新教材人教B版高中数学必修第三册81向量的数量积-教学课件

1、8.1向量的数量积8.1.2向量数量积的运算律 P26 8.1.3向量数量积的坐标运算 P51 8.1.1向量数量积的概念 8.1向量的数量积8.1.2向量数量积的运算律 P26 1.回顾物理学中力对物体做功:(1)小车在水平向右、大小为10 N的拉力F作用下向右产生了6 m的位移,那么拉力F对小车做的功是多少?(2)如果拉力F与位移的夹角为60,且拉力的大小仍为10 N,小车的向右的位移仍为6 m,那么拉力F对小车做的功是多少?(3)如果拉力F与位移s的夹角为,那么拉力F对小车做的功是多少?1.回顾物理学中力对物体做功:提示:(1)W=106=60(J).(2)W=106cos 60=30(

2、J).(3)W=|F|s|cos (J).提示:(1)W=106=60(J).2.向量的夹角:正方形ABCD,如图. (1)向量 的夹角等于_,表示为_.(2)向量 的夹角等于_,表示为_.2.向量的夹角:正方形ABCD,如图.【概念生成】1.两个向量的夹角已知两个非零向量a,b,在平面内任选一点O,作 =a, =b,则称0,内的_为向量a与向量b的夹角,记作_.(1)两个向量的夹角的取值范围是_,且=_.(2)当=_时,称向量a与向量b垂直,记作_.AOB0,ab【概念生成】AOB0,ab2.向量数量积的定义一般地,当a与b都是非零向量时,称_为向量a与b的数量积(也称为内积),即ab=_.

3、(1)当 时,ab_0;当= 时,ab_0;当 时,ab_0.|a|b|cos|a|b|cos=2.向量数量积的定义|a|b|cos|a|b|(2)两个非零向量a,b的数量积的性质:(2)两个非零向量a,b的数量积的性质:3.向量的投影与向量数量积的几何意义(1)设非零向量b所在的直线为l,向量a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影.(2)一般地,如果a,b都是非零向量,则称_为向量a在b上的投影的数量.(3)两个非零向量a,b的数量积ab,等于a在向量b上的_与b的模的乘积.这就是两个向量数量积的几何意义.|a|cos投影的数量3.向量的投影与向量数量积的几何意义|a|cos投探究点一计算

4、平面向量的数量积【典例1】已知等边三角形ABC的边长为6,求 的值.【思维导引】先明确向量的夹角,再计算平面向量的数量积.【解析】因为等边三角形ABC的边长为6,所以 =18+36-18=36.探究点一计算平面向量的数量积【类题通法】关于向量数量积的几点注意事项两个向量的数量积与实数的积有很大区别:(1)两个非零向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos 的符号所决定.(2)计算两个平面向量的数量积,首先要明确两个平面向量的长度和夹角,再利用向量的数量积公式计算ab=|a|b|cos.提醒:牢记特殊角的余弦值:如cos 0=1, 【类题通法】关于向量数量积的几点注意事项【定向训练】1.已知

5、向量|a|=2|b|=4,且cos=- ,则a2+ab等于()A.8B.10C.16D.22【解析】选B.由向量|a|=2|b|=4,得|b|=2,且cos= ,则a2+ab=16+42 =10.【定向训练】2.已知向量|a|=2,|b|=3,且ab,则ab=.【解析】因为|a|=2,|b|=3,且ab,所以当a,b方向相同时,=0,ab=|a|b|cos=23=6.当a,b方向相反时,=,ab=|a|b|cos=23(-1)=-6.答案:62.已知向量|a|=2,|b|=3,且ab,则ab=探究点二求平面向量的夹角【典例2】(1)已知向量|a|=2,|b|= ,且ab=-3,则=() (2)

6、已知ABC中,AB=4,BC=2, =-4,则向量 与 的夹角为,向量 与 的夹角为.探究点二求平面向量的夹角【思维导引】(1)由平面向量的夹角公式计算夹角的余弦值再求角.(2)先由向量的数量积公式计算B,再由平面几何性质计算ACB,BAC,最后求向量的夹角.【解析】(1)选D.因为向量|a|=2,|b|= ,且ab=-3,所以cos= 又0,所以= 【思维导引】(1)由平面向量的夹角公式计算夹角的余弦值再求角(2)在ABC中,因为AB=4,BC=2, =-4,所以| | |cos =-4,得42cos(-B)=-4,所以cos B= ,得B=60.如图,延长BC到D,使CD=BC,连接AD,

7、则ABD为等边三角形,所以ACBC,BAC=30,所以向量 与 的夹角为90, 与 的夹角为150. 答案:90150(2)在ABC中,因为AB=4,BC=2, =【类题通法】求平面向量的夹角的方法技巧(1)已知平面向量的长度和数量积,利用夹角余弦公式计算cos= ,若是特殊角,再求向量的夹角.(2)在ABC中,注意三角形的内角与平面向量的夹角的区别和联系,常常利用几何图形确定是“相等”还是“互补”的关系.提醒:在ABC中,向量的夹角和三角形内角的关系可能相等,也可能互补,如=B,=-B.【类题通法】求平面向量的夹角的方法技巧【定向训练】(2020全国卷)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=

8、6,ab=-6,则cos=()【解析】选D.由a(a+b)=|a|2+ab=25-6=19,【定向训练】探究点三平面向量数量积的几何意义【典例3】(1)已知向量b的模为1,且b在a方向上的投影的数量为 ,则a与b的夹角为()A.30B.60C.120D.150(2)已知平面向量|a|=2,|b|=6且ab=-4,则a在b上投影的数量为,b在a上投影的数量为.探究点三平面向量数量积的几何意义【思维导引】(1)向量b在a方向上的投影的数量为|b|cos,再求向量的夹角.(2)先由平面向量数量积的公式计算cos,再计算投影的数量.【解析】(1)选A.因为向量b的模为1.且b在a方向上的投影的数量为

9、,则|b|cos= ,得cos= ,因为0,所以= =30.【思维导引】(1)向量b在a方向上的投影的数量为|b|cos(2)因为平面向量|a|=2,|b|=6且ab=-4,所以|a|b|cos=-4,得cos=- .所以a在b上投影的数量为|a|cos=- ,b在a上投影的数量为|b|cos=-2.答案:- -2(2)因为平面向量|a|=2,|b|=6且ab=-4,【类题通法】关于平面向量数量积的几何意义的两点注意事项1.向量a在b所在直线上的投影是一个向量,向量a在b所在直线上的投影的数量为|a|cos,这是一个实数.2.向量b在向量a上的投影的数量是|b|cos,与|a|cos不能混为一

10、谈.【类题通法】关于平面向量数量积的几何意义的两点注意事项【定向训练】1.如图,圆心为C的圆的半径为r,弦AB的长度为2,则 的值为()A.rB.2rC.1D.2【定向训练】【解析】选D.如图,作AB的中点H,连接CH,则向量 在 方向上的投影的数量为| |=| |cosCAB,所以 =| | |cosCAB=| | |=2.【解析】选D.如图,作AB的中点H,连接CH,2.已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=3,且ab=4,则向量a在b方向上的投影数量是()A. B. C.2 D.1【解析】选A.设向量a与b的夹角是,则向量a在b方向上投影数量为|a|cos = 2.已知平面向量a,b

11、满足|a|=2,|b|=3,且ab=【课堂小结】【课堂小结】8.1.2向量数量积的运算律 8.1.2向量数量积的运算律 1.根据实数乘法的交换律,得到向量数量积的交换律:(1)实数a,b的乘法交换律:ab=_.(2)向量a,b的数量积的交换律:ab=_.2.根据实数乘法的结合律,得到数乘向量数量积的结合律:(1)实数a,b,c的乘法结合律:abc=_=_.(2)向量a,b的数量积的交换律:(a)b=_.baba(ab)ca(bc)(ab)1.根据实数乘法的交换律,得到向量数量积的交换律:baba3.根据实数乘法的分配律,得到向量数量积的分配律:(1)实数a,b,c的乘法分配律:(a+b)c=_

12、.(2)向量a,b,c的数量积的分配律:(a+b)c=_.4.根据实数的乘法公式,得到向量数量积的公式:(1)实数的平方差公式:(a+b)(a-b)=_,向量数量积公式:(a+b)(a-b)=_.(2)实数的完全平方公式:(ab)2=_,向量数量积公式:(ab)2=_.ac+bcac+bca2-b2a2-b2a22ab+b2a22ab+b23.根据实数乘法的分配律,得到向量数量积的分配律:ac+bc【概念生成】两个向量数量积的运算律1.交换律:ab=_.2.结合律:(a)b=_.(R)3.分配律:(a+b)c=_4.重要公式:ba(ab)ac+bc【概念生成】ba(ab)ac+bc探究点一利用

13、向量数量积的运算律计算【典例1】(1)如图,在平行四边形ABCD中,APBD,垂足为P,且AP=3,则 =.探究点一利用向量数量积的运算律计算(2)已知e1,e2是互相垂直的单位向量,a= e1-e2,b=e1+e2.若ab,求实数的值.若a与b的夹角为60,求实数的值.【思维导引】(1)利用向量垂直的充要条件转化为向量的数量积计算.(2)利用平面向量的数量积公式以及运算律,解方程求参数的值.(2)已知e1,e2是互相垂直的单位向量,a= e1-e【解析】(1)在平行四边形ABCD中,得 由APBD,垂足为P,且AP=3,得 答案:18【解析】(1)在平行四边形ABCD中,得 (2)由ab,得

14、ab=0,则( e1-e2)(e1+e2)=0,得 + e1e2-e1e2- =0,则 -=0,所以= .因为 e1-e2与e1+e2的夹角为60,所以cos= ,且( e1-e2)(e1+e2)=(2)由ab,得ab=0,则( e1-e2)(e新教材人教B版高中数学必修第三册8【类题通法】利用向量数量积的运算律计算的注意事项(1)计算(a+b)(xa+yb),可以类比多项式乘法运算律,注意实数的乘法、数乘向量和向量的数量积在表示和意义的异同.【类题通法】利用向量数量积的运算律计算的注意事项(2)三个实数的积满足结合律(ab)c=a(bc)=(ac)b,而三个向量的“数量积”不一定满足结合律,

15、即下列等式不一定成立:(ab)c=a(bc)=(ac)b,这是因为上式的本质为c=a=kb,当三个向量不共线时,显然等式不成立.提醒:等式(ab)a=ba2也不一定成立.(2)三个实数的积满足结合律(ab)c=a(bc)=(ac)【定向训练】1.已知矩形ABCD的边长为AB=2,BC=3,E为BC边上靠近点B的三等分点,则 =.【解析】根据题意画出几何关系如图所示:【定向训练】答案:7答案:72.设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则=.【解析】方法一如图,因为非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,所以三个向量围成等边三角形ABC,则= .2.设非零

16、向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=方法二因为非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,所以|a|=|b|=|a+b|,得|a|2=|b|2=|a+b|2,即|a|2=(a+b)2=a2+b2+2|a|b|cos,得cos=- ,又0,得= .答案: 方法二因为非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a探究点二利用平面向量的数量积证明几何问题【典例2】如图,已知ABC中,ACB是直角,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:ADCE.探究点二利用平面向量的数量积证明几何问题【思维导引】借助平面向量垂直的充要条件解题,即通过计算 =

17、0完成证明.【证明】设此等腰直角三角形的直角边长为a,则 所以ADCE.【思维导引】借助平面向量垂直的充要条件解题,即通过计算 【类题通法】利用向量法证明几何问题的方法技巧(1)利用向量表示几何关系,如位置关系、长度关系、角度关系.(2)进行向量计算,如向量的线性运算、数量积运算.(3)将向量问题还原成几何问题,如向量共线与三点共线或者直线平行,向量的夹角与直线的夹角等.【类题通法】利用向量法证明几何问题的方法技巧【定向训练】已知四边形ABCD中, 且 (1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)求四边形ABCD的面积.【解题指南】(1)根据相等向量的概念证明四边形是平行四边形,利用向量的数量积运

18、算,再证明平行四边形的对角线平分对角,从而证明四边形是菱形.(2)求出菱形的对角线的长度,利用菱形的面积公式计算.【定向训练】【解析】(1)由 可知ABDC,AB=DC=2,所以四边形ABCD为平行四边形.设ABD=1,CBD=2,【解析】(1)由 可知ABDC,AB=DC=化简得1+cos(1+2)= cos1,cos 60+1= cos 2,得cos 1=cos 2= ,所以1=2=30,所以平行四边形ABCD为菱形.化简得1+cos(1+2)= cos1,cos 6新教材人教B版高中数学必修第三册8【补偿训练】利用向量法证明:等腰三角形底边的中线垂直于底边.已知ABC中,AB=AC,D是

19、BC的中点.求证:ADBC.【证明】如图,因为在ABC中,AB=AC,D是BC的中点, 【补偿训练】新教材人教B版高中数学必修第三册8【课堂小结】【课堂小结】8.1.3向量数量积的坐标运算 8.1.3向量数量积的坐标运算 回顾以下知识:1.点的坐标与平面向量的坐标:(1)单位正交基底:在平面直角坐标系中,在x轴、y轴正方向上分别取单位向量e1,e2,则_是一组单位正交基底.(2)平面向量的坐标:如果对于平面向量a,有a=xe1+ye2,则向量a的坐标为_,记作_.e1,e2(x,y)a=(x,y)回顾以下知识:e1,e2(x,y)a=(x,y)(3)单位正交基底向量的坐标:对于单位正交基底向量

20、e1,e2,显然,其坐标分别为e1=_,e2=_,且e1e2=_,e1e1=e2e2=_.2.两点间的距离:(1)若点A(-3,0),B(3,0),则| |=_.(2)若点A(-3,3),B(3,-5),则| |=_.(1,0)(0,1)01610(3)单位正交基底向量的坐标:对于单位正交基底向量e1,e2【概念生成】1.向量的数量积的坐标公式设平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),(1)数量积公式:ab=_.(2)向量垂直公式:abab=_.x1x2+y1y20 x1x2+y1y2=0【概念生成】x1x2+y1y20 x1x2+y1y2=02.三个重要公式(1)向量的模:a2= |

21、a|=_.(2)两点间的距离公式:设点A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=| |=_.(3)向量的夹角公式:cos= =_.2.三个重要公式探究点一利用向量数量积的坐标公式计算【典例1】(1)已知向量a=(2,3),b=(-2,4),c=(-1,2),则a(b+c)=.(2)已知向量a=(1,3),b=(2,5),求ab,|3a-b|,(a+b)(2a-b).【思维导引】(1)利用平面向量数量积的坐标运算公式进行计算.(2)利用平面向量的数量积公式、模的坐标公式计算.探究点一利用向量数量积的坐标公式计算【解析】(1)因为b=(-2,4),c=(-1,2),所以b+c=(-2,4)+

22、(-1,2)=(-3,6).又因为a=(2,3),所以a(b+c)=2(-3)+36=-6+18=12.答案:12(2)ab=12+35=17.因为3a=3(1,3)=(3,9),b=(2,5),所以3a-b=(1,4),所以|3a-b|= 【解析】(1)因为b=(-2,4),c=(-1,2),因为a+b=(3,8),2a=(2,6),所以2a-b=(2,6)-(2,5)=(0,1),所以(a+b)(2a-b)=30+81=8.因为a+b=(3,8),2a=(2,6),【类题通法】1.数量积坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时,要正确使用公式ab=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系:

23、|a|2=aa.(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2.(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2.【类题通法】(2)利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量积的坐标运算列出方程(组)进行求解.(2)利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来说应当先设出向2.求向量的模的两种基本策略(1)定义表示下的运算.利用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.(2)坐标表示下的运算.若a=(x,y),则aa=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|= .2.求向量的模的两种基本策略【定向训练】1.已

24、知O为坐标原点,点A(1,0),B(0,2),若OCAB于点C,则 ( + )=.【定向训练】【解析】设点C的坐标为(x,y),则 =(x,y),由A(1,0),B(0,2),得 =(-1,2), =(x-1,y),因为OCAB于点C,答案:【解析】设点C的坐标为(x,y),则 =(x,y),由A2.(2020北京高考)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足 则| |=; =. 【解析】如图建系,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),所以 =(2,0), =(2,2), =(2,1),P(2,1), =(-2,1),| |= ,又 =(0,-1),所以 =-1.答案: -1

25、2.(2020北京高考)已知正方形ABCD的边长为2,点P探究点二向量数量积的坐标公式与夹角问题【典例2】(1)(2020全国卷)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若ab,则m=.(2)已知平面向量a=(1,3),b=(2,),设a与b的夹角为.若=120,求的值.要使为锐角,求的取值范围.探究点二向量数量积的坐标公式与夹角问题【思维导引】(1)根据向量垂直,结合题中所给的向量的坐标,利用向量垂直的坐标表示,求得结果.(2)由=120求cos = ,建立方程求的值.要使为锐角,则cos 0,且a与b不能共线,建立不等式求的取值范围.【思维导引】(1)根据向量垂直,结合题中所给的

26、向量的坐标,利【解析】(1)由ab可得ab=0,又因为a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),所以ab=1(m+1)+(-1)(2m-4)=0,即m=5.答案:5【解析】(1)由ab可得ab=0,(2)由于a=(1,3),b=(2,),则ab=2+3,当=120时,cos 120= 得 平方整理得132+24-12=0,解得= ,由于ab=2+30,所以0,且cos 1,因为ab=|a|b|cos 恒大于0,所以ab0,即12+30,解得- .若a平行于b,则1-23=0,即=6.但若a平行于b,则=0或=,与为锐角相矛盾,所以6.综上所述,- 且6.由为锐角,得cos 0,且cos 1,

27、【类题通法】利用向量法求夹角的方法技巧1.若求向量a与b的夹角,利用公式cos= 当向量的夹角为特殊角时,再求出这个角.2.非零向量a与b的夹角与向量的数量积的关系:(1)若为直角,则充要条件为向量ab,则转化为ab=0 x1x2+y1y2=0.(2)若为锐角,则充要条件为ab0,且a与b的夹角不能为0(即a与b的方向不能相同).【类题通法】利用向量法求夹角的方法技巧(3)若为钝角,则充要条件为ab0,且a与b的夹角不能为(即a与b的方向不能相反).(3)若为钝角,则充要条件为ab0,且a与b的夹角不能【定向训练】已知向量a=(1,-2),b=(-1,1),c=(,6),若向量a-b与c的夹角

28、为钝角,则实数的取值范围是.【定向训练】【解析】由a=(1,-2),b=(-1,1),得a-b=(1,-2)-(-1,1)=(2,-3),因为a-b与c=(,6)的夹角为钝角,所以(a-b)c0,得2-180,解得9,又由(a-b)c,得12=-3,即=-4.【解析】由a=(1,-2),b=(-1,1),此时,a-b=(2,-3),c=(-4,6)=-2(a-b),向量a-b与c的夹角为平角,所以=-4不满足题意.因此9,且-4.答案:(-,-4)(-4,9)此时,a-b=(2,-3),c=(-4,6)=-2(a-b)探究点三向量数量积的坐标公式的综合问题【典例3】在边长为1的正方形ABCD中,M为BC的中点,点E在线段AB上运动.(1)求证: 为定值.(2)求 的最大值.探究点三向量数量积的坐标公式的综合问题【思维导引】(1)利用向量的投影证明,也可以建立平面直角坐标系,利用向量的坐标计算数量积.(2)利用向