晶体物理性能第1章张量分析基础知识

1、晶体物理性能南京大学物理系序言由于近代科学技术的发展，单晶体人工培养技术的成熟，单晶体的各方面物理性能（如力、声、热、电、磁、光）以及它们之间相互作用的物理效应，在各尖端科学技术领域里,都得到了某些应用.特别是石英一类压电晶体作为换能器、稳定频率的晶体谐振器、晶体滤波器等在电子技术中，比较早地在工业规模上进行人批生产和广泛应用.激光问世的四十多年来，单晶体在激光的调制、调Q、锁模、倍频、参量转换等光电技术应用中，已成单晶体应用中极为活跃的领域.晶体物理性能是我系晶体物理专业的专业课程之一，目的就是希塑对晶体特别是光电技术中使用的晶体（包括基质晶体与非线性光学晶体）的有关物理性能及其应用方面的基

2、本知识，有一个了解.对今后从事光电晶体的生长、检测和应用的工作，在分析问题、解决问题方面有所帮助，同时要在今后工作中不断从实践和理论两个方面扩大知识领域，有一个基础.考虑到本专业属于晶体材料性质的专业特点，本课程不仅对晶体物理性能的各个方面作深入全面的介绍，也将侧重于激光晶体有关的一些性能及其应用.鉴于以上考虑，晶体物理性能讲义将以离子晶体为主要对象，以光电技术上应用为线索组织内容，共分为八章.着重于从宏观角度结合微观机制介绍晶体基本物理性能以及各种交互作用过程的物理效应和它们在光电技术中的某些应用，包括弹性与弹性波（第二章）,晶体光学中的各向异性（第五章），压电与铁电现象（第四章），电光效应

3、（第七章），光学参量过程（第六章），声光效应（第八章）.由于晶体物理性能的各向异性的特点和晶体对称性有密切关系，通常正确、方便地描述这些物理性能必须使用张量来表示.因此，在第一章,我们介绍了关于张量分析基础知识方面的内容.由于水平有限，实践经验缺乏，时间仓促，因而内容安排不妥、取舍不当、错误之处一定很多，希望同学们提出宝贵意见，批评指正.目录第一章张量的基础知识1.1标量、矢量和二阶张量21.2坐标变换和变换矩阵1.3正交变换矩阵的性质1.4晶体对称操作的变换矩阵1.5二阶张量的变换与张量的定义1.6张量的足符互换对称1.7张量的矩阵表示和矩阵的代数运算1.8二阶对称张量的几何表示和二阶张量的

4、主轴1.9二阶对称张量主轴的确定1.10晶体张量与晶体对称性的关系第二章晶体的弹性与弹性波2.1弹性性质与原子间力2.2应变2.3应力2.4推广的虎克定律、弹性系数2.5立方晶体的弹性系数2.6各向同性材料的弹性系数2.7弹性扰动的传播一一弹性波2.8简谐振动和驻波2.9弹性常数及振动衰减因子的测量方法第三章晶体的介电性质3.1介质中的宏观电场强度与极化强度3.2晶体中的有效场3.3高频电场的介电极化（光的色散与吸收）3.4介电常数的测量3.5离子晶体的静电击穿3.6激光的电击穿（激光的电击穿损伤）第四章铁电与压电物理4.1铁电体的一般性质4.2常用铁电体的实验规律4.3铁电体的相变热力学4.

5、4铁电体相变的微观机制4.5晶体的压电效应4.6压电方程和机电耦合系数4.7压电晶体的应用实例石英第五章晶体光学5.1光学各向异性晶体5.2各向异性介质中光的传播5.3折射椭球与折射率曲面5.4晶体表面上的折射5.5晶体偏光干涉及其应用第六章倍频与参量频率转换6.1非线性极化6.2非线性极化系数6.3非线性介质中电磁场耦合方程6.4光倍频6.5光倍频的相匹配6.6第II类相匹配6.7角度匹配和温度匹配扫描实验曲线6.8内腔倍频6.9光参量放大6.10参量振荡器6.11参量振荡器的调谐方法6.12参量频率上转换6.13非线性材料的性能要求第七章电光效应及其应用7.1线性电光效应7.2两种典型材料

6、的电光效应7.3电光滞后7.4电光调制原理7.5实际调制器的几个问题7.6晶体电光开关7.7电光Q开关7.8电光偏转7.9电光材料7.10晶体均匀性的实验检测7.11晶体的激光损伤7.12晶体均匀性实验检测第八章声光效应及其应用8.1弹光效应8.2声光交互作用产生的衍射现象8.3声光交互作用的理论8.4声光效应在一些物理常数测量中的应用8.5声光调制器8.6声光偏转器8.7声光调Q8.8声光材料附录A.32点群投影图E.各阶张量在不同点群中的矩阵形式主要常数表单轴晶体中光线离散角a的推导双轴晶体中双折射面相差的推导贝塞尔函数的基本性质第一章张量分析基础知识以前学的课程中，有关力学、热学、电学、

7、光学等的性质都是以各向同性介质来表述的或以一维问题来说明问题，这对于突出某些物理现象的微观的物理原因方面是必要的，但晶体物理性能是讲晶体中的力学、电学、光学、声学、磁学、热学等物理性能，而晶体的各向异性却是一种很普遍的特性，特别是很多现象如热电、压电、电光、声光、非线性光学效应等等物理现彖则完全因为晶体具有各向异性性质才能表现出来.因此，晶体结构対称性和这些性质之间的关系成为问题的主要方面。为描述晶体宏观上表现出来的各向异性，要表达一个物理学定律的方程式通常要比表达各向同性物质的方程式数目多得多.人们实践中探索出一套描述各向异性的数学方法，可以使问题简化得多，这种方法就是张量方法.在晶体物理中

8、所涉及的张量分析是比较简单的，晶体对称性的操作对应的坐标变换，一般使用三维正交直角坐标系的变换就够了.本章介绍的将只限于这种坐标系统所定义的张量（称为卡迪生张量）.此外，我们对于张量分析不作严格的数学论证，着重介绍张量分析的一些定义、运算的规则和方法，这对于从事晶体生长与应用的工作者来说是完全足够了.1.1标量、矢量与二阶张量有些物理量只要一个数字加上一个单位就可以表达清楚了，譬如温度、质量、密度、频率等等，只要表示。C、g、g/cn?、HZ是多少就很清楚了，不管你取什么坐标，都是个数值，这种量称为标量，有时也称为数量.还有一些量，既有大小，又有方向，例如力、速度、位置、电场强度等等，大家知道

9、这些量称为矢量。要表达一个矢量就要麻烦一些，用一个数值是无法表达清楚的，在数学上要严格地表达这样一个量，首先要确定坐标系统，如果取三维直角坐标系统，事先要表明坐标原点在哪里，X,、乂、X,三个轴的取向也规定下来，可能会出现两种不同的坐标系统,一种是右手螺旋直角坐标系，另一种是左手螺旋坐标系.（见图1.1）XIXIa）a）右手螺旋系b丿左手螺旋系图1.1两种直角坐标系它们的区别在于X、圣、Xj三轴的方向的旋转顺序不同，坐标系选定了一种，选定了右手系，一个矢量A,可以表示为：(1.1)A=Aj+A2j+A5k(1.1)其中7,7J分别是X、&、X3三轴方向上的单位矢量，Al.A?、A3分别是A在三

10、个坐标轴上的投影，称为矢量的三个分量。在事先规定的坐标系统内，只要给出A】、Az.A3三个数值，那么刁的人小和方向就唯一的规定下来了。由此可见，一个矢量和标量不同，必须要用三个数量才能正确地表达出来，更要提醒注意的是A】、A?、Aj只有在规定的坐标系内才是正确的，在不同的坐标系内表示同一个刁，它们的知、A?、A3却是各不相同的。图1.2表示一个在（X|XJ平面内的矢量刁在不同坐标系统内A2.A3数值不同的情形，当在X】、&、X3坐标系统中刁可用这样三个数值表示（Acos0,Asin,0）,如果取另一个坐标系统X,、&、X3，它是绕X3转动6后的新坐标系统，这时同一个矢量戶却要表示为（A,0,0

11、）o图1.2同一个矢量刁，在不同坐标系的三个分量是不同的总之，对一个矢量的表达有二个特点：要三个数值（三个分量），坐标系变换，三个数值也要相应地变化。还有一些物理量，譬如晶体中的介电常数,在各向异性晶体中一般要用九个分量才能表达清楚，这九个分量的数值也随坐标系统不同而有变化，这种量称为二阶张量。现在我们来具体看看为什么要九个分量才能完整地表达。在各向同性的电介质中电位移矢量D与宏观场强之间有下列物理学关系联系起来：D=8qsE（1.2）把规定坐标系统矢量方程展开得到三个方程：Dj=si）eEiD2=ajsE2D3-ajsEi(1.3)或写为Di二吧（上/,2,3）电位移矢量的某一分量D只和电场

12、强度相同的坐标分量氏成正比，其中三个方程的比例常数都为eo,坐标系统尽管可以不同，E、D的分量也随之变化，但三方程的比例常数是不变的，所以80和在各向同性介质中均为标量，只要一个数值就可表达而且与所选坐标系统无关，从(1.3)式也可看出D和E方向始终一致。(1.3)但是，在各向异性晶体中D和E方向并不一致，实验上发现，D的某一分量D和E的所有三个分量都有关系，可写成如下关系：二G(切E/+切丘2+殆丿D2=Q/S2/E+S22E2+52並)曲enEi+E32E2+S33E3)或可写为：3Dj=6工SjEj(i=l,2,3)(1.4)j=i其中砌分别表示Di分量与Ej分量之间的比例关系数。可见，

13、完整地表示晶体的介电常数要用九个分量甸，这九个分量也随着坐标变换而变化。这就是二阶张量的特征。从张量分析的角度看，矢量实际上是一阶张量，和矢量对比来理解张量并没有特别的地方，只是这种物理量是用更多一些分量来表示的量，张量的严格定义将在1.5中介绍。1.2坐标变换和变换矩阵无论是矢量、二阶张量或是更高阶的张量，它们的分量都随着坐标变换而变化。正如图1.2中所示同一个矢量，当选取后一坐标系统(X，X：X3)时，A矢量中有二个分量为零。那么对于张量来说，是否也可以找到一个最合理的坐标系统，使张量分量简化呢？虽然要找一个简化张量表示的坐标不那么一目了然，但也是可以找到的，因此有必要介绍一下从一个坐标系

14、转换到另一坐标系的数学表示方法以及这种坐标变换引起的矢量分量和二阶张量分量随之如何变化的规律性。在研究晶体时，所经常使用的坐标变换，有这样二个特点，一是变换到新坐标轴时，坐标轴代表的尺度不能变化，二是新坐标系各轴之间夹角仍要保持直角。这种变换是最简单的，数学上称为正交变换。新、老坐标系的坐标轴相对位置一经确定，那么新坐标中xr与老坐标中X、乂、x3轴分别的夹角鸽、$2、&3也就确定了(见图1.3)。我们令三个角度的余弦值分别为an=coseu,ai2=cos6i2au=cos6i3,此处，X以及X3,分别与三个老坐标轴的6个夹角也是确定的，同样办法可以得到另外6个量心】、32、43、an.a3

15、2,a33,它们都是新老轴之间夹角的余弦，即acosX”Xj,如呆新老坐标系之间，给出了上述九个余弦量，那么两个坐标系统之间的关系也就唯一地确定下来了.为了便于记忆和运算，我们可以把九个an三个为一组分成三组，每组排成一行，写成如下三行.三列的一个方阵X1x2x3(老坐标轴丿X/ananai3(新坐标轴)X?anazza：3XVa3243这个方阵称为变换矩阵，矩阵元素一般是a详心的。如果给出这个变换矩阵，那么我们可以证明，任何矢屋和张量的分量，在这个坐标变换下相应的变化便可唯一地确定.设有矢量P在老坐标系的三个分量分别为P_PsP3,P在新坐标系中的三分量为PiPzP3(参看图1P3(参看图1

16、X2图14矢量P在新老坐标系中分量的关系图中新坐标只画出了xr轴和分量p“显然可看到,pr应是pbp2,P3在xr轴上投影之和,即有：Pif=ajiPi+ai2P2+ai3P3(1.5)同理有：卩3二。3丿巴+心2卩2+%03(16)或写为：piPj7=1(piPj7=1(H如果，反过来老坐标中分量用新坐标表示，显然有:P=auPi+a2P2卩2二山2卩/+。22卩2+心2卩3(1.8)P3=ClnPl+Cl23P2+O?护3或写为:P严“眉（心1,2,3）（1.9）;=i1.3正交变换矩阵的性质上节所述的正交变换，因为有二项限制，坐标轴长短单位不能有伸缩，变换前后坐标都保持为直角坐标系。所以

17、（1.5）的矩阵中有几个元素并不是完全独立无关的.现在我们来证明这种正交变换矩阵的二个重要特性.变换矩阵元素的正交性新坐标轴OX门0Xf,0X3,在老坐标系中的方向余弦分别是第一行，第二行，第三行的三个元素.我们知道一个直线在直角坐标系中的三个方向余眩的平方和必定等于1,所以有air+ai22+ai32=l(110丿a2r+a222+a232(110丿ajj2+aj22+aj：32=l上面三式可以写为：3工血勺严1(假使心丿=1,2,3)*=11i=j01i=j0irj讪称克龙尼克函数，把g排列成矩阵则有如下形式：q00、%=010(113丿01/(/J=1,2,3)(112)称为单位矩阵，引

18、入5后，（110）,（1.12）六个关系式可以合并写成如下形式:3(114)Y/Wkj=(114)k=l（a切矩阵元素之间的上述关系就称为正交关系，共有六个方程，所以九个分量中其实只有三个独立元素.矩阵行列式|肉|的数值总是等于1数学上可以证明，正交变换的矩阵的行列式的值=1.在数学课中知道一个三行三列的行列式的值有如下定义:770门（2233_3口32）0门（2233_3口32）+0口（21033_口23口31）+（15）32一如5）利用aij的正交条件可以证明aij=+1或一1.我们这里只指出a”值的重要性，如果值为+1,表示坐标系的左右手螺旋不变，如呆为一1,表示这种变换将引起左右手螺旋

19、性的变换，我们仅指这个结论，不拟普遍地加以证明.1.4晶体对称操作的变换矩阵晶体具有一定的对称性，如呆只考虑宏观物理性质的各方向上具有的对称性，晶体可分成32种不同类型称为32种点群参看结晶学基础讲义，各点群对称元素的极射赤平图见附录A.一.旋转轴的变换矩阵设Xs沿某一晶体对称轴，现在使坐标轴X“X2绕X）转动一角度6.新坐标轴X,与X3一致，与X|,X与X2各转&角（见图1.5）.根据各坐标轴的交角余弦很快可写出九个分量的矩阵元素.,每一点群包含若干种对称元素，宏观对称元素分为旋转轴（1,2,3,4,6次轴），对称平面，旋转反伸轴如N轴，对称中心，对晶体进行一定“操作”，可以使对参看结晶学基

20、础讲义，各点群对称元素的极射赤平图见附录A.一.旋转轴的变换矩阵设Xs沿某一晶体对称轴，现在使坐标轴X“X2绕X）转动一角度6.新坐标轴X,与X3一致，与X|,X与X2各转&角（见图1.5）.根据各坐标轴的交角余弦很快可写出九个分量的矩阵元素.77图i5绕X,轴转e角度后，新坐标轴的相对位置xr与x“x?,X3的夹角余弦分别为cose,8跃90。向,oxy与X“X2,X3的夹角余弦分别为cos900+6）,COS0,OX,与X“X2,X3的夹角余弦分别为0,0,1所以它所对应的变换矩阵为cosCsin0、-sin0cosC0001,6次轴对应的6值,分别为0=360,180,120,90,60

21、代入(1.16)即可，例如4次轴，6=90。代入（116丿得绕Xs旋转的4次轴变换矩阵为:(117)-100(117)如果把坐标轴X2或X】和转轴一致，可以得到另一些变换矩阵，同学可自行练习写出.二.对称平面的变换矩阵一个对称平面对应的操作为对一平面作镜面“像”，任一位置矢量P经反映操作后和P完全重合，从数学上说，任何位置矢量在平面上的分量不变，而垂直于平面的分量则改变正负号，如杲把坐标系的（X2X3丿平面取得和对称平面重合，Xi和対称面法线方向一致，那么相应的坐标变换是，新坐标xy,x相对于x）,X3不动，而xr则变为&的相反方向（参看图1.6）.因此立刻可写出对应的变换矩阵为：用Jk1阶张

22、量327=33%J工工工”5动M/mit1mn四阶张量481=34-SSSS气c%勺sqrslqrstqrsl根据上述张量的确切定义，鉴别在物理学公式中岀现的某一个量究竞是否是张量，其唯一的根据是某一个具有若干分量的一组量，是否遵从表A.1中某一级张量变换公式.因此很容易得出如下两个结论.（1）任何二个张量的各分量，彼此相乘所得的若干量组成另一个张量，新张量的阶数将是原来二个张量阶数之总和.现以二个一阶张量（矢量）为例，来说明这个推论，二个矢量分量彼此相乘必得如下九个分量.（片）（%,的）=人彳，儿?2,Pq,、PgRq“p皿上皿=皿、P,q,（129）PM3k=L1=1这九个分量Pq口，尸1

23、3）,利用（1.6PM3k=L1=1(130丿（1.30）和表A.1中所列二阶张量变换公式完全一致，所以它们是一个二阶张量.其它阶数张量相乘可以用同样办法加以证明.因此三阶，四阶张量的变换规律分别和三个矢量及四个矢量乘积的变换规律一样.（2）物理学公式中，某二个张量之间存在线性关系，有若干比例常数，那么这一组比例常数必然也是一个张量，它的阶数也就是公式两边张量阶数之和.1.5中已经证明了两个矢量D和E之间的比例常数闭，组成一个二阶张量.如呆推广到其它阶数张量之间的比例常数，完全可以用同样办法加以证明.例如第二章的同为二阶张量的应力张量6j与应变张量旬之间的比例常数是具有81个分量组成的弹性模量

24、C回，它确实是一个4阶张量。又如压电效应中，电场强度矢量与应力张量（二阶）之间的比例常数d承，有27个分量亦可证明它是遵从三阶张量的变换公式.因此在物理公式中出现的一些新的量只要确证其它量是张量，那么这个新的量是哪一级张量是不难确定的.这里还要再次着重指出，只有张量的数学定义才是判断的唯一依据，譬如介电常数斶共有九个分量组成一个二阶张量，这是上述几节一再证明了的。但如呆有这样九个量mf=ij,而且这九个量g（折射率）确实也随坐标变换而变化，那么它是不是组成一个张量呢？我们可以从张量定义出发来考察一下，因为它随坐标变换的公式是：nij=左7=J”gditSi（L31）显然不符合表中二阶张量的变换

25、公式，它既不是二阶张量，也不是任何其它阶的张量.只有（山沪=旬才是二阶张量.因此晶体中其它很多性能如解理强度，表面能，屈服强度，电击穿强度，晶体生长速率，声速等等虽表现为各向异性，但和折射率本身一样并不具有所要求的张量变换形式，不是张量。它可能与晶体内某些张量性质的物理量有复杂的关系.1.6张量的足符互换对称一.对称与反对称二阶张量一个二阶张量如果将足符L,J次序互换后，两个分量存在旬=旬的关系，称为对称二阶张量，如果有-甸则称为反对称二阶张量。反对称二阶张量的同足符分量甸次序互换后应有汨-甸，因此阳=0（1,2,3）,所以把对称与反对称二个张量写成矩阵的形式分别为如下形状：11勺20耳2对称

26、$23反对称023/135,厂勺3_$2307一个与晶体物理性能相联系的某些量究竞属于对称张量还是非对称张量或反对称张量,纯粹从数学的角度是无法判断的，这是出于物理上的原因，取决于相应的物理过程的能量关系，我们以介电极化过程为例说明介电张量是一个对称二阶张量.根据电磁学知道电介质中电场的单位体积的总能量为：(132)(132)(132)(132)W=-DE2(1.32)微分得dW=DdE+EdD(133)方程右边第一项是由于宏观电场强度改变dE而引起介质极化偶极矩在电场中的势能变化部分，这不涉及到极化变化而引起的总能量改变，第二项才是直接晶体极化改变了dD引起的晶体内能电能的增加.W=-DE2

27、(1.32)微分得dW=DdE+EdD(133)方程右边第一项是由于宏观电场强度改变dE而引起介质极化偶极矩在电场中的势能变化部分，这不涉及到极化变化而引起的总能量改变，第二项才是直接晶体极化改变了dD引起的晶体内能电能的增加.后一项，才是真正与极化过程相联系的总能量变化，所以晶体极化过程中总能的改变可写为：dw=-EdD2=扣阿+E2dD2+E/DJ(134丿将关系式Di=ijEj(i=l,2,3)代入上式可得到7=1dW=cliEldEl+sl2EldE2+2+cllE1dEl+22E1dE1+.3E/E3+snE5dE1+上式对E!及E2的偏导数分别为：=(弓坊+6/3)(135丿(1.

28、36丿dWdE=(岂占+22E2+心疋了)(137)(138丿我们知道总电能W是宏观电场独立变量E3(138丿dddE2dE,血丿考虑(136)“37)代入上式得到:521=512(1.39)同理可以证明：Silken以及625=532所以介电张量是一个对称二阶张量.在晶体物理中重要的二阶张量属于可逆过程的都有相应能量关系，因而都是对称张量。此外一些不可逆过程有关的如电导、热导系数等二阶张量也是可以从另一角度证明绝大多数也属于对称张量(不可逆过程有关的二阶张量，也可以从另外的角度来证明人多数这样的物理量也是对称张量，但是其证明涉及到不可逆过程的热力学关系，己超出本课程范【韦|)应力与应变张量虽

29、然不存在能量关系，但从第二章中己证明也是炖称二阶张量.一个对称二阶张量的独立的分量只有以下六个：Sil,S22,33,23=532,S13=S3hS12=S21下面我们在许多场合下，可以将对称双重足符简化为一个足符来表示.简化足符的数值可取1一6,其对应关系定义如下：双足符LJ11,22,33,23,13,12简化足符1,2,3,4,5,6(1.40)为便于记忆，简化足符的顺序在二阶张量的矩阵形式中按如下顺序对应起来:二.三阶张量的足符对称问题三阶张量有三个角标如山此，足符L,J,k间是否有互换对称，也必须从物理过程中去考察.一般说正如1.5指出的三阶张量都有相应物理过程的公式和一个一阶张量、

30、一个二阶张量相联系，如压电效应中有：3P产工血(1,2,3丿(141);=*=1或者如反压电效应(或称电致伸缩效应)中有(压电效应与反压电效应参看45)工血Aa，J=l，2,3)(142)*=1(1.41),(1.42丿中的二阶张量是对称张量，那么可以证明，与二阶对称张量相对应的二个足符存在互换对称.所以一个三阶张量，由于其中二个足符是对称的，存在d承=(kj(kj对称丿的关系，所以27个分量实际上只有18个独立分量.四.四阶张量的足符对称问题四阶张量有四个足符如弹性模量Ci，由于上述同样道理，物理学公式中它所联系的二个二阶张量都是对称张量(弹性模量参看2.4及2.5),那么四个足符将分为二组

31、(i,j)及(k,1)分别是对称的，而且可以分别应用简化足符而使之简化为二个足符表示，但足符数字都改取1一6,般说四阶张量中的81个分量可减少为36个分量.但是，利用弹性形变的总能量的关系还可证明Cj两个简化足符之间也有互易对称关系，如：Cn22=C2211C1123=C23U由于这两种对称性关系的存在，弹性模量的独立分量将进一步减少到21个.不过，这种简化足符间的互换对称，不是所有四阶张量普遍存在的关系.如果相应的物理过程中，不存在某种总能量变化的对称关系，那么，简化足符是没有这种对称的，如第八章的压光系数，光弹系数等四阶张量就没有这种互换对称存在，所以它一般仍保持36个分量.以上利用足符的

32、互换对称而使用简化足符，仅仅是为了在计算某些物理学公式时使得变数尽可能减少，但必须十分注意的是，使用简化足符，并不是张量阶数降低了，所以在坐标变换时要决定张量各分量的变化时，绝对不能应用简化足符.17张量的矩阵表示和矩阵的代数运算为了书写与运算的方便，常常把物理学公式中的矢量与张量写成矩阵的形式，譬如方程（1.4）0=/可写成下列形式：j=in勺2勺3d2=気*21*22*23(143丿$32$33丿要用（1.43）来代替（1.4）,实际上必须事先约定一些规则为前提.S（1）约定任何一个矢量2（即一阶张量）的三个分量都可以写成,称为三行一37列矩阵.（2）约定一个二阶张量，可以写成5、$22$

33、2331占32*33丿称为三行三列矩阵，分量州，写在矩阵的第L行和第J列位置上.（3）方程（1.43丿等式右边两个矩阵连写在一起，表示两矩阵的乘积，所以还要事先约定一个矩阵的乘法规则.某一个矢量比、张量Tij,或者坐标变换的相应矩阵夠，我们都用P,I,A等符号下加一横来代表，（通常书籍中用黑体字表示）.现在我们来规定矩阵的乘法规则.设有一个m行n列矩阵A和一个n行P列矩阵生，相乘后得出另一m行P列的矩阵乙.乘积是这样规定的：n7,1=SaijPjk+iPik+（144丿;=1k是A中的第行各元素分别乘上B矩阵的第k列的各元素的总和为乘积丫矩阵中的第沟元素为明白起见，举一个数学例子:p32、02

34、)519、1-1331=-925(145丿214z8丿37,乘积矩阵中第一行第一列元素等于第一个矩阵的第一行元素分别乘上第二矩阵的第一列元素之和，即：OxO+3x3+2x(-2尸5其它乘积矩阵元素的值，可按此规则乘得(1.45)的结果.在矩阵乘法中必须注意二点：1.两矩阵相乘前面矩阵的列数必须和后面矩阵的行数相等，否则两矩阵不能相乘.2.两矩阵相乘的次序颠倒是不相等的，即ABBA.例如：有了事先约定的上述各规则，那么物理学公式(1.43)与(1.4)表示完全同等.(1佝(147)有了矩阵运算的上述规则，同样可以应用到矢量和二阶张量的变换公式，用矩阵形式可表示出来，同学可以自行证明，矢量P(1佝

35、(147)九勺2孤、5a2231an叽r=AP式中，A为坐标变换矩阵.二阶张量的变换公式可写为:勺2勺2叮九215、$22=%23%。22务丿%&33丿“3。23叽(148丿式中A是坐标变换矩阵，4是A的转置矩阵，即将A中的行换为列，列换为行的矩阵.物理学公式和张量的坐标变化的运算利用矩阵符号将简洁得多，在各项具体展开时，不易搞错，有很大的方便.譬如一个矢量P经连续坐标变换二次，最后的变换公式用矩阵符号运算就简单得多，设第一次变换为A,第二次变换为则有：里=AP及Pn=BP前式代入后式得到最后变换公式为:(149丿(150(149丿(150丿式中Q=M最后变换必定相当于进行变换C,正好是BA的

36、乘积.行数列数(mx相同的矩阵可以相加，有：C=A+B其中矩阵元素有下列关系：Cjj=cijj+bij(1-51)其它更高阶的张量，如第四章遇到的压电系数山近第七章中遇到的电光系数丫址，第六章中的非线性系数d址为三阶张量以及第二章遇到的弹性模量C训，声光系数P明为四阶张量，不能直接写成矩阵形式，但是我们可以利用它们两个足符的互换对称性(即LJ可互换或kl可互换)将其指标简化后，物理学公式在形式上也可以写成矩阵形式，这将在有关各章中分别加以介绍.1.8二阶对称张量的几何表示和二阶张量的主轴晶体物理中遇到的二阶对称张量比较多，我们应该比较熟悉它随坐标系变换的性质.同时二阶张量的变换公式中只出现二个

37、变换矩阵元素的加和符号，比较简单，有可能在空间中用一个几何曲面来形象地表示它和坐标系之间的关系.一个矢量可用某方向上一定长度的直线来形彖地表示它在该坐标系中的三个分量，三个分量相应于在三个坐标轴上的投影，坐标系变换时，可形彖地看到三个投影的人小也在相应改变.下面介绍二阶张量对应的几何表示.我们现在按下式定义一个空间二次曲面：(152)展开出来就是：(1.53)txr+sM+s泌儿+s2lx2xl+s22x22+S25X2X,+S31X3X1+S32X3X2+S33X32(1.53)=1如果有SSa(1.53)变为：几乂：+2S23X2X3+2S13X1X3+2SY1XYX1=1(1.54)从空

38、间解析几何的知识，我们知道(154丿是一个以坐标系原点为中心的二次曲面方程，或者是一个椭球，或者是一个双曲面。坐标系变换时，曲面方程的各项系数也相应变化，现在假定坐标系从OX,OX2,OX3变为OX门ox2ox/,则有X产工Xj=Q(jX(1.55)代入(1.54)有:经整理新坐标系中，曲面方程中XFXQ页的新系数为:Sr=工akiaijijkl=l(156丿(157丿(156丿(157丿工SJXXH(1-58)我们可以明显地注意到，一个二次曲面的各系数的变换公式(1-57)和二阶的变换公式完全一样.因为二次曲面的系数对L,J是对称的，SfSp,所以说二次曲面的系数就具有二阶对称的特征.因而任

39、何一个二阶对称张量闭，在几何上都可以用下述曲面来形象地表示：工护”=1(1.59)i、j=对称二阶张量的六个分量相应于这个曲面方程的六个系数，这个曲面称为该张量的表彖曲面，正如一个矢量可用在某方向上一定长度线段来表示，它的三分量是三个坐标上的投影,而一个对称二阶张量有六个分量，则要用一个空间曲面表形象地表示，它的分量为曲面方程的六个系数，这样的表示在直观上有很人好处，因为大家对二次曲面在各坐标系统中的方程变化比较熟悉，下面将看到，利用表象曲面可以很快地看出它代表的张量所决定的物理性能在各方向上所具有的对称性.我们在空间解析几何中已经知道，一个二次曲面，有一个重要特性，总可以找到三个正交的坐标系

40、统中曲面方程中交叉项系数都等于零.曲面方程有如下简单的形式：+C22X22+63X3,=1(1.60)由此可见，一个二阶对称张量，一般情况下有六个分量，但是实际上，只要找到适当的坐标系统，仅需要三个分量就可以完全确定，使所有LHJ的旬=0的三个坐标轴称为张量主轴,这时三个不等于零的分量8U,822,833称为二阶张量主值，如果三个主值都是正值，那么它的表象曲面就是大家熟悉的椭球方程：crZr(T(161丿其中Cl=y(161丿11*22见图18(a)如果三个主值中二个为正，一个为负，是一个单叶双曲面见图1.8(b),主值中二个为负，一个为正，是一个双叶双曲面见图18(c)(c)(c)图18二阶

41、对称张量三种可能的表象曲面椭球(b丿单叶双曲面双叶双曲面根据以上分析，当二阶对称张量在取主轴为坐标轴时，不为零的分量只有三个，具有最简单的形式.这时的物理学公式也具有最简单的形式.例如电位移与电场强度间关系为：D：=工%Ej2,3)(162)7=1如果取砌的主轴为坐标轴，有：Di-3)hEiD?二GG2E2(1.63)/=SD3ED在&方向的分量Di只与Ei有关，D?只与有关，Ds只与Es有关，当血担详尬时，D和E般说方向并不一致，这是各向异性晶体必须存在的现彖，但是张量的主轴却是一个特殊的方向，当E恰好平行于某一主轴方向，譬如沿着OX】轴，即E123窓；zrIX=、丿、123窓；zrIX=、

42、丿123XXXoO4123-2O具体写出联立方程为:-X1-X.+O=ZY1212-1一丄X.+-X.+0=ZY220+0+4X3=陆令系数行列式为零：(168)004-A(1.69)乘出行列式值得到:整理后得(1.70丿(V-3U2X4-X尸0求出九的三个根为：=1,九”=2,九小=(1.70丿将貯代入(1.69)得lx丄XJ=022-X/+-XJ=0212*3XJ=0解得：xr=o,xr=xr凶=推+卜2打=厲险再将九代入(1.69)得：一丄x“丄x,”=o22(172丿一丄丄XJ=0(172丿3XJ=0得：xr=o,xr=xr|xn|=V2|x1,|再将肝代入(169)得：-X/1匚丄x

43、/u=0(1.73)2122(1.73)-X.H1H=022得X严=X2叫0,XC区小|=|丈冷三个主轴的方向余弦各为：=,X1M-1_V2O,=1一=,X1M-1_V2O,=1一L，/=0(172)如果要将坐标系变换到主轴坐标系则要进行下列变换:(11)H疋0(1.73丿2吉(1.73丿001这个变换相当于绕坐标轴&转动45。角(见1.4),这主轴坐标中张量分量按(1.48)式为:S=ASA如果按1.7中所述的矩阵乘法来计算很方便地可得到：100、(主轴坐标系)S*=020004丿S的三个主值确为貯,九笃壮”的数值.110晶体张量与晶体对称性的关系晶体宏观物理性能必然反映晶体内部结构的对称性

44、，因而某种物理性能的各阶张量的分量也必然受到晶体宏观对称性的制约.换句话说，晶体各张量分量由于应该反映这种对称性,因而有些分量必须为零，有些分量之间应存在一些关系，完全独立的分量将进一步减少，最为明显的例子是有压电效应的晶体的点群类型均是没有对称中心的下面我们将证明有对称中心时，压电系数的所有分量均为零，而有热释电效应的晶体，由于对称性的制约，只能是20种压电类晶体中10种类型.本节主要讨论宏观物理性能和晶体微观对称性之间的关系,这对于晶体物理效应的应用来说，熟悉这种关系是重要的.物质与场张量上面我们讨论张量的一些普遍性质时没有去严格区分我们可能遇到的两种不同的张量:一种张量是直接与晶体本身属

45、性相联系的物理参量，另一类是外界施加于晶体的物理量.举例来说，晶体受到外应力作用时，晶体中将存在应力场，这个应力场是用二阶应力张量来描述的，虽然它是一个张量，但不是晶体本身属性决定的，而是由外界施加应力的方式决定，显然不受晶体本身对称性所制约，即使是各向同性的物体，只要外界应力各方向不一样，内部应力决不会是各向同性的.因而应力张量和直接属于晶体自身物理属性的参量如介电张量，热膨胀，热传导系数等二阶张量不同，前者是外界施加于物体的，不受晶体对称性制约，我们称之为“场张量”，后者是晶体自身属性的参量，受晶体对称性制约，称为“物质张量”.一阶张量中外加电场也属于场张量，热释电系数则属于一阶的物质张量

46、.因此，下面我们的分析对称性对张量的影响，都是分析“物质张量”.不过在具体问题中，只要注意到这一点，那么两种张量是不易混淆的，今后我们仍不加区分，统称为张量.诺埃曼原理我们说晶体宏观物理性能应该受到晶体对称性的制约，这并不意味着要求在各方向上物理性能具有的对称性一定和晶体所属的点群类型的对称性完全一致.，而是要求物理性能的对称性应包含晶体所具有的点群对称性，或者说至少不能低于点群对称性，这个原理一般称为诺埃曼(Neumann)原理譬如我们下面将证明的，一个属于立方晶系任何一个点群的晶体,它的介电极化性能或者光折射率各方向上的对称性并不一定和点群对称性一致而有立方的对称.事实上这两种物理性能表现

47、出来的却是各向同性的比立方对称还要高.各向同性等于说是什么对称都有，就像几何图形的球体所具有的对称性一样，它当然包含了立方的对称性，这就不违背诺埃曼原理假如介电性能与光折射率表现为只有一个四次对称轴的各向异性，那么就和诺埃曼原理违背了，这是绝对不会出现的.由于一阶和二阶张量都有比较形象的几何表示(一阶张量可视为一个矢量的三个分量，二阶对称张量可视为一个二次曲面方程的六个系数)，利用诺埃曼原理可以很方便很直观地找出晶体对称性对物理性能，即对相应张量的判约关系.我们仅仅举两个简单的例子来说明上述办法.第一例：具有热释电效应的晶体只有10种点群.热释电效应的物理方程是Pi=(XiAT(1=1,2,3

48、)(1.74)晶体在温度改变时，晶体产生的自发极化强度矢量的三个分量和AT成正比，8是热释电系数(为一阶张量).对不同的晶体三个分量8是各不相同的.当然的晶体来说8是一定的，也就是只要有温度改变量热释电效应产生的自发极化强度P总是沿着这个晶体的某一方向，因为根据方程(1.74)P的方向是(1=1,2,3)所决定的，热释电物理效应造成的自发极化强度P的指向就体现了这个物理性能上各方向上的差异.应用诺埃曼原理，就是考察一下己有这个极化强度P的晶体是不是还能保持这个晶体所属点群的对称性，因为如呆P所具有的对称包含了点群对称性，那么点群对称性就能保持，如呆不能包含，就会和原有的点群对称性相抵触.用这个

49、角度来考察它对一阶张量，即对P的分量(.两者只差一!)的制约有如下四个结论：有对称中心的晶体，如呆存在极化矢量P的话，不论它指向如何，破坏了晶体的中心对称，所以P=0,即ol的分量都为零，不会有热释电效应.如果晶体没有对称中心，但只有一根对称轴(2,3,4或6次轴)，P如果不沿着这个对称轴，就与点群对称性抵触见图1.9(,如果P沿着这个轴，就可保持原有的点群对称性，即允许有热释电效应.但是现在晶体的对称性对P的指向是有限制的，P的三个分量中，只允许沿着对称轴方向分量不为零，垂直于对称轴分量都必须为零见图1.9(.如果坐标轴Xs取在对称轴上，那么8弋0,0,5).(山)同理，晶体如只有一个对称平

50、面，那么只有P躺在这个对称面内，才能保持原有对称性，此时，对P的制约是垂直于对称面的分量必须为零.如果坐标轴X2取在对称面法线方向上，则a(8,0,5)(见图1.10).(巧(3图1.9对称轴对一阶张量的限制但丿戸不在对称轴上，破坏了轴的对称(b丿P沿对称轴方向，对称轴的对称性仍可保持(w)晶体中虽无对称中心，但有4,6或者有一个以上对称轴，或者有一个对称轴并垂直于该轴有一个对称平面的诸点群类型，P不论指向如何，都破坏了点群对称性，故oc的三分量均为零也就没有热释电效应.综上所述，易IJ除,(两项结论中所指出的无热释电效应的点群类型，那么32种点群中只有如下10种是热释电类晶体.TOC o 1

51、-5 h z12346mmm23m4mm6mmX2X2(b)图110对称平面一阶张量的限制(如戸不躺在m内，对称破坏P躺在m内，m对称性可保持第二例凡是立方晶系诸点群，其对称二阶张量三主值必相等，其它分量均为零，表像椭球必蜕化为球.既然表彖曲面的形状和相对坐标轴的一定方位时的曲面方程，它的六个系数可以完整地代表二阶对称张量的六个分量，那么应用诺埃曼原理考察晶体对称性对张量的制约，就是考察晶体中“放”进这个曲面后能否保持原有点群对称性的问题.立方晶系诸点群的共同点是至少有一个三次轴和一个二次轴（可参看附录A中的点群极图）.如果这两个对称元素的制约就足以使表象椭球蜕化为球的话，那么其它任何对称元素

52、均可自动满足了.从图1.11可清楚看到（a）曲面为椭球，无论方位如何.对称轴2和3的对称性均遭破坏，（b）如呆曲面蜕化为旋转椭球即垂直于某一主轴的截面为圆并且这个主轴平行于对称轴，则3次轴对称性保持，但2次轴对称性遭破坏，（c）只有蜕化为一个球时，方能同时保持二个轴的对称性.曲面蜕化为球时，曲面方程只有三个主值不为零而且相等，其它交叉次项系数均为零，于是问题得证.用类似方法可很快证明三方，六方，四方晶系诸点群，曲面蜕化为旋转椭球，并且方位上也有了限制，即垂直截面为圆的轴平行于高次轴，这类点群的晶体在光学上称为单轴晶体.还可证明正交，单斜，三斜晶系诸点群，曲面仍为一般椭球，但方位的限制上三晶系有

53、所不同，这类晶体光学上称为双轴晶体（光学上的单轴晶体和双轴晶体将在第五章详细讨论八图1.11相交的三次轴和二次轴对称性对表象椭球的限制（a）任意椭球（b丿旋转椭球（垂直于圆截面的主轴平行于3次轴）（c）球至于前已证明的立方晶系，它的表象曲面蜕化为球，由此可见对于任何一个与二阶张量联系的物理性能，在立方晶系的晶体中完全和各向同性的物体一样，所以介电极化和光学折射率（它的平方为二阶张量）是和二阶张量相联系的，因此它们在立方晶系中具有各向同性的性质.二阶张量和对称性的关系其结果列于附录A的表A?中.利用对称变换确定对称性对张量的制约一阶张量和二阶对称张量和对称性的关系，可利用形象的几何图形来考察，对

54、更高阶的张量必须用对称变换的方法加以考察，这是一种适用任何阶张量的更为普遍的方法.任何阶数的张量I，经过晶体所属点群对称变换后得到新坐标系的张量F,因为这个变换是晶体对称元素相应的变换，所以变换后的物理性能应该和未变换前完全一样，即要求：r=i(1.75)(1.75)等式表示张量各分量之间彼此相等，所以是一组联立方程，从方程中便可找出，由于该对称元素的存在，在张量分量之间制约关系.现在举三个例子来说明上述方法.第一例点群4的二阶对称张量具有下列矩阵形式：00、T=0t120(X3轴4次轴时)(1.76丿0卩33丿(010、点群4有一4次轴，设Xs轴4次轴，根据14(1.17)式，其变换矩阵力=-100301丿根据1.5所述二阶张量口的变换规律与两矢量乘积XXj的变换一