2012-2013-北邮概率论研究生试题答案定稿

1、文档北京邮电大学20122013学年第1学期概率论与随机过程试题期末考试一试题答案考试注意事项：学生必定将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号!一.单项选择题和填空题：（每空3分，共30分）1.设A是定义在非空会合上的集代数,则下面正确的选项是.AA）若AA,BA,则ABA;B）若AA,BA,则BA;n12,UAA;,则n1（）若AA,n12L,则IAnA.,且A1A2A3Dnn1设,F为一可测空间，P为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是.c（A）若AF,BF,则P(AB)P(A)P(B)；12,且A1A2A3L，

2、则P(IAn)limP(An)；（B）若AnF,n,n1n（C）若AF,BF,CF,，则P(AUBUC)P(A)P(AB)P(ABC)；（D）若AnF,n12Aj,ij，P(UAn),且Ain1P(An).n13.设f为从概率空间,F,P到Borel可测空间R,B上的实可测函数，100100表达式为f()kIA，其中AiAj,ij,UAn，则fdP；n0k01文档若已知100!12.P(Ak)k!(100k)!2100，则fdP100kP(A),255022525kk0设二维随机变量(X,Y)的概率密度2,0 x1,0yx,f(x,y)其他，0,则EEX|Y=.2/35.设随机过程X(t)Xc

3、ost,t，其中随机变量X遵从参数为1的指数分布，(0,/2)为常数，则（1）X(1)的概率密度f(x;1)；（2）E(2X(t)dt).01f(x;1)cosexcos,x0,1E(2X(t)dt)00,其他，6.设W(t),t0是参数为2(0)的维纳过程，令X(t)W(1)，则有关t2函数RX(1,2).2设齐次马氏链的状态空间为E1,2,3,一步转移概率为0.50.50P0.50.500.20.30.5则（1）(n)；（）(n).1/2,2nn0二.概率题（共30分）2文档1.(10分)设(X,Y)的概率密度为1x2x212f(x,y)22e22,令UX2Y2,VY,（1）求(U,V)的

4、概率密度g(u,v)；（2）求U的边缘概率密度gU(u).解解.（1）解方程ux2y2,得xyu2v2,|v|u,vy,v,umvu所以雅可比队列式J2u2v22u2v22u2,01v2故1uue22,|v|u,g(u,v)f(x,y)|J|22u25分v2其他.0,（2）对u0，u1uug(u)g(u,v)dve2dv2Uu2u2v2uuu1uu2e2dv2e2,22uu2v22uu故gU(u)e22,u0,10分220,其他.（10分）设(U,V)的概率密度eu,uv0,v0,g(u,v)0,其他，3文档1E(IV1|U10)IV1()1,V12D(V|U).0,Uuudv,u0,ueu,

5、u0,ug(u,v)dvegU(u)00,其他,00,其他,gV|U(v|u)g(u,v)1,0vu,4gU(u)u其他.0,1E(IV1|U10)P(V1|U10)101011gV|U(v|u10)dv10dv.11272D(V|Uu)u2D(V|U)U21012123.10X1,X2,L,XnPX10p,PX11=1-p,(0p1)YX1X2LXn1Y2E(Y3).:1YB(n,q)Y(t)(pqeit)n52E(Y3)E(X1X2LXn)nnnnEXi3E(Xi2Xj)E(XiXjXk)i1i,j1,jii,j,k1,互不相等nqn(n1)q2n(n1)(n2)q3104文档.随机过程题

6、（共40分）（10分）设X1(t)(t0)是参数为(0)的泊松过程，即满足：X1(0)0;X1(t)为独立增量过程；(3)对s,t0,有PX(st)X(s)k(t)ket0,1,L.k!,kX2(t)(t0)也是参数为(0)的泊松过程，且与X1(t)独立，令Y(t)X1(t)X2(t)，（1）求Y(t)和RY(s,t)；（2）求PY(1)1.解：因为Y(t)X1(t)X2(t)是参数为2的泊松过程，所以（）Y(t)2,RY(s,t)2mins,t42st5分（）PY(1)12e210分2.（10分）设X(t),t是安稳过程，f()是其谱密度函数，（1）证明：关于随意的h0，Y(t)X(th)X

7、(t)是安稳过程；（2）求Y(t)的谱密度.解（1）EY(t)EX(th)X(t)0,EY(t)Y(t)EX(th)X(t)X(th)X(t)2RX()RX(h)RX(h)与t没关，则Y(t)X(th)X(t)是安稳过程。5分5文档（2）f()1ei2R()R(h)R(h)d2XXX2f()eihf()eihf()2f()(1cosh).10分3.（10分）设齐次马氏链Xn,n0的状态空间为E0,1,2，一步转移概率矩阵为1/21/41/4P1/201/2，1/21/20初始分布为PX00PX01PX021,求3(1)PX11,X21,X42和PX11,X21,X42|X0=0;X2的分布律.

8、1/21/41/4解(1)P21/23/81/81/21/83/8PX11,X21,X42PX0ipi(1)1p11(1)p12(2)0iPX11,X21,X42|X0=0p01p11p12(2)0分1,1,11/21/41/41,1,1(2)p(2)p(0)P21/23/81/810分3331/21/83/82444.（10分）齐次马氏链Xn,n0的状态空间为1,2,3,L，一步转移概率矩阵为6文档1010000000L220101000000L221010000000L220001000000L0111100000L4444P1200000000L330000001200L330000000120L330000000012L33MMMMMMMMMMO确定该链的空间分解，状态分类，各状态的周期，并求安稳分布.解.（1）链可分,1，43是不可以分闭集,状态空间E1,432,5,6,7,L2分（2）周期d(i)1,i1,2,.4分（3）设安稳分布