历年自考线性代数试题真题及答案分析解答

1、全国2010 年度 4 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分）1已知2 阶行列式a1a2m ，b1b2n， 则b1b2b1b2c1c2a1c1 a2c2（ B）A m nB n mC m nD ( m n)b1b2b1b2b1b2m nn m a1 c1a2 c2a1a2c1c 22设 A,B ,C均为 n 阶方阵， ABBA， ACCA ，则 ABC（ D）A ACBBCABC CBADBCAABC ( AB) C(BA)CB( AC) B(CA)BCA 3设 A为 3 阶方阵， B为 4 阶方阵，且 | A| 1， |B

2、| 2，则行列式 |B| A|之值为（ A）A 8B 2C 2D8|B| A| | 2A| ( 2)3 |A|8 a11a12a13a113a12a1310010 04 A a21a22a23 ，B a213a22a23 ， P030，Q3 1 0，则Ba31a32a33a313a32a3300100 1（ B）A PABAPC QADAQa11a12a13100a113a12a13AP a21a22a23030a213a22a23B a31a32a33001a313a32a335已知 A是一个 34 矩阵，下列命题中正确的是（C）A若矩阵 A 中所有 3 阶子式都为0，则秩 ( A)=2B若

3、 A 中存在 2 阶子式不为0，则秩 ( A)=2C若秩 ( A)=2 ，则 A 中所有 3 阶子式都为0D若秩 ( A)=2 ，则 A 中所有 2 阶子式都不为06下列命题中错误的是（C）A只含有 1 个零向量的向量组线性相关B由 3 个 2 维向量组成的向量组线性相关C由 1 个非零向量组成的向量组线性相关D 2 个成比例的向量组成的向量组线性相关7已知向量组1 ,2 , 3 线性无关，1 , 2, 3, 线性相关，则（D）A 1 必能由2 ,3 ,线性表出B 2 必能由1 ,3 ,线性表出C 3 必能由1 ,2 ,线性表出D 必能由1,2 ,3 线性表出注：1,2,3是 1 ,2 , 3

4、 , 的一个极大无关组8设 A为 mn 矩阵， m n ，则方程组 Ax=0 只有零解的充分必要条件是A的秩（ D）A小于 mB等于 mC小于 nD等于 n注：方程组 Ax=0 有 n 个未知量9设 A 为可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵为（A）A ATB A2CA1D A| E AT|(EA)T|EA | ，所以 A 与 AT 有相同的特征值10二次型 f ( x1 , x2 , x3 )x12x22x322x1 x2 的正惯性指数为（C）A 0B1C 2D3f ( x1, x2 , x3 ) ( x1x2 ) 2x32y12y22 ，正惯性指数为 2二、填空题（本大题共10 小题，每

5、小题 2 分，共 20 分）11行列式 2007 2008的值为 _200920102007200820002000782 200920102000200091012设矩阵 A113 ， B20 ，则 AT B _20101122022AT B1020 01316113 设(3,1,0,2) T，(3,1, 1,4)T ， 若 向 量满 足 23， 则_32(9,3,3,12)T(6,2,0,4)T(3,5, 3,8)T 14设 A为 n 阶可逆矩阵，且 | A |1 ，则 | | A 1 | _n|A 1|1n | A |15设 A 为 n 阶矩阵， B 为 n 阶非零矩阵，若 B 的每一个

6、列向量都是齐次线性方程组 Ax=0 的解，则 | A | _个方程、个未知量的=0 有非零解，则0nn| A |16齐次线性方程组x1x2x30的基础解系所含解向量的个数为2x1x23x30_A111111，基础解系所含解向量的个数为nr 3 2 1213031117设 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值是3，则矩阵1 A2必有一个特3征值为 _A 有特征值3，则 1有特征值 13 ， 111 A2( 3)2A 2有特征值333312218设矩阵 A2x0的特征值为 4,1, 2 ，则数 x _200由 1 x 0 4 12 ，得 x 2a1/ 2019已知 A 1/2b0是正交矩阵，则 a b

7、 _001由第 1、 2 列正交，即它们的内积1( a b) 0 ，得 a b 0220二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 4x1 x2 2 x1 x36x2 x3 的矩阵是 _021203 130三、计算题（本大题共6 小题，每小题9 分，共 54 分）abc21计算行列式 Da 2b 2c2的值aa 3bb 3c c 3abcabc111解： Da 2b 2c 2a2b 2c 2abcabca a3b b 3c c 3a3b3c3a 2b 2c 2abc(ba)(c a)11abc(ba)(ca)(cb) b aca22已知矩阵 B(2,1,3) ， C(1,2,3) ，求（ 1

8、） ABT C ；（2） A2 2246解：（1） A BT C1 (1,2,3)123 ；33692（ 2）注意到 CB T(1,2,3) 113 ，所以3246A 2(BT C)(BT C) BT (CBT )C 13BT C 13A 13 12336923设向量组1(2,1,3,1) T ,2(1,2,0,1) T ,3( 1,1, 3,0) T ,4(1,1,1,1)T ，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量211111011101解：A(1,2,3121112110110, 4 )03130310332311012111011111011101

9、1011011001100110，向量组的秩为3，0002000100010001000000001 , 2 , 4 是一个极大无关组，312 1231424已知矩阵 A 012， B25（ 1）求 A 1 ；（ 2）解矩阵方程00113AXB 123100120103解：（1） (A, E) 012010010012001001001001100121121010012 ，A1012 ；0010010011211449（2）X A1B 012 2 5011 0011313x12x23x3425问 a 为何值时，线性方程组2 x2ax32 有惟一解？有无穷多2 x12x23x36解？并在有解时

10、求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解） 123412341234解：( A,b) 02a 202a202a22236023200a 3 0a 3时 ， r ( A,b) r ( A)3，有惟一解，此时12341204( A, b)02a 202020010001010021002x1202 020101， x21 ；00100010 x301234a3时， r ( A,b)r ( A)2n ，有无穷多解，此时 ( A, b)023200001002100 x122020232013/ 21 ， x213 x3 ，通解为 1k3 / 2，其00000000210

11、x3x3中 k 为任意常数20026设矩阵 A03a 的三个特征值分别为1,2,5 ，求正的常数 a 的值及0a3100可逆矩阵 P，使 P 1 AP020 0052003a解：由 |A|03a2 (9a 2 ) 125 ，得 a 24 ， a2 230a3a200E A032023对于 11，解( EA) x0 ：1001 0 0 x100E A0220 1 1， x2x3 ，取 p11；0220 0 0 x3x31对于 22，解( EA) x0 ：000010 x1x11E A 012001， x20 ，取 p20；021000 x300对于 35 ，解( EA) x0 ：300100 x

12、100E A0 22011 ， x2x3 ，取 p3102 2000 x3x31010100令 P ( p1 , p2 , p3 )101，则 P 是可逆矩阵，使 P 1 AP020101005四、证明题（本题6 分）27设 A，B， AB 均为 n 阶正交矩阵，证明 ( AB) 1A 1B 1 证：A，B，A B 均为 n 阶正交阵，则 ATA 1，BTB 1，(A B)T( AB) 1，所以(A B)1(A B)TATBTA 1B 1 全国 2010 年 7 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10 小题，每小题2 分，共20 分）1设 3 阶方阵 A( 1

13、 ,2 ,3)，其中i （ i1,2,3）为 A 的列向量，若|B| |( 1 2 2, 2, 3)| 6，则|A| （ C）|A| |( 1, 2, 3)| |( 12 2, 2, 3)| 6A 12B 6C 6D1230202计算行列式21050（ A）00202323A 180B 120C 120D180302002210533001053(3 (2)30 180 0023 22)100022232033若 A为3阶方阵且 |A 1| 2，则 |2A| （ C）A 1B2C 4D82| A |1，|2A| 23 |A| 814 224设 1,2 ,3 , 4 都是 3 维向量，则必有（B

14、）A 1,2 ,3 ,4 线性无关B 1,2, 3,4 线性相关C 1可由2, 3, 4线性表示D 1 不可由2, 3, 4 线性表示5若A为 6 阶方阵，齐次方程组=0 基础解系中解向量的个数为2，Ax则 r (A)（ C）A 2B3C 4D5由 6r ( A)2 ，得 r (A)46设 A、 B 为同阶方阵，且 r ( A)r (B) ，则（ C）AA与 B相似B| A| |B|C A与 B等价DA与 B合同注： A 与 B 有相同的等价标准形7设 A 为 3 阶方阵，其特征值分别为2,1,0，则 |A 2E|（ D）A 0B2C 3D242E 的特征值分别为 4,3,2 ，所以 | A

15、2E | 4 3 2 24 8若A、 B 相似，则下列说法错误的是（B）A A与B等价BA 与B 合同C |A| |B|DA与B 有相同特征值注：只有正交相似才是合同的9若向量(1,2,1) 与( 2,3, t) 正交，则 t （ D）A 2B0C 2D4由内积 26 t0，得 t410设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值分别为 2,1,0 ，则（B）A A正定BA 半正定CA 负定DA 半负定对应的规范型2 z12z220 z320，是半正定的二、填空题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分）32211 ，则 AB _11设 A01， B2401032211653AB0101001

16、02442212设 A为 3 阶方阵，且 | A | 3 ， 则 |3 A 1 | _|3A1| 33|A1| 33133 19 | A |313三元方程 x1x2x31 的通解是 _x11 x2x3111x2x2，通解是0k11k2 0 x3x300114设( 1,2,2)，则与反方向的单位向量是 _|11 (1,2,2)|315设 A 为5 阶方阵，且 r ( A)3 ，则线性空间 W x | Ax0的维数是_W x | Ax0 的维数等于 Ax0基础解系所含向量的个数：n r53216|5A 1|5312531125 | A |(1/ 2)17 若 A、 B 为 5 阶 方 阵 ， 且

17、Ax0 只 有 零 解 ，且 r (B) 3 ， 则r ( AB) _Ax0 只有零解，所以 A 可逆，从而 r ( AB)r (B)3 21018实对称矩阵10 1所对应的二次型011f ( x1, x2 , x3 ) _f ( x, x, x3) 2x2x 22x1x22x2x121331119设 3 元非齐次线性方程组Axb 有解12， 22 ，且 r ( A) 2 ，33则 Ax b 的通解是 _11110是 Ax0 的基础解系， Axb 的通解是 2k 0(12)2030120设2，则 AT 的非零特征值是 _3由 T1(1,2,3) 214 ，可得 A2(T)T14T14A ，设

18、A 的非零特征值3是，则214 ，14三、计算题（本大题共6 小题，每小题9 分，共 54 分）200010200021计算 5 阶行列式 D 002000002010002解 ：连 续3次 按 第2行展开，2001201020021D2402088324 002012102100220010014322设矩阵 X满足方程010 X001201，求 X002010120200100143解：记 A010 ， B001， C201，则 AXBC ，0020101201/ 200100A 101 0， B 10 01，001 / 2010114310011344020014202212001010

19、2x1x23x3x4123求非齐次线性方程组3x1x23x34x44的通解x15x 29 x38x40解：113111131111311( A, b)313 4404 6710467 11598004671000004 4124 44 06 3 51 03/2 3/45 / 40467 1046 7 10 13 / 27 / 41/ 4000000000000000，x153x33x44245/ 43 / 23/ 4x213x37x4，通解为1/ 4k3 / 2k7 / 4 ， k, k都是任意242401x3x30001x4x4常数24求向量组1(1,2, 1,4) ，2(9,100,10,

20、4) ，3( 2, 4,2, 8) 的秩和一个极大无关组192192192解： ( 1T,2T, 3T)2100415020410110211020190448112080192102010010，向量组的秩为2，1 , 2 是一个极大无关000000000000组21225已知 A5a3的一个特征向量(1,1, 1) T ，求 a, b 及 所对应1b2的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量21211解：设是 所对应的特征值，则A，即 5a311，1b2111从而 a2，可得 a3 ， b0，1；b1对于1，解齐次方程组 ( EA) x0 ：212312101101E A533523

21、5 23022102101312011101x1x31011， x2x3 ，基础解系为1，属于1的全部特征向量为000 x3x3111 ， k 为任意非零实数1211226设 A121a，试确定 a 使 r ( A)2 1122211211221122解： A12 1a2 1120332112 212 1a03 3 a 21122033 2 ， a0 时 r ( A) 2 000a四、证明题（本大题共1小题，6分）27若 1 ,2 ,3 是 Axb （ b0 ）的线性无关解，证明21 ,31 是对应齐次线性方程组Ax0 的线性无关解证：因为1 ,2 , 3 是 Axb 的解，所以21 ， 31

22、 是 Ax0的解；设 k (21)k(31) 0，即 ( kk)1k12k230 ，由1,2,31212k1k 20线性无关，得k10，只有零解 k1k20 ，所以21,31 线性k 20无关全国 2011 年 1 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码： 04184说明：本卷中， A-1表示方阵 A的逆矩阵， r ( A) 表示矩阵 A 的秩，（ ,）表示向量 与的内积，E表示单位矩阵， | | 表示方阵A的行列式 .A一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题2 分，共 20 分）设行列式A.12C.36a11a12a13a21a22a 23a31a32a 33=4，则行列式B

23、.24D.482a112a122a13a21a22a23=（）3a313a323a33设矩阵 A， B， C， X 为同阶方阵，且 A， B 可逆， AXB=C，则矩阵 X=（）-1-1-1-1A.A CBB.CAB-1 -1C-1-1C.B AD.CB A3. 已知 A2+A- E=0，则矩阵 A-1 =（）A.A- EB.- A- EC. A+ED.- A+E4.设 1, 2,3 , 4 , 5 是四维向量，则（）A.1, 2, 3,4 , 5 一定线性无关B.1, 2, 3 , 4, 5一定线性相关C.5 一定可以由 1, 2, 3, 4 线性表示D. 1一定可以由2, 3,4, 5 线

24、性表出5. 设 A 是 n 阶方阵，若对任意的n 维向量 x 均满足 Ax=0, 则（）A. A=0B. A=EC. r ( A)= nD.0 r ( A)( n)6. 设 A 为 n 阶方阵， r ( A) n，下列关于齐次线性方程组Ax=0的叙述正确的是（）A. Ax=0 只有零解B. Ax=0 的基础解系含r ( A) 个解向量C. Ax=0 的基础解系含n- r ( A) 个解向量 D. Ax=0 没有解7. 设1,2是非齐次线性方程组=的两个不同的解，则Ax b（）A. 12是 =的解B.Ax bC.31 22是=的解D.Ax b2 是 Ax=b 的解2 13 2 是 Ax=b 的解

25、3908. 设1 ，2， 3为矩阵 A= 045的三个特征值，则123 =002（）A.20B.24C.28D.309. 设 P为正交矩阵，向量, 的内积为（, ）=2，则（ P, P）=（）A. 1B.12C. 3D.2210. 二 次 型 f ( x1, x2, x3 )= x12x 22x322x1 x22x1 x3 2x 2 x3的 秩 为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11. 行列式 1 k22k 1=0，则 k=_.12.设 A= 1 0 ， k 为正整数，则Ak=_.1设 2

26、 阶可逆矩阵 A 的逆矩阵 A-1= 1 2 ，则矩阵34A=_.14.设向量=（ 6，-2 ，0，4）， =（ -3 ，1，5，7），向量满足23 ，则 =_.15.设A 是 m n 矩 阵 ， Ax=0, 只 有零解 ， 则r ( A)=_.16.设1,2是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则（3172）A=_.实 数 向 量 空 间 V= （ x1 , x2, x3 ） | x1- x2+x3=0 的 维 数 是_.18.设 方阵A有一个特 征 值为0 ，则| A3|=_.19.设向量 1（ -1，1， -3 ），2（2，-1，）正交，则=_.20.设 f ( x, x, x2222tx1

27、 x22x1 x3 是正定二次型， 则 t满足123_.三、计算题（本大题共6 小题，每小题9 分，共 54 分）21.abc2a2a计算行列式2bbac2b2c2ccab22.设矩阵 A=112讨论矩阵 A 的秩 .215 ，对参数1106123.131X=14求解矩阵方程2512500113123124. 求向量组： 12 ， 25 ， 31， 42 的一个极大线16172513性无关组，并将其余向量通过该极大线性无关组表示出来.25. 求齐次线性方程组解 .2x13x2x35 x403x1x22x34x40 的一个基础解系及其通x12x23x3x4026.232的特征值和特征向量 .求矩

28、阵1822143四、证明题（本大题共1小题，6分）27.设向量1 ， 2， .,k 线性无关，1 . 证明：1+j ， 2 ，, kjk线性无关 .全国 2011 年 1 月高等教育自学考试线性代数（经管）试题参考答案课程代码： 04184三、计算题解：原行列式全国 2011 年 4 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码： 04184说明： AT 表示矩阵 A 的转置矩阵， A* 表示矩阵 A 的伴随矩阵， E 是单位矩阵， | A| 表示方阵 A 的行列式 .一、单项选择题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其

29、代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1下列等式中，正确的是（）AB 3=C 5D2下列矩阵中，是初等矩阵的为（）ABCD3设 A、 B 均为 n 阶可逆矩阵，且 C=，则 C-1是（ABCD4设 A 为 3 阶矩阵， A的秩 r ( A)=3 ，则矩阵 A* 的秩 r (A 0B 1C 2D 3）A*)= （）5 设 向 量， 若 有 常 数a, b使，则（）A a=-1,b=-2B a=-1,b=2C a=1,b=-2D a=1,b=26向量组的极大线性无关组为（）ABCD7设矩阵 A=，那么矩阵A 的列向量组的秩为（）A 3B2C 1D08设是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵有

30、一个特征值等于（）ABCD9设矩阵 A=，则 A的对应于特征值的特征向量为（）A（0， 0， 0）TB（0， 2，-1 ） TC（1， 0， -1 ） TD（0， 1，1）T10二次型 f (x1 , x2 , x3 )2x12x1x2x22 的矩阵为（）ABCD二、填空题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分）11行列式_.304012行列式 1111中第 4 行各元素的代数余子式之和为01005322_.13设矩阵 A=， B=（1， 2， 3），则 BA=_.14设 3 阶方阵 A 的行列式 | A|= 1 ，则 | A3|=_.215设 A，B 为 n 阶方阵，且AB=E，A

31、-1 B=B-1 A=E，则 A2 +B2=_.16已知 3 维向量=（ 1，-3 ，3），（1，0，-1 ）则 +3 =_.17设向量=（ 1， 2， 3，4），则的单位化向量为 _.18设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为0，且 A 的秩为 n-1 ，则齐次线性方程组 Ax=0 的通解为 _.19设 3 阶矩阵 A 与 B 相似，若A 的特征值为 1,1,1，则行列式234| B-1 |=_.20设 A=是正定矩阵，则a 的取值范围为 _.三、计算题（本大题共6 小题，每小题9 分，共 54 分）21已知矩阵 A=， B=，求：（1）ATB；（2）| ATB|.22设 A=， B=， C

32、=，且满足 AXB=C，求矩阵 X.23求向量组=（ 1, 2, 1, 0） T，=（ 1, 1, 1, 2）T，=（3, 4, 3,4） T，=（4, 5, 6, 4）T 的秩与一个极大线性无关组 .x1x23x3x4124判断线性方程组 2 x1x2x34 x42 是否有解，有解时求出它的解 .x14x35x4125已知 2 阶矩阵 A 的特征值为=1， =9，对应的特征向量依次为=（-1 ， 1）T，=（ 7，1）T，求矩阵 A.26已知矩阵 A 相似于对角矩阵 =，求行列式 | A- E| 的值 .四、证明题（本大题共6 分）27设 A为 n 阶对称矩阵， B为 n 阶反对称矩阵 .

33、证明：（1）AB- BA为对称矩阵；（2）AB+BA为反对称矩阵 .全国 2011 年 7 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码： 04184说明：本卷中， AT 表示方阵A 的转置钜阵， A* 表示矩阵 A的伴随矩阵， E表示单位矩阵， | A|表示方阵 A的行列式 .一、单项选择题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分）1011设A 3 5 0 ，则AAT=（）041A -49B -7C 7D 492设 A 为 3 阶方阵，且 A4 ，则2A （）A -32B -8C 8D 323设 A，B 为 n 阶方阵， 且 AT=- A，BT=B，则下列命题正确的是 （）A（A

34、+B）T=A+BB（AB）T=- ABC A2 是对称矩阵D B2+A 是对称阵4设 A， B， X， Y都是 n 阶方阵，则下面等式正确的是（）A若 A2 =0，则 A=0B（ AB） 2=A2 B2C若 AX=AY，则 X=YD若 A+X=B，则 X=B- A11315设矩阵 A= 021400050000，则秩（ A） =（）A 1C 36若方程组B 2D 4kxz02xkyz0 仅有零解，则 k=（）kx2yz0A -2B -1C 0D 27实数向量空间 V=（x1， x2， x3） | x1 + x3=0 的维数是（）A 0B 1C 2D 3x12x 2x 318若方程组3x2x32

35、有无穷多解，则=x2x3 (3)(4) (2)（）A 1B 2C 3D 41009设 A= 010，则下列矩阵中与A 相似的是（）002100110A 020B010001002100101C 011D02000200110设实二次型 f ( x1, x2 , x3 ) x22x32 ，则 f （）A正定B不定C负定D半正定二、填空题（本大题共10 小题，每小题2 分，共20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。TTT11设 A=(-1,1,2) ， B=(0,2,3), 则 | AB|=_.12设三阶矩阵 A1, 2 , 3 ，其中 i (i1,2,3) 为 A 的列向量，

36、 且 | A|=2 ，则12,2, 123_.01013设 A a0c ，且秩 ( A)=3 ，则 a,b,c应满足 _.b0123114矩阵 Q22 的逆矩阵是 _.132215三元方程 x1 +x3=1 的通解是 _.16已知 A 相似于10 ，则 | A- E|=_.0200117矩阵 A 010的特征值是 _.10018与矩阵 A12相似的对角矩阵是 _.21100，则 A419设 A相似于010_.00120二次型 f ( x1 , x2, x3)= x1 x2 - x1x3+x2x3 的矩阵是 _.三、计算题（本大题共6 小题，每小题9 分，共 54 分）123421计算 4 阶行

37、列式 D= 2341 .3412412310122设 A= 02 0 ，而 X满足 AX+E=A2 +X，求 X.1611253210123求向量组： 13 , 22, 37 , 45 的秩，并给出该向12532341量组的一个极大无关组，同时将其余的向量表示成该极大无关组的线性组合 .24当为何值时，齐次方程组x12x22x302x1x2x30有非零解？并求其全部3x1x2x30非零解 .25已知 1,1,-1 是三阶实对称矩阵A的三个特征值，向量 1(1,1,1)T 、2 (2, 2,1)T 是 A的对应于 12 1的特征向量，求 A的属于31的特征向量 .26求正交变换Y=PX，化二次型

38、 f ( x1, x2, x3 )=2 x1x2+2x1x3-2 x2x3 为标准形 .四、证明题（本大题6 分）27设1，2， 3 线性无关，证明1，12 2，13 3 也线性无关 .全国 2011 年 7 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码： 04184全国 2011 年 10 月高等教育自学考试线性代数 ( 经管类 ) 试题课程代码： 04184说明：在本卷中， AT 表示矩阵 A 的转置矩阵， A* 表示矩阵 A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵。A 表示方阵 A 的行列式， r( A) 表示矩阵 A 的秩。一、单项选择题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分）

39、1.设 3阶方阵 A 的行列式为2，则1()A2A.-1B.1C.1D.144x2x1x22.设 f ( x) 2 x 2 2x12 x 2 , 则 方 程 f ( x )0的根的个数为3x23x23x 5（）A.0B.1C.2D.33.设 A 为 n 阶方阵，将A的第 1列与第 2列交换得到方阵B，若B ,则必有（）A.A0B.AB0C.A0D.AB04. 设 A, B 是任意的 n 阶方阵，下列命题中正确的是（）A. (AB)2A22AB B2B.(A B)(A B) A2B2C.(A E)(A E) (A E)(A E)D.(AB)2A2B2a1b1a1b2a1b35.设 A a2 b1

40、a2b2a2b3 , 其中 ai0, bi0, i1,2,3, 则矩阵 A 的秩为a3 b1a3b2a3b3（）A.0B.1C.2D.36.设 6 阶方阵 A 的秩为 4，则 A 的伴随矩阵 A* 的秩为（）A.0B.2C.3D.47.设向量 =（ 1，-2 ，3）与 =（ 2，k，6）正交，则数 k 为（）A.-10B.-4C.3D.10 x1x2x348.已知线性方程组x1ax2x33 无解，则数 a=( )2 x12ax24A.1B.02C. 1D.129.设 3 阶方阵 A的特征多项式为E A(2)( 3)2, 则 A()A.-18B.-6C.6D.1810. 若 3 阶实对称矩阵 A

41、(aij ) 是正定矩阵，则 A 的 3 个特征值可能为（）A.-1 ， -2 ， -3B.-1 ， -2 ，3C.-1 ，2，3D.1，2，3二、填空题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分）30411. 设行列式 D222 , 其第3 行各元素的代数余子式之和为532_.12.设Aaa, Bbb,则 AB_.aabb10313. 设A是43矩阵且r ( A ) B2 ,0则20,103r ( AB)_.向量组（ 1， 2） , （ 2， 3）（ 3， 4）的秩为 _.设线性无关的向量组 1，2， r 可由向量组 1， 2，, s线性表示，则 r 与 s 的关系为 _.x1x2x3

42、 016. 设 方 程 组x1x2x3 0有非零解，且数0, 则x1x2x3 0_.17.设 4元 线性 方程 组 Axb 的三 个解 1 ， 2 ， 3 ， 已知1 (1,2,3,4)T , 23(3,5,7,9)T , r( A) 3. 则 方 程 组 的 通 解 是_.设 3 阶方阵 A 的秩为 2，且 A2 5A 0, 则 A 的全部特征值为_.21119. 设矩阵 A0a0有一个特征值2, 对应的特征向量为41312 , 则数 a=_.220.设实二次型 f ( x1 , x2 , x3 )xT Ax, 已知 A 的特征值为 -1 ，1，2，则该二次型的规范形为 _.三、计算题（本大

43、题共6 小题，每小题9 分，共54 分）21.设矩阵A (, 22 ,33), B(,2, 3), 其中, , 2, 3均为 3维列向量，且A 18,B求AB .2.111011122.解矩阵方程022X1011 .1104321设向量组 1=（1， 1， 1， 3） T， 2=（ -1 ， -3 ，5，1） T， 3=（ 3，2，-1 ，p+2） T， 4=（3， 2， -1 ， p+2） T 问 p 为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组.2x1x2x3124. 设 3 元线性方程组x1x2x32,4x15x25x311）确定当 取何值时，方程组有惟一解、无解、有无

44、穷多解？2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示） .25. 已知 2 阶方阵 A 的特征值为 11及 21,方阵 BA2.3（ 1）求 B 的特征值；（2）求 B 的行列式 .26. 用配方法化二次型f ( x1 , x2 , x3 )x122x222x324x1 x212x2 x3 为标准形，并写出所作的可逆线性变换.四、证明题 ( 本题 6 分)设 A 是 3 阶反对称矩阵，证明 A 0.全国 2012 年 1 月自考线性代数 ( 经管类 ) 试题课程代码： 04184说明：本卷中， A-1 表示方阵A 的逆矩阵， r ( A) 表示矩阵 A的

45、秩， | |表示向量的长度，T 表示向量 的转置， E 表示单位矩阵， | A|表示方阵A 的行列式 .一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题2 分，共 20 分）a11a12a133a113a123a131设行列式 a21a22a23=2，则a31a32a33 =（）a31a32a33a21 a31a22 a32a23 a33A-6B-3C3 D62设矩阵A， X 为同阶方阵，且A 可逆，若A（X- E） =E，则矩阵X=（）A E+A-1B E- A C E+A DE- A-13设矩阵 A， B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（）AA可逆，且其逆为BCA可逆，且其逆为BA-1B-1

46、A-1B-1B -1A-1BDA不可逆BA可逆，且其逆为B4设1 ，2 ，k 是n 维列向量，则1，2，k 线性无关的充分必要条件是（）A向量组1 ，2 ，k 中任意两个向量线性无关B存在一组不全为0 的数 l 1，l 2 ， l k，使得 l 11 +l 22+l kk 0C向量组1，2，k 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D向量组1，2，k 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5已知向量 2(1, 2,2, 1)T ,32(1, 4, 3,0) T , 则=（）A（0，-2 ， -1 ，1）TB（-2 ，0， -1 ， 1） TC（1，-1 ， -2 ，0）TD（2， -6 ， -5

47、 ， -1 ）T6实数向量空间 V=( x,y,z)|3 x+2y+5z=0 的维数是（）A1 B 2C 3D 47设 是非齐次线性方程组Ax=b 的解， 是其导出组 Ax=0 的解，则以下结论正确的是（）A+是 Ax=0 的解B +是 Ax=b 的解C-是 Ax=b 的解D -是 Ax=0 的解8设三阶方阵 A 的特征值分别为1,1,3 ，则 A-1 的特征值为（）24A 2,4, 1B 1,1,1C 1,1,3D 2,4,33243249设矩阵 A=1，则与矩阵 A 相似的矩阵是（2）11101A12B 103221C1D21110以下关于正定矩阵叙述正确的是（）A正定矩阵的乘积一定是正定

48、矩阵B正定矩阵的行列式一定小于零C正定矩阵的行列式一定大于零D正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题 （本大题共 10 小题，每空 2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。11设 det ( A)=-1 ， det (B)=2 ，且 A， B 为同阶方阵，则det( AB) 3 )=_ 122B12设 3 阶矩阵 = 4t3 ，为 3 阶非零矩阵，且=0，则AAB311t =_13设方阵 A 满足 Ak=E，这里k 为正整数，则矩阵A 的逆A-1 =_14实向量空间 Rn 的维数是 _15设 A是 mn 矩阵， r ( A)= r , 则 Ax=0 的基础解系中含

49、解向量的个数为 _16非齐次线性方程组Ax=b 有解的充分必要条件是 _17设 是齐次线性方程组Ax=0 的解，而 是非齐次线性方程组Ax=b的解，则 A(32) =_18设方阵 A有一个特征值为8，则 det （-8 E+A） =_19设 P 为 n 阶正交矩阵，x 是 n 维单位长的列向量，则| Px|=_ 20二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) x125x226 x324x1 x2 2x1 x3 2 x2 x3 的正惯性指数是_三、计算题 （本大题共 6 小题，每小题9 分，共 54 分）111221计算行列式1141 24611242222设矩阵 A= 3-1-1-1，且矩阵

50、 B 满足 ABA=4A+BA ，求矩阵 B523设向量组 1 (3,1,2,0),2 (0,7,1,3), 3 ( 1,2,0,1),4 (6,9,4,3), 求其一个极大线性无关组，并将其余向量通过极大线性无关组表示出来14324设三阶矩阵A= 253 ，求矩阵A 的特征值和特征向量24225求下列齐次线性方程组的通解2242026求矩阵 A= 30611 的秩0300111210四、证明题 （本大题共 1 小题， 6 分）a11a12a1327设三阶矩阵 A= a21a22a23a31a32a33a11a12a131a21, 2a22, 3a23a31a32a33的行列式不等于0，证明：

51、线性无关全国 2012 年 4 月高等教育自学考试线性代数 ( 经管类 ) 试题课程代码： 04184说明：在本卷中,AT 表示矩阵 A 的转置矩阵， A* 表示矩阵 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵， | A| 表示方阵 A 的行列式， r (A) 表示矩阵 A 的秩 .一、单项选择题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分）a11a12a13a112a123a131. 设行列式 a21a22a23=2, 则a212a223a23=(D)a31a32a33a312a323a33A.-12B.-6C.6D.121202. 设矩阵 A= 120, 则 A*中位于第 1 行第 2列的元素是

52、(A )003A.-6B.-3C.3D.63.设 A为 3阶矩阵，且 |A|=3，则 ( A)1 =( B )A. 3B.1C. 1D.3334.已知 4 3 矩阵 A 的列向量组线性无关，则AT的秩等于 ( C )A.1B.2C.3D.41005.设A为3阶矩阵,P= 210, 则用 P左乘 A，相当于将 A( A )001A.第 1行的 2倍加到第2 行B.第 1列的 2倍加到第2 列C.第 2行的 2倍加到第1 行D.第 2列的 2倍加到第1 列6.齐次线性方程组x12x2 3x30 的基础解系所含解向量的个数为x2 +x3x4 = 0(B )A.1B.2C.3D.47.设 4 阶矩阵

53、A的秩为 3，1，2 为非齐次线性方程组 Ax =b 的两个不同的解， c 为任意常数，则该方程组的通解为( A)A. 1c 12B.1 2c 1C. 1 c 12D. 12c 122228.设 A 是 n 阶方阵，且 |5 A+3E|=0 ，则 A 必有一个特征值为 (B )A.5B.3C.3D. 535531009.若矩阵 A 与对角矩阵 D=010相似，则 A3=( C)001A. EB. DC. AD.- E10. 二次型 f22x22是( D )123( x1, x2 , x3 ) =3xxA. 正定的B. 负定的C. 半正定的D. 不定的二、填空题（本大题共10 小题，每小题2 分

54、，共 20 分）11111. 行列式 246 =_16_.4163600110012. 设 3 阶矩阵 A的秩为 2，矩阵 P= 010， Q=010，若矩阵100101B=QAP,则 r (B) =_2_.13. 设矩阵 A=14 ，B=48，则 AB=_.141214.向量组1=(1,1,1,1),2=(1,2,3,4),3 =(0,1,2,3) 的 秩 为_2_.15.设 1 , 2 是 5 元 齐 次 线 性 方 程 组 Ax =0 的 基 础 解 系 ， 则r (A) =_3_.16.非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax =b的增广矩阵经初等行变换化为1000201002，0012-

55、2则方程组的通解是_.17.设 A 为3 阶矩阵，若A 的三个特征值分别为1， 2， 3，则| A|=_6_.设 A 为 3 阶矩阵，且 | A|=6 ，若 A 的一个特征值为 2，则 A* 必有一个特征值为_3_.19. 二次型f (x1 , x2 , x3 )= x12x223x32 的正惯性指数为_2_.20. 二次型f (x1 , x2 , x3 )= x122x222x324x2 x3经正交变换可化为标准形.三、计算题（本大题共6 小题，每小题9 分，共 54 分）3512453321. 计算行列式 D =2011203413022. 设 A= 210，矩阵 X 满足关系式A+X=X

56、A,求 X.00223.设 ，均为4维列向量，=（，）和=234234AB（，2，3，4）为 4 阶方阵 . 若行列式 |=4 ，|=1 ，求行列式 |ABA+B的值 .24.已知向量组1 =(1,2,1,1) T,2 =(2,0, t ,0) T,3 =(0, 4,5,2) T, 4 =(3,2,t+4,-1) T（其中 t 为参数），求向量组的秩和一个极大无关组 .x1x22x3x4325. 求线性方程组 x12x2x3x42的通解 .2x1x25x34x47（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）26. 已知向量1 = (1,1,1)T，求向量2， 3 , 使 1，2， 3 两两正交 .四、证明题（本题6 分）27. 设 A为 m n 实矩阵， ATA 为正定矩阵 . 证明：线性方程组 Ax =0 只有零解 .全国 2012 年 7 月自考线性代数 ( 经管类 ) 试题课程代码 :04184国 2012 年 10 月自考 线性代数 ( 经管类 ) 试题课程代码： 04184说明：本卷中，A-1 表示方阵A的逆矩阵， r ( A) 表示矩阵 A 的秩， | |表示向量的长度，T 表示向