平面体系几何组成分析技巧

1、平面体系几何组成分析技巧2 要：平面体系几何组成分析是结构力学课程中非常重要的一部分内容，能帮助人们了解结构的组成，选择合 理的结构形式。本文提出的平面体系几何组成分析技巧，思路清晰，逻辑性强，辅以例题具体说明，对学习者掌握这部分 内容具有指导意义。关键词：平面体系；几何组成分析；皎接三角形平面杆件几何组成分析不仅可以判别体系是几 何不变还是几何可变的，还可以区分体系是静定结构 还是超静定结构，是结构力学这门课程非常重要的一 部分内容。几何组合分析围绕着二元体规则、两刚片 规则和三刚片规则囚展开。目前,很多学者已经对几何 组成分析的技巧进行了总结和归纳，即拆去基础、拆 除二元体、刚片等效代换等

2、仅%61。这些技巧在很大程度 上减少了几何组成分析的步骤，但是运用完上述技巧 后如何入手题目，目前还没有系统性的相关技巧的总 结。针对这个盲点，针对几何体系中X接三角形的数 量（X接三角形是指杆件以三刚片规则联系在一起的 形式），总结了相关分析技巧。1平面体系几何组成分析思路1.1常规体系对于常规体系，平面体系几何组成分析思路如图图1平面体系几何组成分析思路Fig.l Analysis ideas of geometric composition of plane system 在平面体系几何组成分析思路中，找到X接三角 形后，根据X接三角形数量的不同将平面几何体系分 为体系中有不少于3个X接

3、三角形、2个X接三角形、 l个X接三角形和无X接三角形四种类），现对这四 种类型的解题思路做详细阐述。（1）不少于3个较接三角形当体系中有不少于3个X接三角形时，可以采用 二元体规则，通过在先选出的X接三角形的基础上增 加二元体的方式合并三角形，使得最终体系中刚片数 目不超过3,然后按相应三刚片规则或两刚片规则对 体系进行几何组成分析（2）2个较接三角形先将两个饺接三角形分别作为两刚片，按三刚片 规则或两刚片规则进行分析$如果无法顺利进行分 析，则只将两个X接三角形中的一个X接三角形作为 刚片,另一个X接三角形不是整体作为刚片，而是将 构成其的杆件作为连接刚片的链杆来使用。两个XL 三角形应选

4、择与基础只有一根链杆相连的X接三角 形作为刚片，这是该步骤的关键点。（3）1个较接三角形一般来说，在这种情况下X接三角形必为一个刚 片，再选择与X接三角连接少的杆件作为其他刚片， 然后按相应三刚片规则或两刚片规则进行分析$（4）无较接三角形当体系中无X接三角形时，可先选择某根杆件 （尽量不选与基础有两根链杆相连的杆件）作为刚片， 再选择与刚片连接少的杆件作为第二、三个刚片，然 后按相应的二刚片规则或三刚片规则进行分析$ 1.2复杂体系对于复杂体系，往往其几何组成无法用基本规则 （两刚片规则、三刚片规则）分析得出结论，需要采用 特殊技巧进行分析$复杂题）可以先从体系的计算自由度数！入 手,计算自

5、由度数!的计算结果可以分为！0、！=0 和！0三类$当！0时，体系为几何可变；当W=0和 !0时，需要对体系进一步判别。复杂体系的类型繁多，针对计算自由度数W=0 且体系外部多余的约束数与体系内部缺少的必要约 束数相等的题）的解题思路进行阐述$对于这类体 系，首先考虑用零载法进行分析，若计算过程繁琐复 杂，计算量大，不好分析，则可以对该类型复杂体系以 零载法的思路为基础（即在零荷载的情况下，若体系 的所有反力和内力都等于零，那么体系几何不变且无 多余约束）按下述思路进行分析$如图2所示体系外 部有一个多余的约束 ，且体系 内部缺少一个必要的约 束$将外部多余约束去掉并代以相应的多余未知力 X,

6、同时在体系内增加必要的杆件AC,形成的新体系 为几何不变且无多余约束的体系（即静定结构），如图 3所示。比较图2和图3的受力状态，消除两者受力状 态的差别，即新体系中杆件AC的内力应为零，这样就 将求解原体系在零荷载状态下的约束力和杆件内力 转换为求解新体系在外荷载为X作用下的约束力和 杆件内力$杆件AC的内力是包含未知力X的表达 式，因此要求杆件AC的内力应先计算未知力X$不论 未知力X是否为零，原体系都处于零荷载状态$若未 知力X为零，则新体系（即静定结构）在零荷载状态 下，那么所有反力和杆件的内力都为零，故原体系几 何不变且无多余约束；若未知力X不为零，则新体系 （即静定结构）在非零荷载

7、状态下，那么支座反力和杆 件内力不一定为零，故原体系几何可变$图2原体系Fig.2 Original system图3图2原体系Fig.2 Original system图3新体系*+,.3 New system（1）在体系内部增加必要的杆件，同时将体系外 部多余的约束去掉并代以相应的未知力（X1，*，X#）， 使体系成为几何不变且无多余约束的新体系（即静定 结构）$（2）消除新体系受力状态与原体系受力状态的差 别，列出相应的方程：$1 =C11 X1 +%12 X2%1#X# =0$2=%21 X1 +%22 X2%2#X# =0$ =% . X, +% , X, +% X =0$#11#2

8、2#将方程用矩阵的形式表示为:%#1%#1%22%#2%1#%2#%#式中：当X%1#%2#%#式中：当X=1时关杆件的内力。（4）方程为线（齐次方程，故有以下结论：若方程的系数行列式为零，则未知量（X1，X2,X#）有非零解，即原体系几何可变；若方程的系数行列式不为零，则未知量(Xi,X, ,X)只有零解，即原体系几何不变，且无多余约束。2例题分析例1分析图4中体系的几何组成。平面几何体系由17根杆件构成,共有ABH、 AGH、EJF、JGF和ACID5个X接三角形选出X 接三角形ABH,然后在ABH上加上二元体AGH, 根据二元体规则，两个X接三角形ABH和AGH 就形成大刚片I ABHG

9、。选出X接三角形EJF,在 AEJF上加上二元体JGF,两个X接三角形EJF和 JGF形成大刚片 GJEF% X接三角形CID为刚片 a,如图5所示。i、两刚片由xg连接；i、a两刚 片分别由链杆BC和链杆hi相连,交于无穷远；、a 两刚片分别由链杆DE和链杆IJ相连,交于无穷远；因 为链杆BC、链杆HI、链杆DE、链杆IJ不都相互平行口, 符合三刚片规则，体系为几何不变且无多余约束。图4例1示例图图4例1示例Fig.4 The system of example 1 Fig.5 Selection method of rigid plate in example 1例2分析图6中体系的几何组

10、成。该体系基础可以拆去，无二元体，有BCE和 AFG两个X接三角形选择X接三角形BCE作为 刚片I、X接三角形AFG作为刚片 ,再选择与刚 片I和刚片均不相连的杆件HD作为刚片a,如图 7所示刚片I和刚片由链杆AB和链杆FE相连， 交于X A；刚片I和刚片皿由链杆EH和链杆CD相 连，交于无穷远；刚片和刚片a由链杆FD和链杆 GH相连，交于X D。链杆EH和链杆CD不与X A和 X D的连线平行071,满足三刚片规则，则体系几何不变 且无多余约束图6例2示例Fig.6 The system of example 2 Fig.7 Selection method of rigidplate in

11、 example 2例题3分析图8中体系的几何组成该体系基础不能拆去，无二元体，有BDE和 CDF两个X接三角形。解法一：选则X接三角形BDE作为刚片I、X 接三角形CDF作为刚片、基础作为刚片a,如图9 所示,则刚片I和刚片交于x d,刚片I和刚片a 交于X E,刚片和刚片a只有一根链杆FG相连，但 是体系中链杆AB、链杆AC和链杆AH都没有用到, 因此将两个X接三角形BDE和CDF都作为刚片 无法顺利进行分析。解法?：选则两个X接三角形中的一个作为刚 片，选择与基础只有一根链杆相连的CDF作为I刚 片,基础作为刚片,选择与刚片I和刚片均不相 连的杆件AB为a刚片，如图10所示 I刚片和刚

12、片由链杆FG和DE相连，交于虚X J； 刚片和a刚 片由链杆AH和BE相连,交于虚X K； I刚片和a刚 片由链杆AC和BD相连,交于X C；虚X J、虚X K、 X C不在同一直线上,满足三刚片规则，体系几何不 变且无多余约束。Fig.8 The system of example 3图9例3解法一刚片选取方法Fig.9 Selection method of rigid plate in the first solution of example 3图10例3解法二刚片选取方法Fig.10 Selection method of rigid plate in the second solu

13、tion of example 3 例题4分析图11中体系的几何组成。平面几何体系中有一个X接三角形！EFG。基础 不能拆去，基础与杆件CD由X C和链杆DH连接，满 足两刚片规则，杆件CD和基础看成一个刚片；杆件 CD和基础形成的刚片与杆件AC由X C和链杆AJ 连接，满足两刚片规则，杆件AC、杆件CD和基础看成 一个刚片；在杆件AC、杆件CD和基础形成的这个刚 片上加上二元体ABD，则基础与杆件AB、杆件BD、杆 件CD、杆件CA形成一个大刚片#因此，杆件AB、杆 件BD、杆件CD、杆件CA和基础构成了 I刚片,X接 AEFG作为刚片，如图12所示。两刚片由链杆CF、 EB、GD相连，三链

14、杆交于点M,所以体系为几何可变 体系)2=*21 (1 +*22 )2=*21 (1 +*22 (2二。图11例4示例Fig.11 The system of example 4图12例4刚片选取方法 Fig.12 Selection method of rigid plate in example 4平面几何体系中没有二元体，没有X接三角形, 选择杆件AD作为I刚片，选择与杆件AD不相连的 杆件BE作为刚片,再选择与杆件AD、杆件BE都 不相连的杆件CF作为皿刚片，如图14所示# I刚片 和刚片由链杆AB和链杆DE相连，交于无穷远； 刚片和a刚片由链杆BC和链杆EF相连，交于无穷 远；I刚片

15、和a刚片由链杆AF和链杆CD相连，交于 G#因为链杆AB、链杆DE、链杆BC、链杆EF平行，但图14例5刚片选取方法长度不都相等吐所以体系几何瞬变#图13图14例5刚片选取方法长度不都相等吐所以体系几何瞬变#Fig.13 The system of example 5 Fig.14 Selection method of rigid plate in example 5例6分析图15中体系的几何组成，除斜杆外其 他杆件等长#本题中平面几何体系是一个复杂的几何体系，运 用几何组成分析基本规则(两刚片规则、三刚片规则) 无法分析几何组成#因此，先求解其计算自由度数!=2-($+&)=2xl4-(2

16、3+5)=0(1)法一：因为!=0,所以考虑用零载法进行分析，在 零荷载的情况下，计算体系的支座反力与内力，通过 体系中的零杆，容易分析出体系中的所有反力和内力 都为零。故该体系几何不变且无多余约束。法二:将原体系外部多余约束去掉并代以相应的 未知力X1、(2,在原体系内部增加必要的杆件1和杆 件2,形成的新体系如图16所示#列方程：)1 =*11 (1+*12 (2=042*11 *12 _55*21 *222642*11 *12 _55*21 *222655=上。22=5 则Fig. 15 The system of example 6 Fig. 16 New system of exam

17、ple 6 例7分析图17中体系的几何组成# 该体系运用几何组成分析基本规则(两刚片规 则、三刚片规则)无法分析几何组成。其计算自由度数!=2#-(%+)=2xll_(18(4)=0,运用零载法进行分析时 计算繁琐且计算量大$观察发现体系外部有一个多余约束，体系内部缺 少一根必要杆件，故将外部多余约束去掉代以未知力 Xi,在体系内部增加一根必要杆件杆1,得到新体系如 图18所示。消除原体系与新体系受力状态的差别，有 方程：)i=CiiXi=0$ *ii为新体系中当Xi= 1时杆件1的 内力，先对M结点运用结点法求出杆件HM的内力， 再将杆件AB、杆件BJ、杆件1、杆件HM截开，运用截 面法求出杆1的内力*11=0$因为*11=0!0,所以方 程成立的条件只能为(1=0,故原体系几何不变且无多 余约束$的难点和意见，对平面体系几何组成分析思路进行总 结和归纳，将体系分成常