数学思想方法及其教学课件

1、 主讲：马俊青副教授 咸阳师范学院数学与信息学院 中学数学思想方法及其教学 个人简介 马俊青 男 副教授，在咸阳师范学院数信学院任教，1987年7月毕业于宝鸡文理学院数学系，获理学学士，2002-2003年在西北大学数学研究生学习，主要研究方向数学教育教学，陕西数学教育学会理事。近几年来发表研究学术论文二十多篇，参编大学教学专著四部。基础数学教育新课程改革以来，除本身的教学工作还经常受邀，承担小学数学教师、初中数学教师和高中数学教师的培训工作。 数学思想方法提出的背景数学思想方法的作用、地位、意义数学思想方法的简介数学思想方法的教学原则数学思想方法的教学实施数学思想方法在教学中渗透的策略 数学

2、思想方法是数学知识转化为能力的桥梁 数学知识转化数学能力的过程中，数学思想和方法担当起了指导加工的重任，它不仅提供思维策略，而且还提供了实施目标的具体手段 数学思想方法的作用、地位、意义数学思想方法的作用、地位、意义数学思想方法有助于应用意识的加强 只有当学生在数学思想方法的高度上掌握数学概念，数学知识时，才能较好地形成数学能力，受益终身数学思想方法的作用、地位、意义数学思想方法促进良好思维品质的形成 数学的基本思想方法和思维品质之间有密切联系，但思想方法对培养思维品质的作用并不是绝对的一对一的关系。数学基本思想方法系统有助于形成良好的思维品质，如思维的深刻性、广阔性、批判性、严谨性等的形成。

3、数学思想方法的作用、地位、意义数学思想方法有利于学生完善数学认知结构 数学认知结构是数学学科知识的内部联系和规律，即数学的基本概念，定理，公理，方法相互渗透相互关联而形成的梯级结构和网络结构。良好的认知结构有如下三个特征: (1)认知结构中对新知识起固定作用的旧知识的可利用性。（2)认知结构中新知识与同化它的原有旧知识的可辩性程度 (3)认知结构中起固定作用的旧知识的稳定性和清晰性程度。 数学思想方法数学思想是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。数学方法是指在数学

4、地提出问题、解决问题（包括数学内部问题和实际问题）过程中，所采用的各种方式、手段、途径等，其中包括变换数学形式。数学思想与数学方法的关系数学思想是相应数学知识和数学方法的本质认识和精神实质数学思想对数学方法起调控作用 用数学思想指导的数学方法。往往可以超脱这个特定的情境，或者变化模式适应情景，或者变化情景以适应模式，这就表现出一种思维的灵活性，而在这里起调控作用的正是数学思想，中学数学数学基本思想方法新课程标准提出数学的基本思想主要有： (1) 数学的抽象思想 (2)数学的推理思想 (3) 数学建模思想数学抽象思想数学抽象思想派生: 分类思想、集合思想、数形结合思想、符号表示思想、对称思想、对

5、应思想、有限与无限思想等。数学推理思想 数学推理思想派生: 归纳思想、演绎思想、公理化思想、转化化归思想、理想类比思想、逐步逼近思想、代换思想、特殊一般思想等。数学建模思想数学建模思想进一步派生: 简化思想、量化思想、函数思想、方程思想、优化思想、随机思想、抽样统计思想等。分类的思想 分类是通过比较数学对象本质属性的相同点和差异点，然后根据某一种属性将数学对象区分为不同种类的思想方法。分类讨论既是一个重要的数学思想，又是一个重要的数学方法其作用在于克服思维的片面性，防止漏解。从教材的知识内容来看，无论是客观上或是微观上都渗透着分类的思想。通过分类可以化整为零，变一般为特殊，变模糊为清晰，变抽象

6、为具体，使思维过程条理清楚，目的明确。 数形结合思想 数形结合的思想方法是指将数 ( 量 ) 与 ( 图 ) 形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。例如，在讲平方差公式时，可用面积间的关系构造它的直观模型，通过“数”与“式”之间的对比来验证、理解，从而掌握公式。符号表示思想 用字母和符号来表示一般规律和规则，是从作为经验科学的“算学”进步到作为理论科学的“数学”的第一个标志用字母和符号来表示不仅仅限于用它们来表示“数”，也可以用它们来表示任意的具有一定通性的“量” （数量、向量、变换、命题、事件等等）及其运算因此，它已经成为一种最基本的数学思想用字母和符号来表示有关对象关系，简洁、

7、明确，增大了信息密度和思维容量这种抽象的形式有时反而带来“思维的直观”对应思想 对应的思想就是用“联系的观点”来看待自然界或社会上的各种变量之间的关系 ，对应是现代数学重要概念之一，它所反映的是两个集合的元素之间关系，对应是人的思维对两个集合间联系的把握，对应将各种类别、各种层次的对象联系起来，呈现出它们之间某些相似或相同的属性，使各种数学对象能够相互结合转化。对应思想方法在初中数学中应用广泛：点与数之间对应，点与点之间对应，角与角的对应，线段与线段的对应，量与量之间的对应等 有限与无限思想 有限与无限的思想就是将无限的问题化为有限来求解，将有限的问化为无限来解决，利用已经掌握的无限问题的结论

8、来解决新的无限问题，把无限问题转化为有限问题来研究是解决无限问题的必由之路，积累无限问题解决的经验，将有限问题转化为无限问题解决是一种方向，同时也利于解决新的无限问题。演绎思想 演绎思想是指从一般性原理导出特殊性结论的思维方法，也就是从一般到特殊的推理方法，由于演绎推理的特殊性结论包含在一般性原理之中，因而它的前提和结论之间存在着必然联系，从真实的前提一定能导出真实的结论，演绎法是一种必然性推理。公理化思想 数学的任何一个分支或者理论，基本都是由假设、概念、命题、定理、推论组成的。一个概念的定义、一个命题的证明都必须从一些已知的概念和已证明的命题出发，而作为出发点的这些概念和命题又依赖于另一些

9、概念和命题。如此环环相扣地追溯，必然会存在一些无法再定义的概念和再证明的命题，这些概念和命题会以“约定”的形式给出，作为其它所有概念和命题的出发点。这样的概念数学上定义为“基本概念”，这样的命题称为“公理”。由基本概念和公理构成一个公理系统，而在公理系统地基础上，可以演绎出该学科的所有概念和命题这种构造逻辑系统的思想称之为“公理化思想”，相应的方法则称为“公理化方法”。转化化归思想 转化与化归”思想是处理数学问题的一种基本策略.转化和化归就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，就是在数学研究中，把要解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问

10、题得到圆满解决的思维方法. 这种方法的关键在于寻找待求问题与已知知识结构的逻辑关系。化归思想贯穿于整个数学系统的始终。它是中学数学学习中最常见最重要的思想方法。 逐步逼近思想 根据问题的条件确定解决问题的大致范围，然后通过不断改进方法或者排除不可能的情形，逐步缩小问题的解的存在范围，从而最终获得问题的结果。这种思想称之为逐步逼近思想.代换思想 根据数学问题的结构特征，适当选取能够以简驭繁、化难为易的变换，以实现问题的化归的数学思想方法为代换思想，初等数学中的代换有变量替换、换元、增量替换和等量代换等。特殊一般思想 对于某个一般性数学问题，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，即从研究对

11、象的全体转变为研究属于这个全体的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论应用推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答，这种用来指导解决问题的思想称之为特殊化思想；反之当我们遇到某些特殊问题很难解决时，不妨适当放宽条件，把待处理的特殊问题放在一个更为广泛、更一般的问题中加以研究，先解决一般情形，再把解决一般情形的方法或结果应用到特殊问题的解决，这种用来指导解决问题的思想称之为一般化思想。简化思想 数学中化繁为简、化难为简、化抽象为直观，把待解决的数学问题进行有目的、有根据的连续化简，即在完全合乎逻辑的前提下，把原问题连续地化成比较简单的题目，直到新的题目与原题的结论或条件产生明显的

12、逻辑关系为止的数学思想称之为简化思想。量化思想 数学研究的最基本的问题是现实世界客观存在的事物的多与少、大与小、位置及位置的变化可能性大小，等等，这样就产生了数以及表示数的字母，刻画位置的坐标，刻画可能性的概率，以及进一步的方程、不等式、函数、曲线的方程和方程的曲线、随机变量及其概率的分布、分布的函数，等等数学总是从量的方面来描述客观世界的，把客观事物进行量化的描述是数学的基本任务，把数学的这种战略思想称之为量化思想。函数的思想 用运动、变化的观点，分析研究具体问题中的数量关系，通过函数形式把这种数量关系进行刻划并加以研究，从而使问题获得解决，称为函数思想方法。灵活运用好函数思想能解决许多数学

13、问题。方程的思想 运用方程的思想方法，就是根据问题中已知量与未知量之间的数量关系，运用数学的符号语言使问题转化为解方程 ( 组 ) 问题。优化思想 在数学研究中, 常常是以对象的“最优, 为研究目标. 如路程最短、运费最省、投入最少产量最大、利润最多等.这些何题中贯穿了一种统筹的数学思想即最优化的思想. 它具有两重含义, 一是指所研究目标与“最优”有关; 二是指解决间题的方法最优化。随机思想 随机思想是概率论的核心思想， 是从个别偶然的现象发展到这种偶然现象所表现出的一种内在的必然规律。一般地，必然性是通过偶然性表现出来，偶然性背后隐藏着必然性。随机思想是通过对这种偶然性的研究去发现其背后的必

14、然性即统计规律性， 并通过这种必然性去理解、认识和把握随机现象。任何随机事件的发生都具有概率规律， 探求这个规律的做法就体现着随机思想。抽样统计的思想 在收集、整理、描述和分析数据的活动中， 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，根据样本的信息，如平均数和标准差、统计图和统计表等，去估计总体的特征，感受随机抽样的必要性和重要性，掌握抽样统计思想。数学思想方法的教学原则渗透原则系统性原则循序渐进原则实践性原则 渗透原则 所谓渗透原则，是指在具体知识教学中，一般不直接点明所应用的数学思想方法，而是通过精心设计的教学过程，有意识潜移默化。1)挖掘渗透内容2)把握渗透的方法系统性原则 对数学思想方法的

15、系统性的研究，一般需要从两个方面进行: 一方面要研究在每一种具体数学知识的教学中可以进行哪些数学思想方法的教学. 另一方面，又要研究一些重要的数学思想方法可以在哪些知识点的教学中进行，从而在纵横两个维度上整理出数学思想方法的系统。循序渐进原则 学生对每种数学思想方法的认识都是在反复理解和运用中形成的，一般要经历三个阶段。 (一)是模仿形成阶段（二）是观念形成阶段（三）是理解应用阶段实践性原则 遵循实践性原则，就是在实际教学中，教师要特别注重营造教学氛围，要给学生提供思想活动的素材、时机，悉心引导学生积极主动地参与到数学知识的发生过程中，在亲自的实践活动的中，接受熏陶，不断提炼思想方法、活化思想方法，形成用思想方法指导思维活动，探索问题解答策略的良好习惯数学思想方法的教学实施引入数学史，渗透数学思想方法在