相似三角形及判定

1、相似三角形及其判定一、知识导航1、相似三角形定义2、相似三角形判定二、典例精讲：精讲一、相似三角形定义：定义：对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相以三角形.相似用符号S表示，读作“相似于”，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）注意：记两个三角形相似时，和记两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上全等是特殊的相似，相似比是1:1.全等要求形状相同与大小相等，而相似只是形状相同由相似的定义，得相似三角形对应角相等，对应边成比例.口相似三角形有传递性：若AABCAABC,AABCAABC，则AABCABC111222222333111333精讲二、相似三角形的判定：

2、1、预备定理：平行于三角形一边的直线与另外两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似DD2、相似三角形的判定定理判定定理1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似例1、(1)如图，氏。,。三点共线，且ABLBAOELBAACLCE.求证：AABCACDE.(2)如图民。,。三点共线，且/B=/O=/A=a,求证：AABCACDE.变式：1、如图，AA6C中，44。8=60，点。是AA6C内一点，使得/A尸B=尸。=/。尸A,求证：AAPC-ACPB.指出图中的相似三角形并证明.2、已知/PQA是等边三角形，ZA

3、PB=120指出图中的相似三角形并证明.例2、(1)已知：如图，AA5C的高AR8石相交于点尸，求证：AFFD=BFFE.如图，已知在RtAABC中，ZACB=90。，CD是RtAABC的高.求证：CD2=ADBD；BC2=ABBD；AC2=AD-AB.变式：如图，已知在RtAABC中，/ACB=90,CD是RtAABC的高.若E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F.求证：DF2=BFCF.判定定理2、如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.例3、(1)如图，已知=贝ij：AADsAAC

4、B；AAEBsAADC正确的是；相似依据是.(2)如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为2的正方形.求证：AAEFsACEA；求/AFB+ZACB的值.(3)如图，AABC是等边三角形，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上点.当BD、BC和CE满足什么条件时，AADBsAEAC?当AADBsAEAC时，求/DAE的度数.变式：1、如图，四边形A5C。的对角线AC、5D相交于0,且将这个四边形分成四个三角形.0A0C=0B0D,则哪些对应相似，请写出.2、如图，已知=AB=18,AC=48,AE=15,AD=40.求证：AABCsAAED.3、如图，在AABC和AADS中，ZABC

5、=ZADB=90,AC=5,AB=4,当a）的长是多少时，图中的两个直角三角形相似？例4、（1）如图，已知。为AA5C内一点，石为AA5C外一点，且/1=/2,/3=/4,求证：AABC0ADBE.(2)如图，在AA5C中，点。在边上，联结A。，ZADB=ZCDE,DE交边AC于点,。石交BA延长线于点方，且石。尸.求证：ABFD-ACAD；变式：1、如图，6D,。石是AABC的高，求证：ZAED=ZACB.2、如图，四边形ABC。是菱形，点石在延长线上，联结AC,DE,DE分别交BC,AC于点/，G,且。A/=ACAG.求证：AD2=GDDE.判定定理3、如果一个三角形的三条边与另一个三角形

6、的三边对应成比例，那么这两个三角形相似.简述为：三边对应成比例，两三角形相似.例、（1）如图，在正方形网格上的三角形，中，与AA5C相似的三角形有.（填番号）有.（填番号）ABADsACAE.（3）已知RtAABC中，/ACB=90,点D在BC边上，取AD、AB的中点E、F,连接CE、CF、EF，求证：ACEFsAADB.变式：如图，正方形ABCD中，E为AB中点，BC=4BF，那么图中与AADE相似的三角形有（）ACDFABEFCACDFABEFC.ABEF、ADCFD.ABEF,AEDF自我测评ACAB1、如图所示，给出下列条件：/B=/ACD；ZADC=/ACB=CDBCAC2=AD-AB.其中单独能够判定ABCsACD的是.（填番号）2、如图，AD是RtNABC斜边BC上的高，DEDF,且DE和DF分别交AB、AC于E、F.则AF-BD=AD-BE吗？说说你的理由.