微积分第2版-朱文莉第1章 函数习题详解

1、习题 1.1(A)1、用区间表示下列点集。(1) x 解由于实数全体为(,)，因此x,0)(2)xx45 ;解由x4 5，有1 x9，因此x x 4 5 (1,9)(3)xx10 x 1 0 ，有x 1或x 1，因此xx10 (,)(4)xx2 5x60由x2 5x 6 0 ，有 3 x 2 ，因此xx2 5x60 x52解由x52，有3 x7，因此x52 x(2) 0 (x 2) 2 4解由0 (x2)2 4，有0 x2 2，即0 x4，且x 2，因此0 (x 2)2 4 x (0, 2) (2, 4)x37解由x37，有x 4或x ，因此x37 x)(,2x3 x1解由2x3 x1，有x

2、2或x4，因此32x 3 x 1 x (, 4) ( 2 , )3(B)1、设(a, b) 是一个有限的开区间，证明：对任何 x (a, b) 一定存在 x 的一个邻域oU (x, ) (a, b) 。证明对任何x(a,b)，有a xb，记 x,xa，则 0。下面我o们来证明U (x, ) (a, b) 。oo由于U (x, ) (x , x ) ，对任何t U (x, ) ，有x t x ；由于 xxa，则 bx，从而x b，由t x 可得t b；同样 xa，从而x a，由t x ，可得t a，因此at b，这就证明了oU (x, ) (a, b) 。2、用区间表示不等式x1x110的解集。

3、x1解x3 0，解得x xx0,0 x 习题 1.2 (A)1 x2。(1)y 1 x2xx 0解 要使函数有定义, 必须，即x1,0 0,1，21 x 0所以函数的定义域为1,0 0,1。5x(2)y 5xln( x 2)x解要使函数有定义，必须x20，且x2)0，即2 xx所以函数的定义域为(2,3) 3,51xx(3)y 1xx 解分段函数的定义域为各段函数定义域的并，所以函数的定义域为。xy sinx解要使函数有定义，必须x0，所以函数的定义域为。2、下列各题中，函数是否相同? 为什么?xy xy x解不相同，因为对应法则不同，所以不是同一函数。1cos2xy 与y 1cos2x解不相

4、同，因为对应法则不同，所以不是同一函数。3 x4 x3y y x3 3 x4 x33 x4 x3解相同3 x4 x3所以是相同函数。y x3 x1 y1y cos2 xsin2 x。解相同，因为对于任意x(,)，都有cos2 xsin2 x1，所以是相同函数。3、试求下列函数在指定区间内的单调性。y x ,(,1) 1 x解取,x2 (, ，且 x2 ，则x2 x2)x2) x1 x2 0 ，即11x2x2) x2)x2y x是单增函数。11x21x(2)y xx ，x)解任取,x2 (, ，且 x2 ，则 x1 0，即x2x1 ln x1 x2 ln x2 ，故 y x ln x 是单增函数

5、。(1 ) y x 解是周期函数，周期为 。y1sinx解是周期函数，周期为2。y x sin2 x解 不是周期函数。y cos3x 解是周期函数，周期为。35、下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？1x, x(1) y 3x2 x3 ；(2) y 1x, xxax a xx(3) y；(4) y x2解(1) y f(x)3x2 x3 ，其定义域为(,)，是对称区间，又因为f (x) 3(x)2 (x)3 3x2 x3 ，f (x) f (x) ，且 f (x) f (x) ， 所以 f (x) 既非偶函数又非奇函数(2)因为当 x 0 时， x 0 ，所以 f (

6、x) 1 (x) 1 x当x 0 时， x 0 ，所以 f (x) 1 (x) 1 x1x, x即 y f (x) 1 x, x 0 1x, x因为 f(xf(xf(x为奇函数xxxxax a xy f(x，其定义域为(，是对称区间，因为2a x axf(x) f (x) ，2所以 f (x) 为偶函数6f (x x sin x 在(0上是无界函数。证明对于任意正数M 0，都存在一个自然数k，使从而取xk 2k 22k 2M ，则有 ，故f(xM ，k ) 2k M，故f(x)在(0,)上221、求下列函数的定义域:1(1) yln(x1)2x1 ;(2) y(B)sin x log(16 x

7、2 ) sin x解(1) 要是函数 y 有意义, 必须Df 1, 1 1, .x1x1即 函 数 的 定 义 域 为sin x 0,(2) 要是函数y有意义, 必须有2,16 ,即 0,2k x2k4 x0, .所以函数的定义域为 Df (0, .k 0, 1, 22 、 设函数 y f (x), x (, ) 的图形关于 x a, x b 均对称 a b , 求证:y f (x) 是周期函数, 并求其周期.证明若函数f(x)的图像关于直线x a对称，则f(ax) f(ax). 由题设可知f (a x) f (a x) , f (b x) f (b x) ,所以 f (x) f a (x a

8、) f a (x a) f (2a x) f b (2a x b) f b (2a x b) f x 2(b a).故 f (x) 是周期函数, 其周期T 2(b a) .3f (xR x R f (x 0 f 1 . 试讨论函数F(x) f(x)1的单调.f (x)解在R上任取x1、x2 ，不妨设 x2 ，则f(x2) f(x1).1F(x )F(x )f(x )1f(x )1121f(x2 f (x1 )f(x ) f(x)11,21f (x ) f (x)12f(xRf1, 当x时0 f(x1x时f (x) 1 .1) 若 x2 10 ，则0 f (x1 f (x2 1, 0 f(x )

9、 f(x )1, 11 0.12f (x ) f (x )12所以 F(x2 ) F(x1 ) ;2) 若x2 x1 10 ，则 f (x2 ) f (x1 ) 1, 可知f(x ) f(x )1, 11012f (x ) f (x )12所以F(x2) F(x1).综上， F(x) 在(, 10) 为减函数，在(10, ) 为增函数.习题 1.3 (A)1、已知f(x)x，求f f(x)，ff f (x)1 xx解f f(x)1xx(xx 1)1x12x21 xfff(x)ff(x)x12xx(xx 1,x 1)1 f f (x)x 1x12x13x232、已知f(x)0,x0,，求f(x(

10、x2 1)。x x1x解f(xx1，即f(x1)xx1x x2 10,f (x2 1) 0,x2 10f(x2 1x x x2 10,x 1,3、求下列函数的反函数。(1)y 1x1x解由y 1x解出x1 y ，得反函数y 1x。1 x1 y1 x3 x 13 x 1解由y 3 x1解出x y3 1，得反函数y x3 1。y 2sin3x解由y2sin3x解出x 1arcsiny(2 y 2)，得反函数32y1arcsinx(2 x2)。322x(4)y 2x 12xyx解由y 2x 1解出xlog2 1y(0 y，得反函数ylog2 1x(0 x。x,x (5)y x2 , 1 x 2x,x

11、 4、下列函数是哪些函数复合而成的？y sin2x解y sin u, u 2x3 3 e2x)解y 3 u , u v, v w et , t 2x(3)y ln2 x)3解y u3 , u 1 v2 , v lnx)y an2 x解y au , u v2 , v sinx1f(x1x2 xu u u2 41 f (x.x2(B)解：令u x，解出x代入原式得x2u2 u2 44u 4f(u)u2 4u2 4 u2 22故 f (x) x2 222、求下列函数的反函数。x,x (1) y x2 , 1 x 4,；(2) y2x,x 4ex ex。ex exx,xy,y 解：(1) 由 y x2

12、 , 1 x 4, 解出x y , 1 y 16，得反函数2x,x4,log y,y x,x y x, 1 x 16, 。ex ex(2)yex exlog2 x,x ex ex1y11x1解由yex ex 解出x 2ln1y ，得反函数y 2ln1x, x (1,1) 。exsin x，x 03、设 f (x) 2x，x 1 ，(x) x2， x 0 ，求 f (xe(x),(x)1解f(x)2(x), (x)1当(x) 1 时，有以下两种情况：x0时，(xx1不可能；x0时，(x) x2 1，即x1。当(x1时，也有以下两种情况：x 0时，(x) x 1 ，即x 0 ；x 0 时，(x)

13、x 2 1，即1 x 0 。ex2 ,x1综上所述，得f(x) 2x ,1 x 02sinx,x 04、设 f (x) 满足2 f (x) f (1 x) ex ，求 f (x) 解令t 1x，则x1t，代入原方程得2ft) f(t)e1t ，即2fx) f(x)e1x 该方程与原方程联立，解得2ex e1xf(x)3习题 1.4 (A)1、指出下列函数是由哪些基本初等函数复合或四则运算而成。y earcsinx)4解y u4 , u 1 ev , v arcsin x。y x2 e xx解y x2u, u v, v ew ,w。x(3)y x )21 x解y u2 , u tan ex(4)

14、ytan exx1 x解y u , u v, v ex 。2、下列函数中哪些是初等函数？x (1) y cosx2sin x1；(2) yx x2 1 x 2y ；(4) y x 2x 。cosxsinx,2 x 4解而(1)，(2)，(4)均可由基本初等函数经复合或四则运算得到，因此是初等函数。3、设函数 f (x) x3 x ，(x) sin 2x ，求 f ( ) ， f f f (1)。12 解f( )3( )( )(1)3 (1)3 121212228ff ff f0。(B)1、设f(x)ex2 ，f(x)1x，且(x)0，求(x)解：由f(x)ex2知，f(x)2(x) ，又f(x

15、)1x，于是2(x) 1x，即 x)2 (x) ln1 x ，而(x) 0 ，所以 x)，则(x) 的定义域为,0习题1.5150 0.15 50千克时，超重部分按每千克 0.25 元收费，试建立行李收费 f (x) (元)与行李重量 x (千克)之间的函数关系。解依题意，函数关系为0.15x ,0 x 50f(x0.1550 x50)x50，则0.15x,0 x 50f(x)7.5x50)x ,2、已知下列需求函数和供给函数分别为Qd 14 1.5 p， Qs 4 p 5 ，求：市场均衡价格；1解(1)因为市场达到均衡时Qd Qs ，则1.5p4p5，解得p3.45(元)(2) 14 1.5

16、 p 4( p 1) 5 ，得 p 4.18 (元)。315 2000 元，如果每只手表20 元，为了不亏本,该厂每天至少应生产多少手表。解设手表产量为Q，成本为C，收益为R，C 15Q 2000, R 20Q利润为 R C 5Q 2000 ，令 R C 5Q 2000 0 ，得Q 400 ，即每天至少生产 400 只。(B)1、某工厂生产某种产品，年产量为a 吨，分若干批进行生产，每批准备费为b 元，设产品均匀投放市场，即平均库存量为批量的一半设每年每吨库存费为c 元，显然，生产批量大生产准备费之和与批量的关系解设批量为x，库存费与生产准备费之和为y因为年产量为a，每年应生产批a，x所以准备

17、费为 a b x又因为平均库存为 x ，库存费为 x c 故22y ab xcx221、填空题。2总习题 1 (A)x2 ) ，x(1) 1 ；(2) 2 x5且x3；(33x2 ) ，xx2、选择题。(1) B；(2)C；(3)A；(4)D。 x2。36030元，厂家为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超20020054L表示成订购量x20解 (1) L L(x) 30 x,0 x 20024x 1200 x 200(2) 当x 2000 时， L 49200 元。即他们愿意以什么价格来购买，根据调查结果得出需求函数为Q 900P ，该厂270000 10 解以Q表示产量，C表示成本，P表示

18、价格，则有C(Q) 10Q 270000 .(1)而需求函数为代入(1)式有Q900P45000C(P) 9000P 720000则收入函数为R(P) P (900 P 45000 ) 900 P 2 45000 P利润函数为L(P) R(P) C(P) 900( P 30)2 90000P30L元为最大利润，在此价格下，销售量为Q 900 30 45000 18000(B)1、设函数 f (x) 的定义域是区间0,1 ，试求下列函数的定义域。(1) f (x )x 1解依题意有0 xx1 1，即x 0 ，所以函数的定义域为0, 。(2)f(xa) f(xa)(a 0 xa1a x1a解依题意

19、有0 xa1，所以a x1a，故当0 a 1 时，函数的定义域为 x a,1 a；2当 a 1 时，函数的定义域为空集。22、设f(x) x4 ，g(x) x,x0。 x,x0证明g(x是奇函数；求 f (g(x。)证明于g(x) xx 0，则有因此g(x) 是奇函数。 x, x0 x,g(x) x,x 0 g(x)x 0) 解由于f(g(x)g(x)4 ( x 4 x 2 x 4 x 2 f (g(x) x2 x (。3、设下面所考虑函数的定义域关于原点对称，证明：两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；是奇函数。证明(1)设f1(x),g1(x)为奇函数，f2(x),g2(x)为偶函数，则f 2 (x) g 2 (x) f 2 (x) g 2 (x)即两个偶函数的和仍为偶函数。而f1 (x) g1 (x) f1 (x) g1 (x)所以两个奇函数的和是