向量知识点题型归纳

1、-第= PAGE 6*2-111页 共= SECTIONPAGES 6*212页 第= PAGE 6*212页 共= SECTIONPAGES 6*212页. z.专题-平面向量1.向向量的相关概念、2.向量的线性运算二向量的表示方法：1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等；3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向一样的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，则向量的坐标与向量的终点坐标一样。三平面向量的根本定理：如果e1和e2是同一平面内

2、的两个不共线向量，则对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1e2。如1假设，则_ 答：；2以下向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. B. C. D. 答：B；3分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_ 答：；4中，点在边上，且，则的值是答：0四实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当0时，的方向与的方向一样，当0；当P点在线段 PP的延长线上时1；当P点在线段PP的延长线上时；假设点P分有向线段所成的比为，则点P分有向线段所成的比为。如假设点分所成的比为，则分所成的比为_答：3线段的定比分点公式：设、，分有向线段所成的比为，则，=线段P

3、P的中点公式。在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。如1假设M-3，-2，N6，-1，且，则点P的坐标为_答：；2，直线与线段交于，且，则等于_答：或十一平移公式：如果点按向量平移至，则=，；曲线按向量平移得曲线.注意：1函数按向量平移与平常左加右减有何联系？2向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如1按向量把平移到，则按向量把点平移到点_答：，；2函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，则_ 答：12、向量中一些常用的结论：1一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，

4、要注意运用；2，特别地，当同向或有；当反向或有；当不共线(这些和实数比拟类似).在中，假设，则其重心的坐标为。如假设ABC的三边的中点分别为2，1、-3，4、-1，-1，则ABC的重心的坐标为_答：；为的重心，特别地为的重心；为的垂心；向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；4向量中三终点共线存在实数使得且.如平面直角坐标系中，为坐标原点，两点,假设点满足,其中且,则点的轨迹是_答：直线AB12、向量与三角形外心. 三角形外接圆的圆心,简称外心. 是三角形三边中垂线的交点. 下左图重心三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心.掌握重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.上右图三、垂心三角

5、形三条高的交点,称为三角形的垂心.下左图四、内心三角形内切圆的圆心,简称为内心. 是三角形三内角平分线的交点.三角形内角平分线性质定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.上右图题型一：共线定理应用例一：平面向量共线的充要条件是A.方向一样 B. 两向量中至少有一个为零向量 C.存在D存在不全为零的实数变式一：对于非零向量，是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件变式二：设是两个非零向量A.假设则 B. 假设，则C. 假设，则存在实数，使得 D假设存在实数，使得，则例二：设两个非零向量，不共线，1如果2如果*数k的值。变式一：设

6、两个不共线向量，假设三点A,B,D共线，*数k的值。变式二：向量，且则一定共线的三点是A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D题型二：线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用例一：设P是三角形ABC所在平面内的一点，则A. B. C. D. 变式一：O是三角形ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且,则A. B. C. D. 变式二：在平行四边形ABCD中，,M为BC的中点，则 ( 用表示)例二：在三角形ABC中，,假设点D满足,则( )A. B. C. D. 变式一：(高考题) 在三角形ABC中，点D在边AB上，CD平分角ACB,，,则( )A. B. C. D.

7、 变式二：设D,E,F分别是三角形ABC的边BC,CA,AB上的点，且则与( )A.反向平行 B. 同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直变式三：在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，假设,其则=变式四：在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O,E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，假设则( )A. B. C. D. 题型三：三点共线定理及其应用例一：点P在AB上，求证：且=1变式：在三角形ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M和N,假设则m+n=例二：在平行四边形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，DE与AF交于点

8、H,设则A. B. C. D. 变式：在三角形ABC中，点M是BC的中点，点N是边AC上一点且AN=2NC,AM与BN相交于点P,假设求的值。题型四：向量与三角形四心内心例一：O是ABC所在平面内一定点，动点P满足，则点P的轨迹一定通过ABC的A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心变式一：非零向量与满足，且，则ABC为A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形变式二：P为ABC的内心二、重心例一：O是ABC内一点，则为ABC的A.外心B.内心C.重心 D.垂心变式一：在ABC中，G为平面上任意一点，证明：O为ABC的重心变式二：在ABC中，G为平面上任

9、意一点，证明：O为ABC的重心三垂心：例一：求证：在ABC中， O为ABC的垂心变式一：O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足则点P的轨迹一定通过ABC的A.外心B.内心 C.重心D.垂心四外心例一：假设O是ABC的外心，H是ABC的垂心，则变式一：点O，N，P在ABC所在平面内，且，则O，N，P依次是ABC的A. 重心、外心、垂心B. 重心、外心、内心C. 外心、重心、垂心D. 外心、重心、内心题型五：向量的坐标运算例一：A(-2,4),B(3，-1)，C(-3，-4)，且,试求点M,N和的坐标。变式一：平面向量其中t和k 为不同时为零的实数，1假设，求此时k和t满足

10、的函数关系式k=f(t);(2)假设，求此时k和t满足的函数关系式k=g(t).变式二：平面内给定3个向量，答复以下问题。1求；2求满足的实数m,n;(3)假设，*数k；4设且，求。题型六：向量平行共线、垂直充要条件的坐标表示例一：两个向量,当实数k取何值时，向量与平行？变式一：设向量a,b满足|a|=，b=2,1，且a与b反向，则a坐标为_例二：向量且A,B,C三点共线，则k=A: B: C: D:变式一：且a/b，则锐角为_变式二：ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c设向量假设，则C的大小为A: B: C: D:题型七：平面向量的数量积例一：1在RtABC中，C=90，AC=

11、4，则A：-16 B:-8 C:8 D:162(高)正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_；的最大值为_3在ABC中，M是BC中点，AM=1，点P在AM上满足，则等于A: B: C: D:变式一：(高) 如下图，平行四边形ABCD中，APBD，垂足为P，且AP=3，则=_变式二：在ABC中，AB=1，BC=，AC=，假设O为ABC的重心，则的值为_例二：(高)在矩形ABCD中，AB=,BC=2,点E为BC的中点，点F在边CD上，假设,则的值是变式一：(高)在ABC中，,AC=2.设点P,Q满足,假设,则=A: B: C: D:2 例三：向量满足则变式一：在ABC中，假设则变

12、式二：向量满足则变式三：向量满足则题型八：平面向量的夹角例一：向量则的夹角是例二：是非零向量且满足则的夹角是变式一：向量满足则的夹角是变式二：是非零向量且满足则的夹角是变式三：假设向量不共线，则的夹角是变式四：(高)假设向量满足且以向量为邻边的平行四边形的面积为.，则的夹角的取值*围是例二：，的夹角为，求使向量与的夹角为锐角的的取值*围。变式一：设两个向量，满足，的夹角为，假设向量与的夹角为钝角，*数t的*围。变式二：均为单位向量，其夹角为，有以下4个命题：其中的真命题是A. B. C. D. 题型九：平面向量的模长例一：，向量的夹角为，求，。变式一：向量满足，则=变式二：向量满足的夹角为，则

13、=变式三：在ABC中，求.例二：向量的夹角为，则=变式一：(高)向量的夹角为，且则=变式二：设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，,=,则变式三：向量，假设则例三：向量，满足，且的取值*围是变式一：单位向量，且，的最大值为变式二：(高)直角梯形ABCD中，AD/BC, ,AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为题型十：平面向量在三角函数中的应用例一：在ABC中，A,B,C所对边的长分别为a,b,c，向量，且满足1求A的大小2求的值变式一：变量，函数1求f(*)解析式2求f(*)的单调递增区间3如果ABC的三边a,b,c满足，且b边所对的角为*，试求*的*围和此时f(*)的值域变式二：向量1求证ab及|a+b|2定义f(*)=ab-2m|a