微分几何课后习题解答

1、 ,u , bv 的坐标曲线.,u ,bv =0,0，bv u , =螺线上任意点的切平面和法线方任意点的切平面方程为的参数方程为x = cos , y = asin , z = t ,。所以切平面方程为：的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积 曲面的第一基本形式 I =2。求正螺面 = u线互相垂直。在第一基本形式为I =曲线的弧长。,沿曲线u = v有du=dv ，将其代入 得，ds=coshvdv, 在曲线u=v上，从 到解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量 ， ，曲线u + v = 0与u v = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的5求曲面z = axy上坐标曲线

2、x = x ,y = 的交角.+ 2Q + R=0 ,设其二根 , , 则又根据二方向垂直的条件知E证 用分别用、 、d表示沿u曲线，v曲线及其二等分角线的微分展开并化简得E(EG- )线的二等分角线的微分方程为EE = = ,F= = 0 , G = =分析 根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射 =,在旋转曲面上作一参数变换, 则其第一基本形式为:=2 +2 dudv+( +1) =I .解 =sinhucosv,sinhusinv,1, =-coshusinv,coshucosv,0=coshucosv,coshusinv,0, =-sinhusinv,sinhucosv,

3、0,=-coshucosv,-coshusinv,0, = cosh u,第一基本形式,第二基本形,E=1,F=0,G=1,L=5,M=2,N=2,EN-2FM+GL=0。, N = 0 EN - 2FM + GL= 0 .5. 已知平面 到单位球面(S)的中心距离为d(0d1),求 与(S)交线的曲率与法曲率.6. 利用法曲率公式基本量成比例。， =0,0,0， =-ucosv,-usinv,0，=0, N=而u族曲线是直线，v族曲线是螺旋线。=0 .所以u族曲线和v族曲线都是渐近线。渐近线的微分方程为, 为常数. 另一族为2ydx=-xdy, 即9.证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线

4、.证 在每一条曲线(C)的主法线曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量与，,曲面的单位法向量，所以曲线 在它的主法线曲面上是渐近线.证 曲面的向量表示为 =x,y, f(x)+g(y),x=常数,y=常数是两族坐标曲线。,因为数构成共轭网。=-ucosv,-usinv,0， =-sinv,cosv,0, N=0,曲率线的微分方程为:积分得两族曲率线为或 =0 .假设 =0, 则L =0 L ，则因 ，所以 ，所以d ，而L是曲率线，所以沿L有d ，所以有 =0,从而曲线为平面曲线；以沿L有 16求正螺面的主曲率。解 设正螺面的向量表示为 =u ,u ,bv.=-ucosv,-usinv,0

5、， =-sinv,cosv,0, N = 0,代入主曲率公式所以主曲率为17确定抛物面z=a(。)在0，0点的主曲率.证 曲面上的给定点处两主曲率分别为 、 ，任给一方向 及与其正交的方向 + ，则这两方向的法曲率分别为.又- + =2 为常数,所以为 为常数,即 为常数.21. 求双曲面z=axy在点x=y=0的平均曲率和高斯曲率.证 在点x=y=0 ,E=1, F=0, G=1, L=0, M=a, N=0,H=,所以有L=M=N=0,对应的点为0 ,即LN-M 0,所以LN-0 ,曲面上曲点, =即圆环面上、下两纬圆上的点为抛物点。或d 27证明在曲面(S)上的一个双曲点P处，假设两条渐近线都不