高中数学新课程创新教学设计案例-点到直线的距离

1、24 点到直线的距离 教材分析点到直线的距离是解析几何的重要内容之一，它的应用十分广泛点到直线的距离是指由点向直线引垂线的垂线段的长我们知道，求点到点的距离，有“工具”两点间的距离公式可用，同样有必要创造出一套“工具”来方便地解决点到直线的距离问题，也就是说：已知点P（x1，y1）和直线l：AxByC0，（A，B不全为0），目标是设法用已知的量x1，y1，A，B，C把点P到l的距离表示出来，当作公式用教材上公式的推导运用了两点间的距离公式，具体做法是作直线m过点P与l垂直，设垂足为Po（xo，yo），Po满足直线m的方程，也满足直线l的方程，将Po的坐标分别代入直线m和直线l的方程，通过恒等变

2、形利用两点间的距离公式，推出点到直线的距离公式这种方法思路清晰，学生易于接受，但恒等变形较抽象，学生难于掌握，故教学中应注意启发学生怎样想到这样变形这样既可以活跃学生的思维，又可以锻炼其发现问题、研究问题、解决问题的能力公式的推导方法还有很多，对学有余力的同学可加以启发，展开讨论，以培养其数学思维能力这节课的重重点是理理解和掌掌握点到到直线的的距离公公式，并并能熟练练地应用用公式求求点到直直线的距距离，难难点是点点到直线线的距离离公式的的推导教学目标1. 通过过探索点点到直线线距离公公式的思思维过程程，培养养学生探探索与研研究问题题能力2. 理解解和掌握握点到直直线的距距离公式式，体会会知识发

3、发生、发发展、运运用的过过程，数数形结合合、化归归和转化化的数学学思维，培培养学生生科学的的思维方方法和发发现问题题、解决决问题的的能力任务分析这节课是在在学习了了“两点点间的距距离公式式”、“两两条直线线的位置置关系”的的基础上上引入的的，通过过复习两两直线垂垂直、两两直线相相交及两两点间的的距离公公式，学学生容易易想到把把点到直直线的距距离问题题转化为为两点间间的距离离问题为了利利用两点点间的距距离公式式，须要要求垂足足的坐标标若利利用垂线线与已知知直线相相交解出出垂足的的坐标，想想法自然然，但求求解较繁繁，为了了简化解解题过程程，自然然要想其其他方法法，教材材采用了了设而不不求，整整体代

4、换换来解决决问题，简简单明了了，但恒恒等变形形较难，因因此，通通过分析析两点间间的距离离公式与与点到直直线距离离的联系系和区别别，找到到恒等变变形的思思路是解解决问题题的关键键本课课通过观观察、分分析掌握握两点间间距离公公式的特特点，总总结应用用两点间间距离公公式的步步骤；通通过例题题和练习习使学生生掌握并并能应用用两点间间距离公公式解决决有关问问题；通通过探索索和研究究有关问问题培养养学生的的数学思思维能力力教学设计一、问题情情境1. 某供供电局计计划年底底解决本本地区一一个村庄庄的用电电问题，经经过测量量，若按按部门内内部设计计好的坐坐标图（以以供电局局为原点点，正东东方向为为x轴的的正半

5、轴轴，正北北方向为为轴的的正半轴轴，长度度单位为为km），则则这个村村庄的坐坐标是（115，220），它它附近只只有一条条线路通通过，其其方程为为3x4y100问问：要完完成任务务，至少少需要多多长的电电线？这实际上是是一个求求点到直直线的距距离问题题，那么么什么是是点到直直线的距距离，如如何求村村庄到线线路的距距离呢？2. 在学学生思考考讨论的的基础上上，教师师收集学学生各种种的求法法，得常常见求法法如下：（1）设过过点P（115，220）与与l：33x44y11000垂直的的直线为为m，易易求m的的方程为为4x3y12000由解得即m与与l的交交点由两点间的的距离公公式，得得故要完成任任务

6、，至至少需要要9kmm长的电电线（2）设直直线l：3x4y100与xx轴的交交点为QQ，则QQ（，00）在在直线ll上任取取一点MM（0，），易易让向量量（，）与向向量n（3，4）垂垂直设向量与向向量n的的夹角为为，点点P到直直线l的的距离为为d，由由向量的的数量积积的定义义易知（3）设过过点P（115，220）与与l：33x44y11000垂直的的直线为为，易易求的的方程为为4（xx155）33（y20）0设垂足为PPo（xo，yo），则则4（xxo155）33（yoo200）00，又因为点PPo在l上上，所以以3xoo4yyo1000，即即3xoo4yyo100，而315542010311

7、5442003xxo4yyo33（xoo155）44（yoo200），即3（xoo155）44（yoo200）445 把等式和和等式两边相相加，得得25（xxo155）2（yoo200）24452，（xo15）2（yo20）2，3. 教师师展现学学生们的的求法，师师生共同同点评各各种求法法，得出出：求垂垂线与直直线的交交点坐标标，再用用两点间间的距离离公式使使问题得得解，想想法虽自自然，但但计算量量较大；不求垂垂足的坐坐标，设设出垂足足的坐标标代入直直线方程程，进而而通过等等式变形形，利用用两点间间的距离离公式求求得结果果，想法法既巧妙妙，又简简单明了了二、建立模模型设坐标平面面上（如如图24

8、4-1），有有点P（xx1，y1）和直直线l：AxByC00（A，BB不全为为0）我们来寻求求点到直直线l距距离的算算法作直线m通通过点PP（x11，y1），并并且与直直线l垂垂直，设设垂足为为P0（x0，y0）容容易求得得直线mm的方程程为B（xxx1）AA（yy1）00由此得B（xx0 x1）AA（y00y1）00由点P0在在直线ll上，可可知Axx0Byy0C0，即CAAx0Byy0所以Ax11Byy1CAx11Byy1Axx0Byy0，即A（x11x0）BB（y11y0）AAx1Byy1C把等式和和两边平平方后相相加，整整理可得得（A2BB2）（xx1x0）2（yy1y0）2（AAx1

9、Byy1C）22，即（x1x0）2（yy1y0）2容易看出，等等式左边边即为点点P（xx1，y1）到直直线l距距离的平平方由由此我们们可以得得到点PP（x11，y1）到直直线l的的距离dd的计算算公式：归纳求点PP（x11，y1）到直直线l：AxByC00的距离离的计算算步骤如如下：（1）给出出点的坐坐标x11和y1赋值（2）给AA，B，CC赋值（3）计算算注意：（11）在求求点到直直线的距距离时，直直线方程程要化为为一般式式（2）当直直线与xx轴或yy轴平行行时，公公式也成成立，但但此时求求距离一一般不用用公式三、解释应应用例题1. 求点点P（1，22）到下下列直线线的距离离：l1：2xxy

10、5，ll2：3xx2注意：规范范解题格格式2. 求两两平行直直线l11：AxxByyC110，ll2：AxxByyC22，（CC1C2）之间间的距离离分析：求两两条平行行线间的的距离，就就是在其其中一条条直线上上任取一一点，求求该点到到另一条条直线的的距离解：在l11上任取取一点PP（x11，y1），则则Ax11ByyCC1，点PP到l22的距离离d3. 建立立适当的的直角坐坐标系，证证明：等等腰三角角形底边边上任一一点到两两腰的距距离之和和等于一一腰上的的高解：以等腰腰三角形形底边所所在的直直线为xx轴，底底边上的的高所在在的直线线为轴轴，建立立直角坐坐标系（如如图244-2）不妨设底边边A

11、BB22a，高高OCCbb，则直直线ACC：即bxaayaab00；直线BC：，即bbxaayaab00，点B（aa，0）在线段ABB上任取取一点DD（m，00），则ammad1dd2，即等等腰三角角形底边边上任一一点到两两腰的距距离之和和等于一一腰上的的高练习1. 求下下列点到到直线的的距离（1）0（00，0），ll1：3xx4yy50（2）A（11，0），ll2：xyy00（3）B（11，2），ll3：3xxy0（4）C（2，33），ll4：y7002. 求两两条平行行直线22x33y880和和2x3y180之间间的距离离3. （11）求过过点A（1，22），且且与原点点的距离离为的直直线

12、方程程（2）若点点P（xx，y）在在直线xxy400上，OO为原点点，求OOP的最最小值（3）若ABC的的三顶点点分别为为A（77，8），BB（0，44），CC（2，4），求求ABCC的面积积（4）求点点P（00，1）关关于直线线x22y110的的对称点点的坐标标（5）求直直线2xx111y11600关于点点P（00，1）对对称的直直线方程程四、拓展延延伸1. 点到到直线的的距离公公式应用用非常广广泛，你你能举例例说明它它在解决决实际问问题中的的应用吗吗？2. 点到到直线的的距离公公式的推推导方法法有很多多，对学学有余力力的同学学可探索索其他推推导方法法，下面面介绍两两种常见见的推导导方法（1

13、）如图图，已知知点P00（x0，y0），直直线l：AxByC00，求点点P0到直线线l的距距离不妨设A0，BB0，这这时l和和x轴、yy轴都相相交过过点P00作直线线l的垂垂线，交交l于QQ令P0Qd，过过P0作x轴轴的平行行线交ll于R（xx1，y0），作作y轴的的平行线线交l于于S（xx0，y2）由Ax1By00C0，AAx0Byy2C0得易证A00或B0，公公式也成成立（2）点到到直线的的距离公公式也可可用向量量的知识识求得，此此法更能能体现出出代数与与几何的的联系，比比其他方方法更简简单，直直观，易易懂求求法如下下：如图244-4，证证明向量量n（AA，B）与与直线ll垂直不妨设A0，直直线l与与x轴的的交点是是Q（，0）如果P1（xx1，y1）是直直线l上上不同于于Q的点点，则AAx1Byy1C0A（x11）BB（y110）0，即（A，BB）（xx1，y10）0，向量n（A，BB），与与向量（x11，y10）垂垂直，即即向量nn与直线线l垂直直求点P00到直线线l的距距离d由数量积的的定义，如如果向量量与向量量n的夹夹角为，那么么易证当A0或BB0时时，公式式也成立立点评这节课首先先通过实实例阐述述了点到到直线距距离的产产生背景景，并通通过学生生思考讨讨论，归归纳和概概括出