微积分第六章练习答案

1、微积分第六章练习一单项选择题（每题分，共分）f (x在ab上连续，则在(ab内至少存在一点bf (x)dx af(f()(bf()(bbf()(b f (x)dx a sin2 xdx 22 20sin2 xdx sin2 xdx2 2 sinxdx 2cos2 2200下列积分中等于零的是 1xsin15 1xx3cos 2| x|12x由于x3 cos x 是奇函数，积分区间 5,5是对称区微积分第六章练习一单项选择题（每题分，共分）f (x在ab上连续，则在(ab内至少存在一点bf (x)dx af(f()(bf()(bbf()(b f (x)dx a sin2 xdx 22 20sin

2、2 xdx sin2 xdx2 2 sinxdx 2cos2 2200下列积分中等于零的是 1xsin15 1xx3cos 2| x|12x由于x3 cos x 是奇函数，积分区间 5,5是对称区5x3 cosxdx x x 2x1f (x) ，f(x)dx 012x 01010 x x dx2200 xx x 由于f (x) 11010f (x)dx f (x)dxf (x)dx x dx200下列广义积分中收敛的是 lnxx(lnx)1x(lnx) xxlnex(ln ln0 1 lne(lnx) d(lnx) 二、填空题（每题分，共分 bsin xdx 8a bb8sin xdx 8由于

3、 sin xdxaa第 1 5 cos xsinxdx320201112 cos3xsinxdx 2 cos3xdcosx cos4 040y f(xxaxbx轴所围成的平面图形的面积，用定积分表示为： S 。由连续曲线y f(x、直线x a、x b及xb定积分表示为：S | f (x)|a12dx 。x 4x0dx 0 d(x2) dt x 4x(x2) 2t cos xsinxdx320201112 cos3xsinxdx 2 cos3xdcosx cos4 040y f(xxaxbx轴所围成的平面图形的面积，用定积分表示为： S 。由连续曲线y f(x、直线x a、x b及xb定积分表示

4、为：S | f (x)|a12dx 。x 4x0dx 0 d(x2) dt x 4x(x2) 2t 2001 1 dt0 1 t t 1 dt 1 dt 1lnx1 xt 2t220lim 1ln1 1)ln22sindx 。21sin 22sinsin在对称区间 dx 221sin2 1sin 221t 2 x1t 22x 1 x lim 1 x4 x f(t)dt x(1cosx)，则f() xf (x在20 x(1cosx)1cosxxsinx，则f( ) 1 f (t)dt xf (x) 220cosxdx 2第 2 5 coscoscos )dx d) (xxx222x设f (x)

5、te dt，则f (n)(x) t0 xf (x) te dt xe ，f (x) (xex) ex xex tx0f (3)(x) (ex xex) 2ex xex，f (4)(x) (ex xex) 3ex xexf (n)(x) (n则 1 4f(x在coscoscos )dx d) (xxx222x设f (x) te dt，则f (n)(x) t0 xf (x) te dt xe ，f (x) (xex) ex xex tx0f (3)(x) (ex xex) 2ex xex，f (4)(x) (ex xex) 3ex xexf (n)(x) (n则 1 4f(x在(,f(x) f (

6、x)dx04f (x)dx 0 1 44令Af (x)dx，由于f (x) f (x)dx00 444AdxAdx01 01 0A 14 x dx 2(2arctan3 01 3三、计算题（每题分，共分1cos 2cos2 xdx cosxdx 2 cosxdx2 2 2 200220 x1(x令t x1，则x t2 1，dx 2tdt，t:13，代入得3 2( ) 3 2t dt 3 1 dt 2arctan1t t1t1xarctan0 1arctanxd(x2 ) x2 arctanxx 1111dx 01 21 200 1(xarctanx) 1 0第 3 5 sin2t x22 t2

7、22sin2sin 2t lim xcos222cos x(sin x2sin2limsin x 2xsinxcosx22 2ln6确a a1 x，则t ln(x2 1dt dx，x13令1 x 33sin2t x22 t222sin2sin 2t lim xcos222cos x(sin x2sin2limsin x 2xsinxcosx22 2ln6确a a1 x，则t ln(x2 1dt dx，x13令1 x 33 2arctan3ea ea 1 x(1x2ea 1 (1x22( arctan ea 1) 则a ln361f(0) 1, f(2) 4, f (2) 2，xf(2x)dx0

8、 xf(2x)dx 11xdf (2x) 1 xf f 102102111f (2)df220 121 f(2x)1 1 1f(2) f(0)1 3 20 24四、应用题（本题分已知曲线y a x (a 0)与曲线y x，在点(x0,y0)处有公共切线求：（）a的值及切点(x0y0（）曲线x的面积；（）面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体：（）y a ，y，由于在(x ,y )有公共切线12 a1 2 因为(x0y0是公共切点，则a x0 第 4 5 结合（），得，ae1，e2，(x,y )(e2（）xe2y2，x e2y121111121e2 y2 )dy 3(e2e2e2 e2 y 302

9、30 x) dx 1e22ee（）V 22 2201五、证明题（每题分，共分1a结合（），得，ae1，e2，(x,y )(e2（）xe2y2，x e2y121111121e2 y2 )dy 3(e2e2e2 e2 y 30230 x) dx 1e22ee（）V 22 2201五、证明题（每题分，共分1ax f(x )dx 0 xf 23201证：当a 0时，令t x2，则x t ，dx t 2dt，t:0a2，代入左2311212a得 x3 f(x2)dx t2 ft 2dt tf (t)dt xf200001当a 0时，令t x2，则x t ，dx t 2dt，t0a22311212a得 x3 f(x2)dx t2 f(t)( )t 2dt tf (t)dt xf20000 xf(x)在,)上连续，且F(x) (x2t)f (t)dt ，试证：若f