数学物理方程期末习题

1、合用标准2012学年第二学期数学与物理方程期末试卷出卷人：欧峥、长度为l的弦左端开始时自由，今后碰到强度为Asint的力的作用，右端1系在弹性系数为k的弹性支承上面；初始位移为(x),初始速度为(x).试写出相应的定解问题。(10分)2、长为l的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进入，设单位时间流入单位截面积的热量为q，杆的初始温度分布是x(lx)，试写出其定解问题。(10分)23、试用分别变量法求定解问题(10分)：u2u2,0 x4,t0txux00,ux40,ut02x.4、分别变量法求定解问题(10分)utta2uxxsin2xcos2x,(0 xl,t0)llu

2、(0,t)3,u(l,t)6u(x,0)3x,ut(x,0)sin41xll5、利用行波法，求解颠簸方程的特色问题（又称古尔沙问题）(10分)：2ua22ut2x2uat(x)x0uxat0(x).(0)(0)文案大全合用标准6、用达朗贝尔公式求解以下一维颠簸方程的初值问题（10分）2ua22ucosx,x,t0t2x2uutsin2x,00t0t7、用积分变换法求解定解问题（10分）：2u1,x0,y0 xyuu0y01,1,8、用积分变换法求解定解问题(10分)：2uttauxx,xR,t09、用格林函数法求解定解问题(10分)：2u2ux2y20,y0,uy0f(x),x.10、写出格林

3、函数公式（三维）及满足的条件，并讲解其物理意义。(10分)文案大全合用标准考试内容解析用数理方程研究物理问题的一般步骤；数理方程的建立(导出),包括三类典型方程的建立(导出)推导过程。这里的1,2两道题就是察看学生在实质物理背景下能否写出定解问题。这些定解问题其实不复杂，主要就是让学生认识一下。3,4两道题主要察看分别变量法的精神、解题步骤和合用范围。第3题是最基本的分别变量法的运用，分别变量法的主要思想:1、将方程中含有各个变量的项分别开来，从而原方程拆分成多个更简单的只含1个自变量的常微分方程；2、运用线性叠加原理，将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的方程；3、利用高数知识、级数求解知

4、识、以及其他巧妙方法，求出各个方程的通解；4、最后将这些通解“组装”起来。第4题是非齐次方程，主要察看学生对非齐次方程的办理能力。5，6两道题是察看行波法。第5题就是书本中一维颠簸方程的DAlembert公式的推导，是最最基础的东西，在这里察看学一生常的基础，题目不难但是能很好的察看学生对行波法的理解。第6题察看了DAlembert公式的应用，同时又由于方程式非齐次的，也察看了方程的齐次化。第7,8两道题是对积分变换法的察看。第7题是对拉普拉斯变换的察看拉普拉斯变换的基本看法以及常有函数的拉普拉斯正变换；利用拉普拉斯变换的基本定理，拉普拉斯变换表以及部分分式张开法对常有函数进行拉普拉斯反变换。

5、第8题主要察看傅里叶变换的基本定理及其性质。9,10两道题是察看格林函数法。第9题有些难度，是一道二维拉普拉斯的狄利克雷问题，主要察看对第二格林公式的理解及其应用。第10题看似比较简单，但是也是大家比较简单忽略的问题，不用然能将其完满的解答。这里还要求你写出其物理意义，妄图自然不言而喻了，就是想表现数学物理方程这门课的意义,将数学与物理结合起来，认识古典方程的种类，理解其物理意义和现象。文案大全合用标准答案及解析1、解:这是弦的自由振动，其位移函数u(x,t)满足utta2uxx,（2分）其中a2T.由于左端开始时自由，今后碰到强度为Asint的力的作用，因此ux(0,0)0,Tux(0,t)

6、Asint0,t0,因此Asint（2分）ux(0,t),t0.T又右端系在弹性系数为k的弹性支承上面，因此Tux(l,t)ku(l,t)0,即Tux(l,t)ku(l,t)而初始条件为ut0(x),utt0(x).因此，相应的定解问题为utta2uxx,0 xl,t0,ux(0,t)Asint,Tux(l,t)ku(l,t)0,t0.Tut0(x),utt0(x).2、解：侧面绝热，方程为uta2uxx,0 xl,t0界线条件为ux00,uxxlq,t0k初始条件为ut0 x(lx),0 xl2因此，相应的定解问题为：uta2uxx,0 xl,t0ux00,uxxlq,t0kut0 x(lx

7、),0 xl2（2分）（2分）（2分）（3分）（3分）（3分）（1分）文案大全合用标准3、解令u(x,t)X(x)T(t)（2分），代入原方程中获取两个常微分方程：T(t)T(t)0，X(x)X(x)0（2分），由界线条件获取X(0)X(4)0，22n220时才有非零解，令42为对的情况谈论，只有当，获取Xn(x)Bnsinnn22t(1分)，再解T(t)，获取Tn(t);16特色值，特色函数4Cne（2n22tsinnx,u(x,t)(Cne16分），于是n14（1分）再由初始条件获取Cn24n161)n142xsinxdx(（104n分），因此原定解问题的解为16n22tu(x,t)(1)

8、n1e16n1nsinnx,（1分）4、解：令u(x,t)V(x,t)W(x)（1分）将其代入定解问题可以获取：Vtta2Vxx,(0 xl,t0)V(0,t)0,V(l,t)0.(1)V(x,0)31xW(x),Vt(x,0)sin4xlla2W(x)sin2xcos2x0ll(2)W(0)3,W(l)6l2sin4x31x(2)的解为：W(x)2232all关于(1)，由分别变量法可得一般解为（1分）（1分）（2分）V(x,t)ancosnatbnsinnatsinnx（2分）n1lll由初始条件可求得：V(x,t)l24al4at4x分)322a2costsinsin(2l4all文案大

9、全合用标准因此，原定解问题的解为：l22cos4atlsin4atsin4xl2sin4x31xu(x,t)2a2a232l4all32ll(1分)5、解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)（2分）令x-at=0得(x)=F（0）+G（2x）（2分）令x+at=0得(x)=F（2x）+G(0)（2分）因此F(x)=(x)-G(0).G（x）=(x)-F(0).（2分）22且F（0）+G(0)=(0)(0).（1分）因此u(x,t)=(xat)+(xat)-(0).（1分）22即为古尔沙问题的解。6、解令u(x,t)v(x,t)w(x)(1分)，代入原方程中，将方程齐次化，因此2va2

10、2vw(x)cosxa2(x)cosx0w(x)1cosxt22wa2(2分)，再求x2va22v0t2x2,tvsin2x12cosxw(x),v0,定解问题t0att0(2分)由达朗贝尔公式得到以上问题的解为v(x,t)1sin2(xat)12cos(aat)sin2(xat)12cos(xat)02aasinxcosat1cosxcosata2(4分)故u(x,t)sinxcosat1cosxcosat1cosx.a2a2(1分)7、解对y取拉普拉斯变换Lu(x,y)U(x,p)(1分)，对方程和界线条件同时对文案大全合用标准pdU1,Ux011y取拉普拉斯变换获取dxpp2p(3分)，

11、解这个微分方程获取U(x,p)1x11u(x,y)yxy1p2p2p(3分)，再取拉普拉斯逆变换有(2分)因此原问题的解为u(x,y)yxy1.(1分)8、解：关于初值问题关于x作Fourier变换，得：2?22?du(,t)a,t),xR,t0dt2u(（2分）?(,0)0u(,0)F(sinx),ut该方程变为带参数的常微分方程的初值问题。解得?C1ejatC2ejat（2分）u(,t)于是u?(,0)F(sinx)C1C2,u?t(,0)ja(C1C2)0（2分）则由C1C21?1F(sinx)(ejatejat)。（2分）2F(sinx)，得：u(,t)2作像函数u?(,t)的Four

12、ier逆变换u(x,t)F1?,t)11F(sinx)(ejatejat)1sin(xat)sin(xat)u(F22sinxcosat（2分）9、解：设M0(x0,y0)为下半平面中任意一点。已知二维调停函数的积分表达式为u(M0)1(u(M)(ln1)ln1u)dS(1分)2nrMM0rMM0n设v为调停函数，则由第二格林公式知(u2vv2u)d(uvvu)dS0（2）nn（1）（2）可得u(M0)u(M)(v1(ln1)dS(1ln1v)udS(2分)n2nrMM02rMM0n若能求得v满足文案大全合用标准2v0,y0vy01ln1（3）2rMM0y0则定义格林函数G(M,M0)1ln1v，则有2rMM0u(M0)u(M)GdSn(2分)由电象法可知，M1(x0,y0)为M0(x0,y0)的象点，故可取v1ln12rMM1(1分)显然其满足（3）。从而可得格林函数G(M,M0)1ln11ln12rMM02rMM1GG11ln11(yy0)(yy0)(ln)(yy0)2(xx0)2(yy0)2ny2yrMM0rMM12(xx0)2(3分)故而u(M0)u(M)G1y02f()d(1分)dS(x0)2ny010、解：（1）格林函数公式（三维）为：G（M，M0）=1g（M，M0）M（2分）4rM