2 X 16 g），22(n 其中Sw 1122n1 n2 X 16 g），Y 5 g），S2 2.4，S12n1 12，n2 17，n1 n2 227， 11n 2XY 1.，S w2nn12所求置信区0.4012.4，S24.7，S12 2.4，S24.7，S12 F 2n1 1,n2 1F0.02511,16111(n 1,1)F