勾股定理在实际问题中的应用举例

1、勾股定理在实际问题中的应用举例一、利用勾股定理解决立体图形问题勾股定理是揭示直角三角形的三条边之间的数量关系，可以解决许多与直角 三角形有关的计算与证明问题，在现实生活中有着极其广泛的应用，下面就如何 运用勾股定理解决立体图形问题举例说明，供参考。一、长方体问题例1、如图1，图中有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它 里面放入一根细木条（木条的粗细、变形忽略不计），要求木条不能露出木箱， 请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（）A、 J41 cmB、 134 cm C、 .50 cmD、 i；75cm分析：图中BD为长方体中能放入的最长的木条的长度，可先连接BC，根 据已知条

2、件，可以判断BD是RtBCD的斜边，BD是RtBCD的斜边，根据 已知条件可以求出BC的长，从而可求出BD的长。解：在RtABC中，AB=5，AC=4，根据勾股定理，得 BCf AB2 + AC2 =阿，在 RtBCD 中，CD=3，BC41，BD BC2 + CD2 =梟0。所以选 Co说明：本题的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题。二、圆柱问题例2、如图2,是一个圆柱形容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距 下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口处1cm的点 F出有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度是多少？分析：勾股定理是平面几何中

3、的一个重要定理，在遇到立体图形时，需根据 具体情况，把立体图形转化为平面图形，从而使空间问题转化为平面问题。由题 意可知，S、F两点是曲面上的两点，表示两点间的距离显然不能直接画出，但 我们知道圆柱体的侧面展开图是一个长方形,，于是我们就可以画出如图3的图， 这样就转化为平面中的两点间的距离问题，从而使问题得解。解：画出圆柱体的侧面展开图，如图3,由题意，得SB=60m2=30 (cm)， FB=1811=16 ( cm )，在 RtASBF 中，ZSBF=90，由勾股定理得， SF= JSB2 + FB2 =302 +162 =34 (cm)，所以蜘蛛所走的最短路线的长度是 34cm。说明：

4、将立体图形展开，转化为平面图形，或将曲面转化为平面，然后再运 用“两点之间，线段最短”和勾股定理，则是求立体图形上任意两点间的最短距离 的常用的方法，这也是一种重要的数学思想-转化思想。二、利用勾股定理确定最短问题我们知道，两点之间线段最短，但这两点之间的距离往往要通过适当的知识 求出其大小，现介绍一种方法，用勾股定理确定最短问题.例1 (恩施自治州)如图1，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5, 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行图1图1分析 根据“两点之间，线段最短”和“勾股定理”，蚂蚁如果要沿着长方体的 表面从点A爬到点B较短爬行路线有如图2所示

5、的4条粗线段表示的距离可 以通过计算得知最短的是第2条.解 依题意蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B，有如图2所示的4种 粗线情形，其中图中粗线的长度为的75齐応=537，图中粗线的长度为 的v152 + 202 =25,图中粗线的长度为的5p37 10j5+525.故应选 B.说明 在立体图形上找最短距离，通常要把立体图形转化为平面图形，即转 化为表面展开图来解答，但是不同的展开图会有不同的答案，所以要分情况讨论.例2 (青岛市)如图1，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm. 如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短 需要cm；如果从点A开始经过4

6、个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要cm.图2图2分析要求最短细线的长，得先能确定最短线路，于是，可画出长方体的侧 面展开图，利用两点之间线段最短，结合勾股定理求得若从点A开始经过4个 侧面缠绕n圈到达点B，即相当于长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成 n(3+1+3+1)，同样可以用勾股定理求解.解 如图2,依题意，得从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B时，最 短距离为AB,此时，由勾股定理，得AB = $62 + 82 =10,即所用细线最短为10cm.若从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,则长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成n（3+1+3+1），即8n

7、，由勾股定理，得 g +（8n=36 + 64n2，即所用细线最短为 36 + 64n2 cm，或 2、；9 + 16n2 cm.说明 对于从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B的最短细线不能理 解为就是n个底面周长.例3 （泸州市）在某段限速公路BC上（公路视为直线），交通管理部门规定 汽车的最高行驶速度不能超过60千米/时（即50米/秒），并在离该公路100 米处设置了一个监测点A.在如图所示的直角坐标系中，点A位于y轴上，测速 路段BC在x轴上，点B在A的北偏西60方向上，点C在A的北偏东M5方向上，另外一条高等级公路在y轴上，上，另外一条高等级公路在y轴上，AO为其中的一段.（1）求点

8、B和点C的坐标; /,7A（2） 辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15秒，通过计算，判 断该汽车在这段限速路上是否超速？（参考数据：J3 Q1.）（3）若一辆大货车在限速路上由C处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两 车在匀速行驶过程中的最近距离是多少?分析（1）要求点B和点C的坐标，只要分别求出OB和OC即得.（2）由（1）可知BC的长度，进而利用速度公式求得并与50比较即可.（3）为了求解, 3可设大货车行驶到某一时刻行驶了 x米，则此时小汽车行驶了 2x米，于是利用勾股定理可求出x的表达式进而求得.解在RgOB中，因

9、为ZBAO = 60，所以ZABO = 30，所以OA= * AB而OA = 100，所以AB = 200，由勾股定理，得OB = v AB2 - OA2 = 50 ,153所以这辆车超速了.( 3)设大货车行驶到某一时刻行驶了 x 米,则此时小汽车行驶 了 2x 米, 且两车的距离为y=、：(100 x匕+ (100 2x匕=：5(x 60匕+ 2000，显然，当x =60时，y有最小值是S2.如图2，在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA，由轴对称知MA =MA，所以 MB+MA = MB+MAA B，所以 S2=BAr为最小.过A作关于X轴的对称点A，过B作关于Y轴的对称点B，连接A

10、B， 交X轴于点P,交Y轴于点Q,则P，Q即为所求.过A、B，分别作X轴、Y轴的平行线交于点G.由勾股定理，得 AB= 1002 + 502 = 50 5，所以所求四边形的周长为(50+50 )km.说明 本题既是一道对图形的操作题，又是一道利用勾股定理进行方案设计 的试题，求解时一定要注意动手动脑，发挥想象，避免错误的出现.三、与勾股定理有关的探索性问题例析新课程要求通过学习培养同学们的自主探究能力。探索性问题，正是新课程 理念下培养同学们的观察、实验、操作、归纳、猜想，发展直觉思维能力和合情 推理能力的好材料，是近几年中考的一个热点。围绕着勾股定理，出现了许多形 式新颖，视点独特，内容丰富

11、的新型试题，本文以直角三角形勾股定理为背景中 考试题为例，加以评析，供同学们学习时参考。例1.如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三 角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形ABB,，如此作下去，若OA = OB=1,则第n个等腰直角三角形的 面积Sn=.解析：本题是以一系列等腰直角三角形组成的图案为背景的规律探索型试 题。要探求第n个等腰直角三角形的面积，根据图形提供的数据和等腰直角三角 形的变化规律，我们可以看到：下一个等腰直角三角形的直角边是前一个等腰直 角三角形的斜边，因此在解题时，先考虑特殊情形，根据勾股定理得一系列等腰

12、直角三角形面积和下一个直角三角形的斜边长为：S严-x 1 x 1 =-2 2S2 x、；2 x 2 = x 2 = 12 2S3 x22 x22 = x22 = 22 2S. x y23 x v23 = x23 = 222 2S x 24 x PC2和PD2又有怎样的数量关系？请你写出对上 述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论.答：对图（2）的探究结论为.对图（3）的探究结论为.证明：如图（2）图圈解：结论均是 P42证明：如图（2）图圈解：结论均是 P42+PC2=PB2+PD2证明：如图2过点P作MN丄AD于点M,交BC于点N,因为ADBC, MN丄AD，所以MN丄BC在 RtAMP 中，PA2=PM2+MA2在 RtBNP 中，PB2=PN2+BN2在 RtDMP 中，PD2=DM2+PM2在 RtACNP 中，PC2=PN2+NC2所以 PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2因为MN丄AD, MN