对数及对数运算

1、关于对数及对数运算第1页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三 1.庄子:一尺之棰，日取其半，万世不竭 ，问4天还有多少尺？取多少次还有0.03125尺？设取x次还有0.03125尺问题提出( )x0.03125，求x=?第2页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三 2.截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么过几年人口数将达到18亿？ 13 (11)x18，求x=?即 1.01x ，求x=?设过x年人口数将达到18亿第3页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三已知底数和幂的值，求指数. 3.上面的

2、实际问题归结为一个什么数学问题？ 1.01x ，求x=?( )x0.03125，求x=?第4页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三对数第5页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三知识探究（一）：对数的概念 思考1:24 22思考2:若2x16，则x 若2x ,则x 若4x8， 则x 若2x3， 则x164-2第6页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三若2x3， 则x 苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学过程中，为了简化其中的计算而发明了对数。第7页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三满足2x3的x的值，我们用log23表示

3、，即xlog23，并叫做“以2为底3的对数”.思考3: 若2x16，则x 若2x ,则x 若4x8， 则x 若2x3， 则xlog23log216log2log48第8页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三思考5: 满足 , ， （其中e=2.71828）的x的值可分别怎样表示？X=log10NX=logeN第9页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三x=log1.01思考4:前面问题中， , 中的x的值可分别怎样表示？ （ ）x0.03125x=log 0.03125 第10页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三 恩格斯曾经把对数的发

4、明、解析几何的创始和微积分的建立并称为17世纪数学三大成就。 但是首先用指数来定义对数的是瑞士数学家欧拉。第11页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三思考1:指数与对数有什么关系？ 知识探究（二）：对数与指数的关系 指数与对数是可以等价且相互转化axNxlogaN当a0，且a1时第12页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三思考3:当a0，且a1时，loga（-2），loga0存在吗？为什么？由此能得到什么结论？ 设loga(-2)=x,则ax=-2而当a0，且a1时,恒有ax0设loga0=x,则ax=0 第13页，共83页，2022年，5月20日，22

5、点33分，星期三a N x 指数式axN 指数的底数 幂 幂指数 对数式xlogaN 对数的底数 真数 对数 思考2:在指数式axN和对数式xlogaN中，a，x，N各自的地位有什么不同？ 第14页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三思考4:根据对数定义，logal和logaa和logaan（a0，a1）的值分别是多少？ 设loga1=x, 则ax=1,所以x=0,得loga1=0设logaa=x, 则ax=a,所以x=1,得logaa=1设logaan=x, 则ax=an,所以x=n,得logaan=n第15页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三理论迁

6、移 例1.将下列指数式化为对数式，对数式 化为指数式： (1) 54625 ; (2) 26 ; (3) ( )m5.73 ; (4) ; (5) lg0.01=; (6) ln102.303.第16页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三 例2.求下列各式中的值： (1)log64x ; (2) logx86 ; (3)lg100=x; (4)lne2 .第17页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三例3 计算（1）log 81(2) log0.30.09第18页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三例4:（1）已知a0，且a1时,N0,

7、证明 alogaN=N第19页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三练习：(1)计算 2log25=_第20页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三(2)已知log（x+3）(x2+3x)=1,求实数x的值。第21页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三(3)已知loga3=m, logan=5,则a2m+n=_第22页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三第二课时 对数的运算2.2.1 对数与对数运算 第23页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三问题提出1.对数源于指数，对数与指数是怎样互化的？ 2.

8、指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，指数运算有一系列性质，那么对数运算有那些性质呢？ 第24页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三对数的运算第25页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三知识探究（一）：积与商的对数思考2:将log232log24十log28推广到一般情形有什么结论？思考1:求下列三个对数的值：log232， log24 ， log28你能发现这三个对数之间有哪些内在联系？思考3:如果a0，且a1，M0，N0，你能证明等式loga（MN）logaM十logaN成立吗？第26页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三思

9、考4:将log232log24=log28推广到一般情形有什么结论？怎样证明？ 思考5:若a0，且a1，M1，M2，Mn均大于0，则loga(M1M2M3Mn）？ 第27页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三知识探究（二）:幂的对数思考1:log23与log281有什么关系？思考2:将log281=4log23推广到一般情形有什么结论？ 思考3:如果a0，且a1，M0，你有什么方法证明等式logaMnnlogaM成立 思考4:log2x2=2log2x对任意实数x恒成立吗？第28页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三思考6:上述关于对数运算的三个基本性质

10、如何用文字语言描述？思考5:如果a0，且a1，M0，则 等于什么？两数积的对数，等于各数的对数的和；两数商的对数，等于被除数的对数减去 除数的对数；幂的对数等于幂指数乘以底数的对数第29页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三理论迁移例1 用logax，logay，logaz表示下列 各式： ; (2) . 第30页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三例2 求下列各式的值： (1) log2（4725）； (2) lg ；(3) log318 -log32 ；(4) .第31页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三例3 计算： 第32页，

11、共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三小结作业:性质的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是个降级运算.性质的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算.性质从左往右仍然是降级运算利用对数的性质可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简和求值.第33页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三作业： P68练习：1, 2，3.P74习题2.2A组：3,4,5.第34页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三2.2.1 对数与对数运算 第三课时 换底公式

12、及对数运算的应用 第35页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三问题提出.（1） （2） （3）（1） ; （2） ; （3） .1.对数运算有哪三条基本性质？2.对数运算有哪三个常用结论？第36页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三 3.同底数的两个对数可以进行加、减运算，可以进行乘、除运算吗？ 4.由 得 ，但这只是一种表示，如何求得x的值？ 第37页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三换底公式及对数运算的应用 第38页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三知识探究（一）：对数的换底公式 思考2:你能用lg2和lg

13、3表示log23吗？ 思考1:假设 ，则 ，从而有 .进一步可得到什么结论？ 第39页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三思考4:我们把 （a0，且a1；c0，且c1；b0）叫做对数换底公式，该公式有什么特征？思考3:一般地，如果a0，且a1；c0，且c1；b0，那么 与哪个对数相等？如何证明这个结论？ 第40页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三思考6:换底公式在对数运算中有什么意 义和作用？ 思考5:通过查表可得任何一个正数的常用对数，利用换底公式如何求 的值？ 第41页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三知识探究（二）：换底公式

14、的变式 思考1: 与 有什么关系？ 思考2: 与 有什么关系？ 思考3: 可变形为什么？ 第42页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三理论迁移 例1 计算： (1) ; (2)（log2125log425log85) （log52log254log1258）第43页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三作业：P68 练习：4.P74 习题2.2A组： 6，11，12.第44页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三2.2.1 对数与对数运算 第四课时 对数运算习题课 第45页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三知识回顾.

15、1.指数与对数的换算:2.对数运算的三个常用结论:第46页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三3.对数运算的三条基本性质:4.对数换底公式:第47页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三理论迁移例1 求下列各式的值: 2 -2 1第48页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三例2 已知 ，求 的值.例3 设 ，已知 , 求 的值.第49页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三 例4 20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越.

16、这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为MlgAlgA0. 其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）； 4.3第50页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三 20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为MlgAlgA0. 其中A

17、是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）. 398第51页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三 例5 生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7，试推算马王堆古墓的年代. 2193思考题:设函数已知 且对一切 恒成立，求 的最小值.第52页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三2.2.2 对数函数及其性质第一课时 对数函数的概念

18、与图象 第53页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三问题提出 1.用清水漂洗含1个单位质量污垢的衣服，若每次能洗去污垢的四分之三，试写出漂洗次数y与残留污垢x的关系式. 2. （x0）是函数吗？若是，这是什么类型的函数？第54页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三对数函数的概念与图象 第55页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三知识探究（一）：对数函数的概念 思考1:在上面的问题中，若要使残留的污垢为原来的 ，则要漂洗几次？ 思考2:在关系式 中，取 对应的y的值存在吗？怎样计算？ 思考3:函数 称为对数函数，一般地，什么叫对数函数？

19、 第56页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三思考4:为什么在对数函数中要求a0， 且al？ 思考5:对数函数的定义域、值域分别是什么？思考6:函数 与 相同吗？为什么？ 第57页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三思考1:研究对数函数的基本特性应先研究其图象.你有什么方法作对数函数的图象？知识探究（二）：对数函数的图象 思考2:设点P(m，n)为对数函数 图象上任意一点，则 ，从而有 .由此可知点Q（n，m）在哪个函数的图象上？第58页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三思考3:点P(m，n)与点Q(n，m)有怎样的位置关系？由此说

20、明对数函数 的图象与指数函数 的图象有怎样的位置关系？ PQxyo第59页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三思考4:一般地，对数函数的图象可分为几类？其大致形状如何？ yx011xy011思考5:函数 与 的图象分别如何？ a10a0,a1);（4）log75，log67.理论迁移第69页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三 例2 求下列函数的定义域、值域： (1) y ； (2) ylog2(x22x5). 第70页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三例3 溶液酸碱度的测量: 溶液酸碱度是通过pH刻画的. pH的计算公式为pHlg

21、H+，其中H+表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔升.（1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；（2）已知纯净水中氢离子的浓度为H+107摩尔升，计算纯净水的pH.第71页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三作业： P73 练习：3 P74 习题2.2B组：1， 2，3.第72页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三第三课时 指、对数函数与反函数 2.2.2 对数函数及其性质第73页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三问题提出 设a0，且a1为常数， .若以t为自变量可得指数函数yax，

22、若以s为自变量可得对数函数ylogax. 这两个函数之间的关系如何进一步进行数学解释？第74页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三指、对数函数与反函数 第75页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三知识探究（一）：反函数的概念 思考1:设某物体以3m/s的速度作匀速直线运动，分别以位移s和时间t为自变量，可以得到哪两个函数？这两个函数相同吗？ 思考2:设 ，分别x、y为自变量可以得到哪两个函数？这两个函数相同吗？ 思考3:我们把具有上述特征的两个函数互称为反函数，那么函数yax（a0，且a1）的反函数是什么？函数 的反函数是什么？ 第76页，共83页，2022年，5月20日，22点33分，星期三