黎曼猜想被证明

1、一、什么是黎曼猜想黎曼猜想最重要的数学猜想早在1737年，大数学家欧拉就发现了质数分布问题与Zeta函数的联系，给出并证明了欧拉乘积公式，使得Zeta函数成为研究质数问题的经典方法。np欧拉乘积公式，其中p为质数，n为自然数黎曼猜想(RiemannHypothesis)由大数学家黎曼在1859年首次提出，讨论黎曼Zeta函数的非平凡解问题。黎曼猜想是众多尚未解决的最重要的数学问题之一，被克雷数学研究所列为待解决的七大千禧问题，悬赏百万美金证明或者证伪。一百年前希尔伯特就曾被问过一个问题“假定你能死而复生，你会做什么？”，他的回答是，“我会问黎曼猜想是否已经解决”。可见黎曼猜想多么吸引人黎曼猜想

2、是关于黎曼Zeta函数的零点分布的猜想。黎曼Zeta函数长这个样子：黎曼Zeta函数有两种零点，一种是位于实数轴线上的零点，被称为平凡零点，另一种是位于其他复平面区域上的零点，被称为非平凡零点，目前数学家已经证明这些非平凡零点全部位于实部区间为0到1的复平面内，而黎曼则大胆猜想，这些非平凡零点全部位于实部为1/2的一条直线上。“所有非平凡零点都位于实部为1/2的直线上”是一个尚未得到严格证明的猜想，但数学家们至今找到的上万亿个非平凡零点的确都位于这条直线上，无一例外。黎曼猜想还跟幂律分布有关。我们都知道幂律分布是指其中x如果只能取123,.,n的整数，c为归一化常数，满足:pp+p(2)+_+

3、p(n)=1而这里面的就是Zeta函数，黎曼猜想就是关于这个函数的，但是a可以取复数值。黎曼猜想真的会被证明吗？质数分布没有简单规律，但质数出现的频率跟黎曼Zeta函数紧密相关。有数学家甚至认为黎曼猜想与强条件下的质数定理是等价的。目前已经验证了前1,500,000,000个质数对这个定理都成立，但至今没有完全证明。黎曼猜想得证，对质数研究、数论研究意义重大。黎曼猜想对许多数学领域都意义重大，质数分布只是其中一个。有上千个数学命题都建立在黎曼猜想为真的基础上。多数数学家认为这个猜想是正确的，如果黎曼猜想被证伪，数学体系将失去重要根基。二、黎曼猜想被证明了吗？如果这是真的，Atiyah爵士将不仅

4、获得由克雷数学研究所悬赏的一百万美金奖励，更是他个人的至高荣誉和整个数学界的狂欢。然而，根据我们目前的了解，Atiyah爵士极有可能是在自娱自乐逗大家玩黎曼函数和黎曼猜想简介大家这几天应该被动恶补了不少黎曼函数和黎曼猜想的介绍了，这里还是不厌其烦地再简单说下。首先有无穷级数Z：当s取1时，它就是调和级数1+1/2+1/3+1/4+.,算数意义上不收敛。s=2时，级数收敛于n2/6。等等。当s的取值为复数s=x+iy时,它会把复平面上的点s(x,iy)映射到另一点s(x,iy)。我们注意到这个级数要求s的实部大于1(x1),否则这个级数不收敛，也就没有我们熟悉的数值和结果。Z在复平面上的图像，R

5、e(s)1，此时图像全部分布在Re(p)=1/2线的右侧。图源3blue1brown黎曼函数是Z在整个复平面的解析延拓，将s的定义域扩展到整个复平面。(值得说明的是，解析延拓是一种非常强的约束。如果一个函数存在解析延拓，那么解析延拓的结果是唯一的。在这里z的解析延拓刚好展现出了仿佛对称的样式，而不是先做了一个对称然后把它称为解析延拓)黎曼函数在整个复平面上的图像。图源3blue1brown黎曼在提出黎曼函数时轻松地发现，当s取负偶数整数时，函数值为零，那么s=-2n(n为自然数)就被称为黎曼函数的平凡零点(平凡表示没什么难度的、很容易理解的)。同时，在解析延拓后的方程中带入s=-1，得到1+2

6、+3+4+.=-1/12；带入s=-3，得到1+23+33+43+.=1/120。这样的结果并不是我们熟悉的1+1=2那样的算数和，它只是揭示了等号左边和右边的式子有某种我们还不完全理解联系。另一些零点就没那么普通了(非平凡零点)，它们是复数，而且有耐人寻味的分布规律。黎曼在1859年论小于给定数值的素数个数论文中提出了三个命题：命题一，认为非平凡零点都位于Re(p)=0到Re(p)=1的条状区间内命题二，认为几乎所有非平凡零点都位于Re(p)=1/2的直线上，这条线也被称为临界线命题三，黎曼谨慎地猜测有可能所有非平凡零点都位于Re(p)=1/2的直线上通过图像我们也可以直观猜测黎曼函数有无穷

7、多个非平凡零点在Re（p）=1/2的直线上。图源3blue1brown大家应该还听说过黎曼函数揭示了素数的精细分布规律，限于本文作者学识有限这里暂不介绍，有兴趣的同学欢迎自行百度卢昌海的黎曼猜想漫谈。黎曼猜想证明的进度黎曼的这篇论文发表于1859年。当时的数学家不怎么喜欢发论文，他们发表的成果只是自己所有研究中的经过深思熟虑、有充足的论据支撑的一小部分。黎曼在当时也是领先于时代的数学家，以致于他的论文发表后，当时的许多数学家连他提出的命题一和二都认为只是黎曼的单方面幻想（黎曼在文中则是由非常肯定的语气提出的）。由于黎曼猜想的难度之高，数学界做出进展的速度极为迟缓，甚至有观点认为“如果黎曼是错的

8、，我们的日子反倒会好过一些”。论文发表46年后，数学界终于证明了命题一；73年后，另一位德国数学家Siegel整理黎曼仅存的手稿,让黎曼当时演算零点所用的公式重见天日（并命名为Riemann-Siegel公式），同时震惊了整个数学界，因为这一公式比73年后数学家们所用的公式还要先进；数学界也更加为黎曼的思想以及猜想的前瞻性所折服。借着这一公式,后来的数学家与计算机科学家们用计算的方法加以验证,已经验证了超过前200亿个非平凡零点都在临界线上但数学毕竟不是经验科学,这并不能证明第三个命题正确。第二个命题（几乎都位于临界线上）的证明则推进到“至少有40%的非平凡零点在临界线上”,就再也没有新的进展

9、了。黎曼猜想,尤其是命题三,仍未得到证明。零点测em值（保留到小数点后?位）11/2+14.1347251i21/2十21.0220396i:3:1/2+25.0108575i!41/2十30.4243761i51/2十32.9350615i1/2+37.5861781i71/2十40.9187190i二81/2聲43.3270732i91/2+48.0051508i1101/2十49.7738324i:111/2+52.9703214i!121/2+S&.4462476i131/2+59.3470440it141/2+6Q.8317785i151/2+65.1125440i一窥前15个非平凡

10、零点回过头来想想黎曼给出三个命题时的态度,对命题一、二,是十分肯定的预期；而命题三,他也只敢谨慎地猜测。160年过去了,数学家们几乎都相信黎曼猜想是正确的,但还没有人拿出严格的证明。对于黎曼猜想，数学界有两句调侃：“如果魔鬼与一位数学家做交易，允许他用灵魂交换一个命题的证明，那他大概率会选择黎曼猜想的证明”，以及“如果500年后黎曼活过来了，他要问的第一件事就是黎曼猜想证明了吗？”足见黎曼猜想的崇高地位。实际上，数学界已经有许多新的理论和公式是建立在假设黎曼猜想正确的基础上的，黎曼猜想一旦证明也是对他们的莫大的鼓舞。当今的数学家们直觉上就不相信Atiyah爵士经过刚才的背景介绍，大家想必对黎曼

11、猜想证明的难度已经有所感受。简单明了的证明方法如果存在，之前一百多年中的数学家，包括极具远见的黎曼本人都有极大的可能直接发现它。以近几十年来证明的重要数学猜想而言，Perelman证明Poincare猜想，三篇论文用了将近70页，而张益唐在给出孪生质数猜想的估计时也写了将近60页。而Atiyah爵士展现出来的是：一篇长度为5页的论文预印本，其中引用的介绍Todd函数的论文也只有17页。以及，介绍自己证明过程的演讲中，关于证明过程本身的PPT只有一页。HOWDOSET(s)HELPTOPROVERH?*Proofbycontradiction:bis=r(iti)-izeroof5,inthec

12、nticalstripbutno-tonthecritFcaliin号&d炉=r(iti)-i*ConvexityofthecrittealstripimplieszeroAnalytiicityofF(sat0themimpliesF(s)identkallyzero*ThisimpliesJ.(5)isidenticallvzero,therequiredcontradictionAtiyah爵士演讲中用到的一页PPT只凭证明长度，Atiyah爵士就收获了大多数数学家的质疑。另一点也引起了直觉上的质疑的是，出生于1929年的Atiyah爵士如今已经89岁高龄。纵观整个数学史，尚无一位数学家

13、在如此高龄做出这种级别的成果。Atiyah爵士虽然证明了Atiyah-Singer指标定理（被誉为上个世纪微分几何中最重要的定理）并获得了菲尔兹奖与阿贝尔奖，但一方面他是研究几何/解析几何的，黎曼猜想则属于复分析与数论，处于不同的数学领域。另一方面，据数学博士、前浙大物理学博士后回忆，“老头在几年前嚷嚷着自己证明了6维球面上没有复结构最后却不了了之”，他认为这次宣告的大新闻可能仍然是闹笑话。宣告大新闻在如今的数学界也不是稀罕事，前几日尼日利亚一位数学教授也宣布证明了黎曼猜想，浙江大学一位YinYueSha发布了一份一页长度的黎曼猜想证明，而日本数学教授望月新一宣告证明ABC猜想直到现在也尚未令

14、人信服。这不是一份严谨的证明除了直觉上对“Atiyah爵士证明了黎曼猜想”的质疑，针对证明过程本身合理性的质疑也已经出现这才是真正致命的。阅读5页的预印本以及17页的介绍Todd函数的引用论文后，他表示：事实上，老头证明的关键就是在于使用了一个他称之为弱解析函数的Todd函数。我们follow了他参考文献中的第二篇论文：THEFINESTRUCTURECONSTANT，粗粗读完论文之后，我感觉：这哪儿是论文啊，这就是一部数学史啊！在整个17页的论文中，涉及到Todd映射的核心内容在3.4。从Todd映射的构造来看，这是一个从复数到复数的映射，并且是个高度的非线性映射。他给出了一个希尔伯特空间上

15、的Clifford代数的无限张量积的弱闭包，这个弱闭包取自两个希尔伯特空间的张量积。这个希尔伯特空间上的Clifford代数的迹诱导出了闭包上的迹,这个闭包的中心通过两个同构映射的复合能和复数域同构,这样就完成了Todd映射的构造。后面又介绍了Todd多项式的构造。但是怎么利用Todd映射和Todd多项式呢？反正我是没找到。看到前面这一堆术语，估计已经有人想打我了，我就打个比方吧。说：理论上青铜能做工艺品，你给我做个后母戊方鼎。工具？略怎么做？略。老头大概就是玩了这么个把戏。他把为什么Todd映射能够用于黎曼猜想的证明给。略了，我只能表示哭笑不得。数学是一门及其注重严谨性的学科，推理过程的每一

16、步都要给出严谨的证明，尤其不能越重要的地方越略过。在贼叉看来，这个证明九成九是不行的另一位科学松鼠会的科普君XueShu（新浪微博）也给出了自己的意见。根据他的解读，Atiyah爵士假定他提出的这个弱解析函数Todd函数的某种极限等同于物理学中精细结构常数a的倒数，相当于尝试用这一描述光速、单个电子携带电荷数量、普朗克常数之间关系的物理学常数的取值解释复解析函数的非平凡零点的存在规律。虽然精细结构常数a确实有奇妙的性质，比如它的取值不依赖基本单位大小的选取，而且目前也没有找到对它的取值1/137.03599913的好的理论解释，另一方面之前也在其他问题中存在物理学方法和纯数学方法存在联系的例子

17、，但这种跨领域的强加联系，未免带来一种“用量子纠缠得出小孩感冒了可以针灸扎他妈妈”的民科感。还补充道：“（精细物理常数）上个世纪刚发现的时候，很多物理学家都想从数学角度给出一个解释和推导，但后来种种证据表明这个想法完全不靠谱，早已经被扔进了历史的垃圾堆，虽然目前依然是民科们放飞自我的重灾区。没想到这次又被Atiyah给翻出来了，还作为一个著名数学猜想证明的重要基础。其实这也倒不奇怪，因为Atiyah本人是晚年才开始正式学习物理的，他的物理直觉是臭名昭著得差。他经常突发奇想自以为发现了解决某个物理学问题的关键，从物理学家的角度看，跟网上常见的民科言论基本没什么差别。但凡有点物理学素养的人都能看出其中的荒谬。不过作为他的学生的著名理论物理学家兼数学家爱德华威腾倒是每次都细心地列出一堆理由告诉他为什么这些想法行不通。每条理由都直击要害，奈何Atiyah至今仍执迷不悟。”“数学大帝”丘成桐今天也在“数理人文”公众号发表原创文章表示“：我问过一批专家，大家都说这篇文章没有提供一般数学家要求的严格性的定理证明阿蒂亚教授的论点极为牵强，看不到它的物理或数学上的意义。有时