用不动点法求数列通项

1、用不动点法求数列的通项定义：方程f(x)x的根称为函数f(x)的不动点.利用递推数列f(x)的不动点，可将某些递推关系anf(an1)所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.定理1：若f(x)axb(a0,a1),p是f(x)的不动点，an满足递推关系ann1),(n1)，则anpa(an1p)，即anp是公比为a的等比数列.f(a证明：因为p是f(x)的不动点bpap由anaan1b得anpaan1bpa(an1p)所以anp是公比为a的等比数列.定理2：设f()axb(c0,adbc0)，an满足递推关系anf(an1),n1，xcxd初值条件a1f(a1)（1）

2、：若f(x)有两个相异的不动点anpkan1p（这里kapc）p,q，则qanqaqcan1（2）：若f(x)只有唯一不动点p，则an1p1pk（这里k2c）an1ad证明：由f(x)x得f(x)axbx，所以cx2(da)xb0cxdppdbcp2(da)pb0apc（1）因为p,q是不动点，所以cq2(da)qb0qd，所以qbaqcaan1bpan1pdbanpcand(apc)anbpdapcapcapcan111anqaan1bq(aqc)an1bqdaqcan1qdbaqcan1can1daqc令kapc，则anpkan1paqcanqan1q（2）因为p是方程cx2(da)xb0

3、的唯一解，所以cp2(da)pb0pq所以bpdcp2ap，pad所以2canaan1bp(acp)an1bpd(acp)an1cp2ap(acp)(an1p)pdcan1dcan1dcan1dcan1所以11can1d1c(an1p)dcpcdcp112canpacpan1pacpan1pacpacpan1pan1pad令k2c，则an1an1kadp1p例1：设an满足a11,an1an2,nN*，求数列an的通项公式an例2：数列an满足以下关系：a12a,an12aa2,a0，求数列an的通项公式an定理3：设函数f(x)ax2bxc(a0,e0)有两个不同样的不动点x1,x2,且由e

4、xfun1f(un)确定着数列un,那么当且仅当b0,e2a时,un1x1(unx1)2un1x2unx2证明:xk是f(x)的两个不动点axk2bxkc即c2xkexkxkf(ea)xkbxk(k1,2)fun1x1aun2buncx1(eunf)aun2(bex1)uncx1faun2(bex1)un(ea)x12bx1un1x2aun2buncx2(eunf)aun2(bex2)uncx2faun2(bex2)un(ea)x22bx2于是,1x10方程组有唯一解b0,e2a1x2例3：已知数列an中,a12,an1an22,nN*,求数列an的通项.2an其实不动点法除认识决上面所考虑的

5、求数列通项的几种状况,还可以解决以下问题:例4：已知a10,a1an46an21,求数列an的通项.1且an121)4an(an解:作函数f(x)x46x21x得f(x)的不点4x(x2,解方程f(x)1)x11,x21,x33i,x43i.取p1,q1,作以下代:33逐次迭代后,得:an(a11)4n1(a11)4n1(a14n1(a14n11)1)已知曲Cn:x22nxy20(n1,2,K)从点P(1,0)向曲Cn引斜率kn(kn0)的切ln，切点Pn(xn,yn)（）求数列xn与yn的通公式；（）明：x1x3x5Lx2n11xn2sinxn1xnynp，q数，是方程x2pxq0的两个根，数列xn足x1p，x2p2q，xnpxn1qxn2（n3，4，）（1）明：p，q；（2）求数列xn的通公式；（3）若p1，q1，求xn的前n和Sn4x2已知函数f(x)x1，是方程f(x)0的两个根（），f(x)是f(x)的数，a11，an1anf(an)(n1，2，L)f(an)（1）求，的；（2）明：任意的正整数n，都有an；（3）bnlnan(n12)，求数列bn的前n和Snan，L西文21（本小分12分）已知数列an足，a1a22,a2anan1,nN*.1n2令bnan1an，明：bn是等比数列；()求an的通公式。山文20.（本小分12分）等比数