对数函数及其性质 (人教A版必修1)

1、关于对数函数及其性质 (人教A版必修1)第1页，共38页，2022年，5月20日，22点32分，星期三28.09.2022学点一学点二学点三学点四学点五学点六学点七学点八第2页，共38页，2022年，5月20日，22点32分，星期三28.09.20221.对数函数的概念函数 叫做对数函数.2.对数函数的图象和性质. 图在下一页y=logax(a0,且a1)3.对数函数y=logax(a0,且a1)与指数函数y=ax(a0,且a1)互为 .它们的图象关于 对称.反函数y=x返回 第3页，共38页，2022年，5月20日，22点32分，星期三28.09.2022函数 y=logax （a0,a 1

2、）a的取值0a1定义域值域R图象图象特征在y轴的右侧，过定点（1，0）当x0且x0时,图象趋近于 y轴正半轴.当x0且x0时，图象趋近于 y轴负半轴.单调性在(0,+)上是减函数.在(0,+)上是增函数.函数值的变化规律当0 x1 时, y0.当 0 x1 时，y1时， y0 .返回 第4页，共38页，2022年，5月20日，22点32分，星期三28.09.2022学点一 比较大小比较大小：（1） ， ；（2） , ;（3） , .【分析】从对数函数单调性及图象变化规律入手.返回 第5页，共38页，2022年，5月20日，22点32分，星期三28.09.2022【解析】（1）函数y= 在(0,

3、+)上递减，又 , .（2）借助y= 及y= 的图象，如图所示，在(1,+)内，前者在后者的下方， .（3）由对数函数的性质知， 0, .返回 第6页，共38页，2022年，5月20日，22点32分，星期三28.09.2022【评析】比较两个对数值的大小，常用方法：（1）当底数相同，真数不同时，用函数的单调性来比较；（2）当底数不同而真数相同时，常借助图象比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较；（3）当底数与真数都不同时，需寻求中间值比较.返回 第7页，共38页，2022年，5月20日，22点32分，星期三28.09.2022比较下列各组数中两个值的大小：（1） ;（2） ;（3） (a

4、0，且a1).返回 第8页，共38页，2022年，5月20日，22点32分，星期三28.09.2022（1）考查对数函数y=log2x，因为它的底数21,所以它在(0,+)上是增函数，于是log23.4log28.5.（2）考查对数函数y=log0.3x，因为它的底数满足00.3log0.32.7.（3）对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1，而已知条件中并未明确指出底数a与1哪个大，因此，要对底数a进行讨论：当a1时，函数y=logax在(0,+)上是增函数，于是loga5.1loga5.9;当0aloga5.9.返回 第9页，共38页，2022年，5月20日，22点32分，星期

5、三28.09.2022求下列函数的定义域：（1） y= ;（2） .【解析】(1)要使函数有意义，必须且只需 x0 x0 log0.8x-10 即 x0.8 2x-10, x ,00 x x-10 解得 x1 3x-10 x 3x-1 0 x 因此，函数的定义域为 (1,+) .返回 【评析】求函数定义域实质上就是据题意列出函数成立的不等式（组）并解之，对于含有对数式的函数定义域的求解，必须同时考虑底数和真数的取值条件，在本例（2）（4）中还用到指数、对数的单调性.第11页，共38页，2022年，5月20日，22点32分，星期三28.09.2022求下列函数的定义域：（1）（2）（1）由log

6、0.5(4x-3)04x-30得04x-31, 0 x0 得 x-1 x+11 x0.-1x0或0 x1).【分析】复合函数的值域问题，要先求函数的定义域，再由单调性求解.返回 第14页，共38页，2022年，5月20日，22点32分，星期三28.09.2022【解析】（1）-x2-4x+12=-(x2+4x)+12 =-(x+2)2+1616,又-x2-4x+120, 00,且y=log x在(0,+)上是减函数,yR,函数的值域为实数集R.返回 第15页，共38页，2022年，5月20日，22点32分，星期三28.09.2022（3）令u=a-ax,u0,a1,axa,x1,y=loga(

7、a-ax)的定义域为x|x1,ax0,u=a-axa,y=loga(a-ax)logaa=1,函数的值域为y|y1.【评析】求函数的值域一定要注意定义域对它的影响，然后利用函数的单调性求之，当函数中含有参数时，有时需要讨论参数的取值.返回 第16页，共38页，2022年，5月20日，22点32分，星期三28.09.2022求值域：（1）y=log2(x2-4x+6); （2） .(1)x2-4x+6=(x-2)2+22,又y=log2x在(0,+)上是增函数,log2(x2-4x+6)log22=1.函数的值域是1,+).(2) -x2+2x+2=-(x-1)2+33, 0或 . 函数的值域是

8、 , 返回 第17页，共38页，2022年，5月20日，22点32分，星期三28.09.2022学点三 对数函数的图像 已知a0且a1，函数y=ax与y=loga(-x)的图像只能是（ ）【分析】应先由函数定义域判断图像的位置，再对底数a进行讨论，最后选出正确选项.【解析】解法一:首先,曲线y=ax只可能在上半平面,y=loga(-x)只可能在左半平面上,从而排除A,C.其次,从单调性着眼,y=ax与y=loga(-x)的增减性正好相反,又可排除D.故应选B.返回 第18页，共38页，2022年，5月20日，22点32分，星期三28.09.2022【评析】要正确识别函数的图像，一是要熟悉各种基

9、本初等函数的图像，如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数的图像等；二是把握函数图像的性质，根据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性等.返回 解法二:若0a1,则曲线y=ax上升且过(0,1),而曲线y=loga(-x)下降且过(-1,0),只有B满足条件.解法三:如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图象为y=logax,又y=logax与y=ax互为反函数(图象关于直线y=x对称),则可直接选定B.第19页，共38页，2022年，5月20日，22点32分，星期三28.09.2022函数y=ax与y=-logax(a0,a1,x0)在同一坐标系中的

10、图像形状只能是（ ）(a1时,y=ax是增函数,y=logax也是增函数，y=-logax为减函数.两函数的单调性相反，除C，D,而B中，y=-logax中x0不成立.故应选A.)A返回 第20页，共38页，2022年，5月20日，22点32分，星期三28.09.2022学点五 求最值已知f(x)=2+log3x,x1,9,求y=f(x)2+f(x2)的最大值及当y取最大值时x的值.【分析】要求函数y=f(x)2+f(x2)的最大值，首先要求函数的解析式，然后求出函数的定义域，最后用换元法求出函数的值域.【解析】f(x)=2+log3x,y=f(x)2+f(x2)=(2+log3x)2+(2+

11、log3x2)=log32x+6log3x+6=(log3x+3)2-3.函数f(x)的定义域为1,9,要使函数y=f(x)2+f(x2)有定义，必须返回 第21页，共38页，2022年，5月20日，22点32分，星期三28.09.2022 1x29 1x9.1x3,0log3x1.令u=log3x，则0u1.又函数y=(u+3)2-3在-3,+)上是增函数,当u=1时，函数y=(u+3)2-3有最大值13.即当log3x=1,即x=3时，函数y=f(x)2+f(x2)有最大值为13.【评析】求函数的值域和最值，必须考虑函数的定义域，同时应注意求值域或最值的常用方法.返回 第22页，共38页，

12、2022年，5月20日，22点32分，星期三28.09.2022已知x满足不等式-3 ,求函数f(x)=的最大值和最小值.-3 ，即 x8, log2x3,f(x)=(log2x-2)(log2x-1)=（log2x- ）2 - ,当log2x= ,即x=2 时，f(x)有最小值- .又当log2x=3,即x=8时，f(x)有最大值2,f(x)min=- ,f(x)max=2.返回 第23页，共38页，2022年，5月20日，22点32分，星期三28.09.2022学点六 求变量范围已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).（1）若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若f(x)的

13、值域为R，求实数a的取值范围.【分析】若f(x)的定义域为R，则对一切xR,f(x)有意义；若f(x)值域为R，则f(x)能取到一切实数值.【解析】（1）要使f(x)的定义域为R，只要使(x)=ax2+2x+1的值恒为正值， a0 =4-4a0，返回 第24页，共38页，2022年，5月20日，22点32分，星期三28.09.2022（2）若f(x)的值域为R，则要求(x)=ax2+2x+1的值域包含(0,+).当a0时，(x)=ax2+2x+1要包含(0,+)，需 a0 =4-4a0综上所述，0 a1.【评析】本题两小题的函数的定义域与值域正好错位.（1）中函数的定义域为R,由判别式小于零确

14、定；（2）中函数的值域为R，由判别式不小于零确定.返回 第25页，共38页，2022年，5月20日，22点32分，星期三28.09.2022函数y=logax在x2,+)上总有|y|1，求a的取值范围.依题意得|logax|1对一切x2,+)都成立，当a1时，因为x2,所以|y|=logax1，即logaxlog22.所以1a2.当0a1,所以logax-1，即logaxlog 2对x2恒成立.所以 a0解得f(x)的定义域是(-,-1)(1,+),f(-x)= = = = -f(x),f(x)是奇函数.（2）证明:设x1,x2(1,+)，且x1x11,x2-x10,x1-10,x2-10,u

15、(x1)-u(x2)0,即u(x1)u(x2)0,y=log u在(0,+)上是减函数,log u(x1)log u(x2),即log log ,f(x1)0 x - 10 p - x0当p1时，函数f(x)的定义域为(1,p)(p1).返回 第29页，共38页，2022年，5月20日，22点32分，星期三28.09.2022（2）因为f(x)=所以当 1,即1p3时，f(x)无最大值和最小值；当1 3,x= 时，f(x)取得最大值，log2 =2log2(p+1)-2，但无最小值返回 第30页，共38页，2022年，5月20日，22点32分，星期三28.09.2022学点八 反函数已知a0,

16、且a1，函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是（ ）【分析】分a1,0a1两种情况，分别作出两函数的图象，根据图象判定关系.B返回 第31页，共38页，2022年，5月20日，22点32分，星期三28.09.2022【解析】解法一：首先，曲线y=ax只可能在上半平面，y=loga(-x)只可能在左半平面，从而排除A，C.其次，从单调性着手，y=ax与y=loga(-x)的增减性正好相反，又可排除D，故只能选B.解法二：若0a1，则曲线y=ax上升且过点(0,1)，而曲线y=loga(-x)下降且过(-1,0)，只有B满足条件.解法三：如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图

17、象为y=logax的图象，因为y=logax与y=ax互为反函数（图象关于直线y=x对称），则可直接选B.【评析】本题可以从图象所在的位置及单调性来判别，也可利用函数的性质识别图象，特别注意底数a对图象的影响.要养成从多角度分析问题、解决问题的习惯，培养思维的灵活性.原函数y=f(x)与其反函数的图象关于y=x对称是其重要性质.返回 第32页，共38页，2022年，5月20日，22点32分，星期三28.09.2022若函数f(x)=ax(a0，且a1)的反函数的图象过点(2,-1),则a= . 反函数的图象过点(2,-1)，则f(x)=ax的图象过(-1,2),得a-1=2,a= .返回 第3

18、3页，共38页，2022年，5月20日，22点32分，星期三28.09.20221.如何确定对数函数的单调区间？（1）图象法：此类方法的关键是图象变换.（2）形如y=logaf(x)的函数的单调区间的确定方法：首先求满足f(x)0的x的范围，即求函数的定义域.假设f(x)在定义域的子区间I1上单调递增，在子区间I2上单调递减，则当a1时，原函数与内层函数f(x)的单调区间相同，即在I1上单调递增，在I2上单调递减.当0a0，且a1.但指数函数的定义域是R，对数函数的定义域是(0,+).对数函数的图象在y轴的右侧，真数大于零，这一切必须熟记.2.反函数（1）在写指数函数或对数函数的反函数时，注意函数的定义域且底数必须相同；（2）互为反函数的两个函数