概率论与数理统计：第二章 离散型随机变量(4.5)

1、第二章离散型随机变量及其分布第四、五节2.4 二维随机变量及其分布 1.联合概率函数 2.边缘概率函数 3.随机变量的相互独立性 4.条件概率函数 例如 新生入学体检有两个指标: 身高与体重, 对每个学生测量一次, 其结果就对应一组有序数 战士打靶的弹着点的位置可以用平面上点的坐标来表示.一、联合概率函数定义2.2 给定一个随机试验, 是它的样本空间, 如果 对 中的每一个样本点 , 有一对有序实数 与之对应, 则称向量 是二维随机向量. 如果一个二维随机向量只可能取有限个或可列个值,则称其为二维离散型随机向量.称 设 的值域为为二维随机向量 的联合概率函数或联合分布律. 也可用表格形式表示

2、显然 满足下列条件例1 一口袋中有4个球, 依次标有数字1, 2, 2, 3. 从袋 中任取一球后, 不放回袋中, 再从袋中任取一球. 以 分别记第一、第二次取到的球上标有的数字, 求的联合概率函数及概率值 .解 由题意, 随机变量 的取值为 由乘法公式比如等, 类似可得:由概率函数表即得: 利用联合概率函数, 可求任意随机事件的概率:例2 袋中有1个红球, 2个黑球和3个白球. 现有放回地 从袋中取2次球, 每次取一个球, 以 分别表示取到的红球、黑球与白球的个数. 求: ;二维随机变量 的联合概率函数.解 因又所以类似可以计算其它概率, 由此得到概率分布律例 袋中有六球，编号为从袋中取3球

3、, 以 表示取到球的最小编号和最大编号, 求 的联合概率函数.二、边缘概率函数 对于随机向量 , 分量 或 本身是一个（一维）随机变量, 它的概率分布称为 的关于 或 的边缘概率函数或边缘分布律. 设随机向量 的联合分布为随机变量 的值域为 , 则 的边缘概律函数或边缘分布（律）定义为 随机变量 的值域 , 定义 的边缘概率函数或边缘分布（律）为即有例3 一口袋中有5个球, 4个白的1个红的, 无放回抽样连摸两次, 记第一次取到红球,第一次取到白球,第二次取到红球,第二次取到白球,试求: 的联合概率函数;分别求 与 的边缘概率函数.解 由乘法公式得到: 在上题中, 若作有放回抽样, 求问题,

4、.解 同样由乘法公式得到 以上例子说明, 由联合分布可以决定边缘分布, 但反之不然.例4 设随机变量 与 有相同的分布律, 且 的概率函数为且 , 求 .解 由已知条件, 知随机变量 的联合分布有下列形式:再由边缘分布得从而有因此例5 设随机变量 的联合概率函数如表所示:且已知 , 求 的值.解 由即知又由概率函数的性质知:所以 如果等式 三、随机变量的相互独立性定义2.3 设随机变量 与 的联合概率函数为对所有的 都成立, 则称随机变量 与 是相互独立的.两个边缘概率值的乘积.独立性意味着, 在下表中, 交叉点的元素 是对应的 例3中, 在有放回抽样时, 随机变量 与 是相互独立的; 而在无

5、放回抽样时, 与 不独立. 由定义可知, 如果随机变量 与 相互独立, 那么由边缘分布可以决定联合分布.定理2.2 随机变量 与 相互独立的充分必要条件是:对于实数轴上的任意两个集合 与 , 总有 定义2.4 如果随机变量 的联合概率函数 恰为 个边缘概率函数的乘积, 即有则称这 个随机变量 相互独立. 定理2.2可以推广到 个随机变量的相互独立性上去. 因此当 相互独立时, 这 个随机变量中的任意 个也是相互独立的 . 进一步 个随机变量相互独立保证它们两两独立. 四、条件概率函数定义2.5 设随机向量 的联合分布为若对任意一个固定的则称为已知 发生的条件下 的条件概率函数或条件分布（律）,

6、 记作类似地, 对任意一个固定的称为已知 发生的条件下 的条件概率函数或条件分布（律）, 记作 条件分布也是分布, 易知 或 满足例6 一整数 随机地在1, 2, 3, 4四个整数中取一个值,另一个整数 随机地在1至 之间取一个值. 求: 的联合分布律; 或 的条件分布律解 由乘法公式:知:同理可计算其它概率, 由此得到由条件概率函数计算公式, 得到及例7 设 的联合概率函数如下表所示:求条件分布 和解 先计算边缘分布再由条件分布计算公式,得及例8 以 记某医院一天中诞生的婴儿个数, 以 记其中男婴的个数. 设 的联合概率函数为试求边缘分布, 条件分布解 边缘分布为由此得到条件分布:例9 某地区公安机关经调查后发现, 交通事故由自行车造成的 占1/2, 由汽车造成的 占1/3, 由其它原因造成的 占1/6. 由自行车造成的引起轻伤 占1/2, 引起重伤与死亡 各占1/4; 由汽车造成的引起轻伤、