初中数学最短路径问题的讨论以及解决策略

1、初中数学最短路径问题的讨论以及解决策略初中数学最短路径问题的讨论以及解决策略最短路径问题中，关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。理论依据:“两点之间线段最短，“垂线段最短，“点关于线对称，“线段的平移“立体图形展开图。教材中的例题“饮马问题，“造桥选址问题“ “立体展开图.考的较多的还是“饮马问题“.解题总思路：找点关于线的对称点实现“折转“直，利用平移把“折转“直，利用平面展开图把“折转“直，一、运用轴对称解决距离最短问题利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离。基本思路是运用轴对称及两

2、点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点倒直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同.注意：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问.1、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A, B在直线L的两侧，在L上求一点P,使得PA+PB最小。1-解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ,就是所求。根据：两点之间线段最短。2、两点在一条直线同仞I.It

3、111 i 111111111 口 111 llu 例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短.砸v解:只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小.作点A关于直线“街道.It 111 i 111111111 口 111 llu 应用1、2009年达州在边长为2 cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ,则PBQ周长的最小值为 cm 结果不取近似值.初中数学最短路径问题的讨论以及解决策略3、2009年鄂州已知直角梯轸ABCD中，AD血AB_LBC, AD二2,取最小值时，ZkA

4、PD中边AP上的高为2、20093、2009年鄂州已知直角梯轸ABCD中，AD血AB_LBC, AD二2,取最小值时，ZkAPD中边AP上的高为17D、3BC=DC=5,点P在BC上移动，则当PA+PD17D、3A、2而17C、Ax,17173、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角ZM0N内部任意一点，在ZM0N的两边 /0M, 0N TOC o 1-5 h z 上各取一点B, C,组成三角形，使三角形周长最小./ 0N解：分别作点A关于0M, 0N的对称点A ,A ；连接A , A，分别交0M, ON于点B、点C,则点B、点C即为所求分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一

5、条直线上时，三角形的周长 庆最小/ F *4、两个点在矩形内部例：已知矩形ABCD内有两个点M、N,过M击球到CD边P,然后击到BC边Q,然后到N,则小球所走的最短路线？二、利用平移确定最短路径选址通过平移，除去固定部分的长，使其余几段的和正好为两定点之间的距离。选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上.如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决.解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移

6、河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题.初中数学最短路径问题的讨论以及解决策略B在何处要与河例：如图，A。B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN,桥造才能使从A到B的路径AMNB最短？假设河的两岸是平行的直线，桥垂直B在何处要与河解：1。将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E,2 。连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。证明：由平移的性质，得BN EM 且 BN二EM, MN二CD, BD

7、CE, BD=CE,所以 A.B 两地的距：AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,假设桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB。CE,则AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在ACE 中，：AC+CEAE, AAC+CE+MNAE+MN,即 AC+CD+DB AM+MN+BN所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。例：如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。作法：作点B关于直线a的对称点点C,连接AC交直线a于点D,则点

8、D为建抽水站的位置。证明：在直线a 上另外任取一点E,连接AE.CE。BE。BD,.点B.C关于直线a 对称，点D.E在直线a 上，.DB=DC, EB二EC,AD+DB=AD+DC=AC,AE+EB=AE+EC在ACE 中，AE+EOAC,即AE+EC AD+DB所以抽水站应建在河边的点D处，摆满糖果,最短？例：某班举行晚会，桌子摆成两直条如图中的AO,BO, AO桌面上了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C摆满糖果,最短？作法：1.作点C关于直线OA的对称点点D,2。作点C关于直线OB的对称点点E,3 。连接DE分别交直线OA。OB于点M。N,则CM+MN+CN最短初中数学最短路径问题的讨论

9、以及解决策略例：如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮这一天的最短路线。作法：1。作点C关于直线0A 例：如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮这一天的最短路线。作法：1。作点C关于直线0A 的 对称点点F,2 o 作点D关于直线0B的对称点点E,3.连接EF分别交直线OA. 0B于点G. H,则CG+GH+DH最短四、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计他确定在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设案。例：一点到圆上的点的最大距离为9,最短距离

10、为1,则圆的半径为多少？(5 或 4)三、利用展开图求立体图形表面上小虫的最短路线问题。通过体图形的表面或侧面，化立体为平面，化曲线或折线为直线，利用两点之间线段最短解决问题.马，先到展开立1o台阶问题(1)如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm, 3cm和1cm, A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？析：展开图如图所示，AB=J5析：展开图如图所示，AB=J52 +122 =13cm(2)如图，在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一方体的木块，它的棱长和

11、场地宽AD平行且AD，木块的正视图是边长2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米.(精确到0.01米)分析：解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答.初中数学最短路径问题的讨论以及解决策略解：由题意可知，将木块展开，相当于是AB+2个正方形的宽,.长为2+0. 2X2=2. 4米；宽为1米.于是最短路径为：2 4+1性2。60米.2.圆柱问题、点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程将圆柱侧面展成长方形，圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽.可求出最短路程只蚂根据“两点之间(1)如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横裁面，AB二孝,BC二3, 一只蚂根据“两点之间蚁，要从A点爬行到C点，那么，最近的路程长为()A. 7 B