高中数学导数的运算法则2人教版选修(文科)

1、word教学目标：理解商的导数法则，并能进行运用教学重点：商的导数法则.教学过程一、复习：y f(x) x xy 时， 与 x 0处附近有定义，如果 x1.导数的定义：设函数在0yyxx的比（也叫函数的平均变化率）有极限即y f(x) x x无限趋近于某个常数，我们把这y /个 极 限 值 叫 做 函 数在处 的 导 数 ， 记 作， 即xx00f(x x) f(x )f/(x ) lim00 x0 x02. 导数的几何意义：是曲线y f(x)上点（x , f (x )）处的切线的斜率因此，如00y f(x)y f(x)x , f (x )x果在点 可导，则曲线0在点（）处的切线方程为00y

2、f(x ) f(x )(x x )/0003. 导函数(导数):如果函数 y f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对x(a,b)f /(x)于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数f /(x)f /(x)为函数y f(x)在开区间内的导函数，简称导数，, 称这个函数4. 求函数y f(x)的导数的一般方法：y f(xx) f(x)（1）求函数的改变量y f(xx) f(x)xx（2）求平均变化率1 / 5wordylim( )f xy/（3）取极限，得导数 xx0(x ) nx5.常见函数的导数公式：C0；nn16两个函数的和 (或差)的导数，等于这 两个函数的导

3、数的和 (或差)，即(u v) uv7两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函uv)uvuv数乘以第二个函数的导数，即二、引入新课1、法则 3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即 uuvuv(v0) vv2u(x)y f(x) v(x)证明：令，u(xx) u(x) u(xx)v(x)u(x)v(xx)y v(xx)v(x)v(xx)v(x)u(xx)u(xv(x)u(x)v(xx)v(xv(xx)v(x)，u(xx)u(x)xv(xx)v(x)xv(x)u(x)v(xx)v(x)yxx 0因为 v(x)在点

4、 x 处可导，所以 v(x)在点 x 处连续于是当时，x v(x+ ) v(x)uv(lim )vu(lim )yxxxx0limuvuvx0limv(xxv(x)x0v2x02 / 5worduvuv uy(v 0) 2即vv uuuuvuv v2说明： vv ，v； 两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导11例如，设f(x)=sinx+ ，则 x=0 处均不可导，但它x x们的和 f(x)+g(x)=sinx+cosx 在 x=0 处可导2、例子：2x x例 1 求 y=的导数.分析: 这题可以直接利用商的导数法则.(x )sinxx (sinx) 2xsinxx cosx2

5、222x(sinx)2sin x x2解：y=()=x33例 2 求 y= x2在点 x=3 处的导数.分析: 这题既要用到商的导数法则，还要用到和的导数法则.(x(x (xx 3322x(x 22解：y=(x2)22x32x(x x 6x3(x 2(x 2223 633 24162 21442y|x=3=1例 3 求 y= x cosx 的导数.分析: 3 / 5word法有不同的做法.这道题可以用两种方法来求.111xxx解法一：y=(cosx)=()cosx+(cosx)111(x1)cosxsinx x32cosxsinx22xxcosx 1cosx2xsinx2x xsinx 2 x

6、3x1xxx解法二：y=(cosx)=()1sinx x cosx x1(cosx) x cosx( x)( x)222x1xsinxx2xsinxx2 x2x xxx2xsinx2x x例4求y=cotx的导数.x)xxx)xx)2解：y=(cotx)=(x)xxxx1 x2 x x221x例5求y=3x的导数.x)x )xx )1x22x )2解：y=(3x)=24 / 5word3x x)(2x) x 2x322x )2x )2221x2x例 6 求 y=的导数.x )sinxx )(sinx)1x222(sinx)2x解：y=()2xxx )x2 x24x3x x例 7 求 y=解：y=(2的导数.(4x )x cosx(4x )(x cosx)4x33232(x cosx)2x x22)3x x cosx(4x )(2xcosxx sinx)22