【概率论与数理统计】ch2-10 二个随机变量的函数的分布

1、2.6二维随机变量及其联合分布函数2.7 二维离散型随机变量2.8 二维连续型随机变量2.9 随机变量的相互独立性2.10 两个随机变量的函数的分布教学内容Content Chapter 2 Random Variable and Distribution 第二章 随机变量及其分布 教学要求 2.10 两个随机变量的函数的分布主要内容ContentsRequests Chapter 2 Random Variable and Distribution 第二章 随机变量及其分布 一、问题引入二、离散型随机变量情形三、连续型随机变量情形1.掌握三类常见二元函数的分布Mutually Indepen

2、dence of Random Variable在实际应用中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数.例如，考虑全国年龄在40岁以上的人群，用和分别表示一个人的年龄和体重，表示这个人的血压，关系式现希望通过的分布来确定并且已知与的函数的分布.此类问题就是我们将要讨论问题的引入的两个变量函数的分布问题.主要内容在本节中，我们重点讨论两种特殊的函数关系：(a)(b)和其中与相互独立.注：应指出的是，将两个随机变量函数的分布问题推广到个随机变量函数分布问题的繁杂程度的提高，并没有本质的差异.只是表述和计算离散型随机变量的函数的分布 设(X Y)是二维离散型随机向量 g(x y)是一个二元函数

3、 则g(X Y)作为(X Y)的函数是一个随机变量 如果(X Y)的概率分布为 PXxi Yyjpij i j12 记zk(k1 2 )为Zg(X Y)的所有可能取值 则Z的概率分布为 PZzkPg(X Y)zk 例1 已知(X Y)的概率分布 求(1) XY 的概率分布 解 列表法 pij0.10.200.30.050.10.1500.1(X,Y)(0,-1)(0,0)(0,2)(1,-1)(1,0)(1,2)(2,-1)(2,0)(2,2)X+Y-102013124XY000-102-204-101234 pk0.10.50.200.10.1-2-1024 pk0.150.30.350.1

4、0.1(2) XY 的概率分布 例1(1) 已知(X Y)的概率分布 求XY的概率分布 XY的可能取值有 1 0 1 2 3 4 的概率分布为 解 P1PXY1 PX0 Y1 01 P0PXY0 PX0 Y0PX1 Y1 05 P1PXY1 02 PX1 Y0PX2 Y1 P2PXY2 PX0 Y2PX2 Y0 0 P3PXY3 PX1 Y2 01 P4PXY4 PX2 Y2 01 公式法 例1(2) 已知(X Y)的概率分布 求XY的概率分布 XY的可能取值有 2 1 02, 4 的概率分布为 解 P2 PX2 Y1 015 P1 PX1 Y1 03 P0PX0 Y1PX0 Y0PX0 Y2

5、 PX1 Y0PX2 Y0 035 P2 PX1 Y2 01 P4 PX2 Y2 01 公式法 PkPXYk 练习(P97-3)：设X Y是两个相互独立的随机变量 分别服从参数为1和2的泊松分布 求XY的分布 解 可见XY服从参数为12的泊松分布 其中连续型随机变量的函数的分布 设(X Y)是二维连续型随机向量 其概率密度函数为f(x y) 令g(x y)为一个二元函数 则Zg(X Y)的分布函数为 FZ(z)PZz Pg(X Y)z P(X Y)Dz 其中Dz(x y)|g(x y) z 继而 其密度函数fZ(z) 对几乎所有的 z 有Z(z) (337) fZ(z)F 补例 设二维随机向量

6、(X Y)在矩形G(x y)|0 x2 0y1上服从均匀分布 试求边长为X和Y的矩形面积S的密度函数 f(s) 解 令F(s)为S的分布函数 则当s0时 F(s)PSs0 于是 当0s2时 有 当s2时 F(s) PSs1 1.和的分布：设和的联合密度为则的密度为(1)证明的分布函数这里积分区域是直线左下方的半平面（如图）.化成累次积分，得固定和对括号内的积分作变量代换得于是，的概率密度为由和对称性，又可写成以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.注：特别地，设关于和独立时，当的边缘密度分别为则上述两式化为以上两个公式称为卷积公式.例3设和相互独立,均服从标准正态分布,求的概率密度函数

7、.解由卷积公式,对有因为所以例3设和相互独立,均服从标准正态分布,求的概率密度函数.解作变量代换,令则它表明注:进一步可以证明,设且和相互独立,则正态随机变量的线性组合类似于例3，利用卷积公式可得到下列定理 .定理1设相互独立，则仍然服从正态分布，更一般地，可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，即有且且正态随机变量的线性组合定理2若且它们相互独立，则对任意不全为零的常数有得到更一般的推广形式结合P72-定理1，后面统计学部分会用到此公式补例 设某商品一周的需求量是一个随机变量,其概率密度函数为如果各周的需求量相互独立,求两周需求量的概率密度函数.解分别用和表示第一、

8、二周的需求量,则从而两周需求量利用卷积公式计算.当时,若则解当时,若则若则从而当时,若则若即则故从而及的分布设随机变量 相互独立,其分布函数分别为和由于不大于等价于和都不大于故有类似地,可得的分布函数及的分布类似地,可得的分布函数注:上述结果易推广到维情形:设是个相互独立的随机变量,其分布函数分别为及的分布注:上述结果易推广到维情形:设是个相互独立的随机变量,其分布函数分别为则的分布函数为的分布函数为P97-6设系统由两个相互独立的子系统连接而成,连接的方式分别为串联、并联、备用(当系统损坏时,系统开始工作),如右图所示.已知它们的概率密度分别为设的寿命分别为其中且试分别就以上三种连接方式写出的寿命的概率密度.P97-6(1)串联的情况由于当中有一个损坏时,系统就停止工作,所以这时的寿命为由题设知的分布函数分别为于是的分布函数为P97-6(1)串联的情况由于当中有一个损坏时,系统就停止工作,所以这时的寿命为于是的分布函数为的概率密度为P97-6(2)并联的情况由于当且仅当都损坏时,系统才停止工作,所以这时的寿命于是的分布函数为于是的概率密度为=P97-6(3)备用的情况解由于这时系统损坏时系统才开始工作,故整个即故当时,的概率密度为的寿