金融时间序列分析

1、金融时间序列分析第一章绪论第一节时间序列分析的一般问题人们在日常生活和工作中会遇到大量的金融数据，如存款的利率、股票的价格、债券的收益等等，例某支股票的价格。如何从这些数据中总结、发现其变化规律，如何从这些数据中总结、发现其变化规律，从而预测或控制现象的未来行 从这些数据中总结 为，这就是时间序列分析这门课程 所要研究的问题。研究方式数据建立模型预测数据数据的类型。横剖面数据：由若干现象在某一时点上所处的状态所形成的数据，称为横剖面数据，剖面数据，又称为静态数据。它反映一定时间、地点等客观条件下诸现象之间存在的内在数值联系。例如，上海证券交易所所有股票在某一时刻的价格；某一时刻全国各省会城 市

2、的温度，都是横剖面数据；研究方法：多元统计分析。纵剖面数据：由某一现象或若干现象在不同时点上的状态所形成的数据，称为纵剖面数据，纵剖面数据，又称为动态数据。它反映的是现象与现象之间关系的发展变化规律。例如，南京市1980年至2005年每年末的人口数；上海证券交易所所有股票在一年中每个周末收盘价，都是纵剖面数据研究方法：时间序列分析时间序列概念时间序列概念。时间序列：简单地说，时间序列就是按照时间顺序排成的一个数列，其中每一项的取值是随机的。严格的时间序列的定义需要随机过程的概念。设（，3 , P）1一个概率空间，其中是样本空间，3 是 上的（T代数,P 是 Copyright: Rongbao

3、 Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006金融时间序列分析上的概率测度。 又设T是一个有序指随机过程。标集。概率空间（,3 , P上的随机变量 X t : t T的全体称为随机过程。随机过程。注：指标集T可以是连续的也可以是离散的，相应地，随机过程也有连续和离散之分。定义：定义：若t i是R中的一个离散子集，则称随机过程 X t : t t i = X ti 是 一个 时间序列。简言之，一个离散随机过程被称为一个时间序列。注：1、从统计意义上说，时间序列是一个统计指标在不同时刻上的数值，按照

4、时间顺序排成的数列，由于统计指标数值受到各种偶然因素影响，因此这数列表现出随机性。2、从系统论上说，时间序列是某一系统在不同时刻的响应，是系统运行的历史行为的客观记录。时间序列的特点：（1）序列中的数据依赖于时间顺序；（2）序列中每个数据的取值具有一定的随机性；（3）序列中前后的数值有一定的相关性-系统的动态规律 （4）序列整体上呈现某种趋 势性或周期性。研究时间序列的意义通过对时间序列的分析和研究，认识系统的结构特征（如趋势的类型，周期 波动的周期、振幅，等等） ；揭示系统的运行规律；进而预 测或控制系统的未来 行为，或修正和重新设计系统（如改变参数、周期等）按照新的结 构运行。时间序列分析

5、根据时间序列所包含的历史行为的信息，寻找相应系统的内在统计特征和发时间序列分析。展变化规律性的整个方法，称为时间序列分析注：时间序列分析是一种根据动态数据揭示系统动态结构和规律的统计方法，是统计学的一个分支。时间序列分析的类型（详见P7）。确定性时序分析：设法消除随机型波动，拟合确 定型趋势，形成长期趋势 分析、季节变动分析和循环波动测定的时间序列分析方法，称为确定性时序分析。随机时序分析：对许多偶然因素共同作用的随机型波动，运用随机理论来 研究分析，找出其中的规律性， 称为随机时序分析 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing Uni

6、versity of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 第二节 歹U的 预测技术第二节时间序列的预测技术本课程主要研究诸如资产收益率等金融时间序列， 这些时间序列具有一些典型特征。 时间序列的预测技术就是通过对预测目标自身时间序列的分析处理来研究其变化趋势。时间序列的基本变动。长期趋势变动：指序列朝一定方向持续上升或持续下降，或停留在某一水 平上的倾向。 例如，1950年至2000年我国人口数一直保持增长的趋势；2000年至2005年人口数量稳定在13亿。季节变动：指在一年或更短的时间内，由某种固定周期性因素（如自然、生产、消费等季节性因素）的影响而呈现

7、出有规律的周期性波动。例如，雅戈尔西服的销售量在春秋两季较高，而在冬夏两季较低。循环变动：指周期为一年以上，由非季节因素引起的涨落起伏波型相似的 波动。 例如，经济的过热或经济的萧条；股票市场大约每四年一次的牛 市等。不规则变动：由许多不可控的偶然因素(如战争、自然灾害或其它社会因素等)和随机变动(即由大量随机因素产生的宏观影响)所共同作用的结果例如，黎巴嫩今年的经济因以色列突然入侵而蒙受重大损失；我国7月份福建、浙江因台风遭受重大损失等。 几种常见的预测模型几种常见的预测模型如果在预测时间范围以内，无突然变动且随机变动的方差b2较小，并且有 理由认为过去到现在的历史演变趋势将继续发展到未来，

8、 可以用如下一些经验方法来进行预测。简单预测模型：用现象的现在值作为其下一时刻的预测值，即xt +1 = xt。移动平均模型(滑动平均，Moving Average Model ):当预测目标出现某些不规则的变化，如特大值或特小值，用简单预测法将会产生较大偏差，可以用前一段时间的观察值的平均数来削弱不规则变化对预测的影响。设观察值序列 x1 , x 2 , x n , 一次移动平均模型为 x (1) t = 1 ( xt + xt 1 + xt ( n 1) ) nCopyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of F

9、inance and Economics, 2006 金融时间序列分析我们用此值作为下一时刻的预测值，即令xt +1 = xt。注：1、移动平均的特点是修匀”原序列中的某些不规则变化而使之平滑化，并使趋势倾向更加明显。2、当预测目标的基本趋势是在某一水平上下波动时，可以用移动平均模型来作预测。3、当预测目标的基本趋势与某一线性模型相吻合时，常采用二次移动平均模型，即 1 (1) x ( 2) t +1 = x ( 2) t = ( xt + x (1) t 1 + x (1) t ( n1) ) 。 n 4、当预测目标同时存在线性趋势和周期波动时，可用趋势移动平均模型xt + j = at +

10、 bt j , j = 1,2, 其中：at = 2 x (1)t x ( 2 )t , bt = 2( xt x ( 2) t ) , n为周期长度。该模型在数n 1据处理中常用来作为预处理，消除周期波动和减弱随机干扰的影响往往是有效的。指数平滑型(Exponential Smoothing Model ):观察移动平均模型可知，我们实际上是作 了以下两个假定：(1)下一期的预测值只与前n期的历史数据有关，而与前 n期以前的历史 记录无关；(2)前n期的历史数据对预测值的影响是相同的，即都加权数1 n。然而，这两条假定是存在一定缺陷的：假定(1)限制我们不能充分利用数据带来的信息；假定(2)

11、与实际情况不相符合，因为一般说来距离预测期越远的数据对预测的影响应当越小。为了克服移动平均模型的缺点，更好地符合实际情况，我们应当对各期的观察值依时间的顺序进行加权平均来作为预测值。设观察值序列为x1 值依时间的顺序进行加权平均来作为预测值。设观察值序列为x1 , x 2 , , x n ,移动平均模型有1 ( xt + xt 1 + xt ( n 1) ) n 1 1 1 = xt + ( xt 1 + xt ( n 1) + xt n )xt n n n n 1 1 = xt + x (1) t 1 xt n n n 1 如用 x (1) t 1 代替 xt n ,并记 a =,则上式可

12、以写成n x (1) t = x (1) t =+ (1 a xt ) xt1 一般地，一次指数平滑模型为S (1 ) t =ax t+ (1 a ) S (1 ) t 1 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance andEconomics, 2006金融时间序列分析其中a ( 0 a 1为加权系数。利用上述递推公式，我们可以进一步得到St (1) =o+xt1a ) ax+ 11a) S (1) t 2 = t + a o(1 a) xt1 + (1 a) 2 2 xt (1 a) S (1

13、) t 3 = = a 汇(1) j xt j j =0 法：1、上式中加权系数呈指数函数衰减，加权平均能消除或减弱随机干扰的影响。2、指数平滑模型是以当前时刻t为起点，综合历史数据的信息，来对未来进行预测的。其中加权系数a的选择是提高预测精度的关键。根据经验，a的取值范围一般为 一。3、类似地，我们也有如下的二次、三次平滑公式，等等 St St ( 2) = aS (1) + (1a) S ( 2) t 1 , = aS ( 2)+ (1 a)S (3) t 1 ( 3)加权系数 a的作用：由一次指数平滑公式有(1) xt +1 = S (1) t = S (1) t 1+ a(xt S (

14、1) t 1 ) = x (1) t + a ( xt x (1) t )其中最后一个括号表示对上期预测误差的修正，因此，a的大小反映了对上期预测误差修正的幅度的大小反映了对上期预测误差对上期预测误差修正的幅度a值越大，加权系数的序列衰减速度就越快，采用的历史数据就越少。由此可以 得到a取值的一般原则： (1)如果序列的基本趋势比较稳，预测偏差由随机因素造成，则 a值应取小些，以减少修正幅度，使预测模型包含更多历史数据的信息；(2)如果预测目标的基本趋势发生系统变化，则a值应取大些，可以偏重新数据的信息队原来模型进行大幅度修正，以使预测模型适应预测目标的新变化。金融时间序列及其特征 第三节 金

15、融时间序列及其特征金融时间序列分析 研究的是资产价值随时间演变的理论和实践。它是一个带有高度经验性的学科，但也像其它科学一样，理论是形成分析推断的基础。然而，金融时间序列分析有一个区别于其它时间序列分析的主要特点：金融理论及其经验的时间序列都包含不确定因素。例如，资产波动率有各种不同的定义，对 一个股票收益率序列，波动率是不能直接观察到的。正因为带有不确定性，统计理论和方法在金融时间序列分析 中起重要作用。Copyright: Rongbao Gu, School ofFinance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006金融时间序

16、列分析资产收益率多数的金融研究是针对资产收益率而不是资产价格。Campbll, Lo 多数的金融研究是针对资产收益率而不是资产价格。Campbll, Lo 和 MacKinlay (1997)给出了两个使用收益率的主要理由：第一，对普通的投资者来说，资产收益率的高低完全反映了投资机会的大小；第二，收益率序列比价格序列有更好的统计性质，因而更容易处理。 设Pt是资产在t时刻的价格，假定资产不支付分红。单周期简单收益率若从第t 1天到第t天这一个周期持有某种资产，则单周期的简单毛收益率单周期的简单毛收益率 定义为1 + Rt = Pt Pt 1或Pt = Pt 1 (1 + Rt )对应的单周期简

17、单净收益率或称简单收益率 为Rt = Pt P Pt 1 1 = t Pt 1 Pt 1 。多周期简单收益率若从第t k天到第t天这个k个周期内持有某种资产，k周期简单毛收益率则 定义为1 + Rt k = Pt P P P=t xt 1 xtk +1 Pt k Pt 1 Pt 2 Pt k k 1 j =0 = (1 + Rt )(1 + Rt 1 )(1 + Rt k +1 ) =口(1 + Rt j ) k周期简单毛收益率也称为复合收益率。由上式可见，k周期简单毛收益率恰是k个单周期简单毛收益率的乘积k周期简单净收益率为Rt k = Pt P Pt k 1 = t Ptk Pt k注：在

18、实践中，实际的时间区间对讨论和比较收益率很重要的，例如是月收益率还是年收益率。若时间区间没有明确给出，那么一般认为隐含假定时间区间为一年。如果持有资产年限为 k年，则年度化的平均收益率定义为k 1 年度化的Rt k = H Rtj ) j =0 即为k个单周期简单毛收益率的几何平均。1 k 1 Copyright: Rongbao Gu, Schoolof Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析由于算术平均要比几何平均容易计算，所以年度化的平均收益率也可以用算术平均来表示为：1k 1 年度化的Rt

19、k = exp + IRtln(j1) 1 k j =0 注意到单周期收益率一般很小，利用一阶Taylor展开式e x =+l x与ln(1 + x)x年度化的平均收益率又可以进一步近似 地表示为：年度化的Rt k 1 k 1 口 R= 0。连续复合收益率连续复合的含义：例 假定银行存款白年利息为10%,最初存款为1美元。假如该银行每年支付一次利息，那么一年之后存款的额度变为1+=美元。假如该银行每半年支付一次利息，六个月的利息率是10%/2=5%,第一年之后存款的额度为1(1 + / 2) 2 = 美元。一般地，假如该银行一年支付 m次利息，那么每次支 付的利息率为 10%/m , 一年后存

20、款的额度变为1(1 + /m) m美元。下表给出一些常用的时间间隔下年利率为10%时存款1美元的结果 类型支付次 数 每周期 利率 净值(美 元)一年1 半年2 季度4 月12 周52 52 天365 365 连续地无穷多可见，净值趋于exp，这个值就是连续复合的结果。一般地，连续复合的净资产值为：A = C exp(r x同中r是年利率，C是初始资本，n是年数。由此式我们可以得到C = A exp( r x称为n年后价值为 A的资产的现值 连续复合收益率：资产的简单毛收益率的自然对数称为连续复合收益率或 对数收益率(log-return ) : Copyright: Rongbao Gu,

21、School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析rt = ln(1 + Rt ) = ln Pt = pt pt 1 Pt 1 其中 pt = ln Pt注：连续复合收益率rt与简单净收益率 Rt比较有一些优点：1、对多周期收益率，我们有 rt k = ln(1 + Rt k ) = ln(1 + Rt )(1 + Rt 1 )(1 + Rt k +1 ) = ln(1 + Rt ) + ln(1 + Rt 1 ) + ln(1 + Rt k +1 ) = rt + rt 1 + rt k

22、 +1即，连续复合多周期收益率恰是各连续复合单周期收益率之和2、对数收益率有更容易处理的统计性质。3、根据泰勒公式，我们有如下有关系式ln Pt P Pt 1 P Pt 1 = ln(1 +t )t Pt 1 Pt 1 Pt 1即毛收益率的对数近似等于 净收益率。资产组合收益率由N个资产组成的一个资产组合的简单净收益率是它所包含的各资产的简单净收益率的加权平均，其中每个资产的权重是资产组合的总价值中该资产的价 值所占的百分比。设p是一个资产组合，其在资产i上的权重为 3 i ,那么p在时刻t的简单收益R p ,t = X Rit , i =1 N其中Rit是资产i的简单收益率。 收益率分布的假

23、定收益率分布的假定分布。正态分布 金融研究中传统的假设是：简单收益率Rit | t = 1, T 是相互 独立的，且都服从一个固定均值为、方差为d 2的正态分布。这个假设使得资产收益率的统计性质变得可以处理，但它遇到几个麻烦：第一，简单资产收益率的下界为-1,而正态分布的支撑是没有下界，它可以取到实直线上的任何值；第二，如果 Rit是正态分布的，那么多周期的简单收益率Rit k 就不是正态分 布的，因为它是单周期收益率的乘积；第三，经验结果不支持正态性假设，很多资产收益率数据表明它具有正的超出峰度，即具有厚尾性。Copyright: Rongbao Gu, School ofFinance,

24、Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 。对数正态分 布 金融研究中另一个常用的假设是：资产的对数收益率 rt是 相互独立的，且都服从一 个均值为、方差为 b2的正态分布。此时，简单收益率Rt就是独立同分布的对数正态的随机变量，由Rt =exp rt ,容易计算得到Rt的均值和方差分别为E ( Rt ) = exp(+(t2 2 )1, Var ( Rt ) = exp(2 +2 )exp(r12这两个式子在研究资产收益率是有用的。如果简单收益率 Rt服从对数正态分布，均值和方差分别为m1 , m2 ,通过计 算可以

25、得到其对数收益率rt的均值和方差分别为m1 + 1 E (rt ) = ln m2 1+ (1 + m1 ) 2,m2 Var (rt ) In 1 + 2(1 + ml ) *第四节 随机变量的矩 第四节 随机变量的矩 最近的理论研究和实证结果表明：对收益率的两个传统假定并不成立，即收益率序列并不是服从正态分布的，实际上它存在着尖峰厚尾现象。为描述这一现象，我们需要下面矩的概念。随机变量的矩设连续型随机变量X的密度函数为 f (x),则X的l阶矩定义为ml = E ( X l ) =8 8 /xH阶熊狗汕 X的均值 或 期望，它表示的是分布的中心位置， 记为 x X的l阶 中心矩 定义为 m

26、l = E( X x ) l =00 00 JX )(Xf ( x)dx二阶中心矩称为X的方差，它表示 X取值变化的程度，记为b2 x。方差的算术根Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析b x称为X的标准差注：1、三阶中心矩度量X关于其均值的对称性；四阶中心矩度量 X的尾部。X的偏度(skewness)定义为标准化的三阶矩，即(X x )3S ( x) = E 3 (rx X的峰度(kurtosis)定义为标准化的四阶矩，即(X x

27、)4 K ( x) = E4 b x量K ( x) 3称为超出峰度，具有正的超出峰度的分布称为具有厚尾性。注：2、所谓 超出峰度”是以正态分布为标准比较而言的。正态分布的峰度 K ( x) = 3 ,故其超出峰度为0。分布具有 厚尾性”意即该分布在其支撑 的尾部有比正态分布更多的 质量”。在实际中，这意味着来自于这样一个分布的随机样本会有更多的极端值。注：3、在应用中，偏度和峰度可以由它们对应的样本偏度和样本峰度来估计。设x1 , x 2 , , xT 是X的T个观察值的随机样本，样本的均值为 x = 1 T 汇xt T t =1本方差为(T 2x = 1 T汇(xt x ) 2 T 1 t

28、=1样本偏度为S ( x) = 1 (T 1) b 3 x 汇(x t不3 T x )样本峰度为 K ( x) 3 = 1 (T 1) b 4 x 汇(x t =1 4 tx ) 注：在正态分布假定下， S ( x)和 K ( x) 均渐近正态分布，均值为零，而方差分别为6 / T和24 / T。 (参见 SnedecorheCochran(1980),)注：4、类似地，我们也可以给出离散随机变量的偏度和峰度的定义。Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 200

29、6 金融时间序列分析第二/三线性时间序列模型第二三章线性时间序列模型时间序列列的一个重要特征是它的前后数据之间具有相关性，这反映系统的现在行为与历史行为是有关联的，也就是说系统对过去行为具有记忆性，也叫 做系统的动态性。 记忆性(动 态性) 记忆性(动态性) 。记忆性 指某一时刻进入系统的输入对系统后继行为的发生 影响的性质。 输入 系统 输出(响应)。动态性 指系统现在行为与历史性为的相关性,即在时间序列中，观察值之中蕴含有相关关系。从系统观点来看，动态性即指系统的记忆性。 若某输入只影响系统的下一时刻的行为，而对其后的行为不发生作用，则称系统有一期记忆性或一阶动态性。类似可以定义系统的n阶

30、记忆性。阶记忆性。例：一个病人服用镇痛药，在时刻t服用，相当于在时刻t进入神经系统的一个输入-镇痛药，结构图如下：输入 神经系统 镇痛药t精神态X t输出（响应）如果此药仅在下一个时刻有效，此后无效，该系统具有一期记忆性，其动态性可用下图表示：T T+1 T +2假如服药后四小时内有效，且药力递减，第五个小时后无效，则系统的动态性图示如下： Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance andEconomics, 2006金融时间序列分析T T +1 T +2 T +3 T +4 T +5注：如何

31、定量描述系统的记忆性，这是时间序列分析的主要内容，时间序列模型就是系统记忆性的具体描述，建模过程驾驶记忆的定量描述过程。例如，若某系统的输入和输出为：时间t 1 2输入 输出则模型为X t =少0Wt若某系统的输入和输出为：时间t 1输入 输出 则模型为 X t =少1Wt 1。若某系统的输入和输出为：时间t 1输入输出Wt Xt 0 0 2 0 0 2 0 0 3 4 0 0 5 00 6 0 0 Wt Xt 0 0 0 0 ca 0c 3 4 0 5 0 0 6 0 0 Wt Xt 0 0 c 00 1c 3 40楼 0 0 6 0 0 c型为X t = 4 0Wt 4 1Wt 1 。 一

32、般地，系统的记忆性可以用如下模型表示：X t = 4 0Wt少1Wt 1+少2Wt 2 + 其中少j表示在t时刻系统对输入 Wt j的记忆程度，或者输入 Wt j对系统输出 X t的影响程度。称 少j为系统的记忆函数。实际上，我们所掌握系统的信息总是有限的，因此描述系统的记忆性的模型一般为有限形式：X t =少0Wt 1Wt 1+ 2Wt 2 + + e t其中的 e t是一个随机误差。Copyright: Rongbao Gu, Schoolof Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 。线性时间

33、序列 若时间序列xt 能够写成xt = + E ip i at i , i =0 00其中 是xt的均值，少0 =1 , a t 是零均值、独立同分布的随机变量序列（即白 噪声），则称xt 为线性时间序列。线性时间序列理论。经济计量模型 包括平稳性、动态相依型、自相关函数、建模和预测 （1）简单自回归（AR）模型；（2）简单滑动平均（MA）模型；（3）混合的自回归滑动平均（ARMA）模型；（4）季节模型。第一节 平稳性。严平稳 对时间序列xt ,若对所有的t、任意正整数 k和任意k个正整 数t1 , t 2 , t k,随机变量组(rt 1 , rt 2 , , rt k )的联合分布与随机变

34、量组(rt1 + t , rt2 + t , rtkt )的联合分布均是相同的，即满足关系式:t )的联合分布均是相同的，即满足关系式:Fk (rt1 , rt2 , rtk ; t1 , t 2 , t k ) = Fk (rt1 ,rt2 , , rtk ; t1 + t , t 2 + t , , t k + t )则称rt 是严平稳的。 换言之，严平稳性要求 (rt , rt , rt )的联合分布在时间的平移下是不变。1 2 k注：严平稳性的条件是相当强的， 根据定义很难验证。稍微弱一点平稳性是如下 的定义。弱平稳 对时间序列xt ，若(2)Cov( xt , xt l )= 仅与l

35、 丫有l关，(1) E ( xt ) = = const.;则称xt 是弱平稳的 或 宽 平稳的。换言之，若xt和xt与xt l的协方差均不随时间变化，则 xt 是弱平稳的。Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006金融时间序列分析注：1、弱平稳性意味着数据的时间图显示出其值在一个常数水平上下以相同幅 度波动；(请读者2、在弱平稳性的条件中，隐含地假定了rt的头两阶矩均是有限的；验证)3、弱平稳对时间推移的不变性表现在统计平均的头两阶矩上，严平稳对时 间推

36、移的不变性表现在统计平均的概率分布上，二者的要求不同。严平稳与弱平稳的关系 命题 若时间序列rt 是严平稳的，且它的头两阶矩是有限的，则 rt 也 是若平稳的。反之一般不成立，命题 若时间序列rt 是正态分布的，则严平稳与弱平稳时等价的。白噪声序列：若时间序列xt 是一个有有限均值和有限方差的、独立同分 布的随机变量序列，则称 xt 为白噪声序列，否则称为有色噪声。白噪声序列 若xt 还服从均值为0、方差为(T 2的正态分布，则称 xt 为高斯白噪声。注：白噪声与白色光有相似的特性：白色的光谱在各频率上有相同的强度；白噪声的谱密度在各频率上的值也相同。例1高斯白噪声序列是弱平稳的。设高斯白噪声

37、序列xt ,即它们是独立同分布的随机变量且E ( xt ) = 0,又 E ( xt )=敢 2 E ( xt 2 ) = (T 2 EM xt0)( xt 0) = E ( xt +l xt ) = 0 所以xt 是弱平稳的。若l = 0若l W0 注：平稳性条件是难以验证的。在实际中，如果某过程前后的环境和主要条件够不随时间变化，就可以认为是平稳的。如在工业生产中，原料质量、机器性能、工艺过程、工人技术、自然条件(气温、雨量等)没有剧烈变化，就可以认为其 过程是平稳的。若进行了工艺革新、设备改造、工人岗位变动等，则这一工业生产过程就是Copyright: Rongbao Gu, Schoo

38、l ofFinance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析非平稳的了。自协方差 对弱平稳时间序列 xt ,协方差 Cov( xt , xt l )=称为f可隔为l的自协方差。自协方差。命题 设弱平稳时间序列xt ，则自协方差具有如下性质：(1)丫 0 = Var ( xt );(2)丫 t= 。丫第二节 相关系数和相关函数对资产收益率rt ,我们希望用简单模型来刻画rt与t时刻之前所拥有的信息之间的线性关系。这里的信息可以包括rt的历史值和决定资产价格的经济环境的状态。所以，相关系数在理解这些模型中起着重要作用

39、，所研究的变量与其过去值的相关系数是线性时间序列分析的重点。这些相关系数被称为自相关系数，它们是研究平稳时间序列的基本工具。随机变量的相关性 随机变量的相关性两个随机变量 X , Y的相关系数为：p xy = Cov( X , Y ) Var ( X )Var(Y ) = E( X x )(Y y ) E ( X x ) 2 E (Y y ) 2 其中 x 和 y 分别是 X , Y 的均值，并 且假定方差是存在的。注：1、相关系数 p xy度量的是随机变量 X , Y线性相关的程度。我们知道有以下 性质：(1)1 0 , pl = 0。例2设高斯白噪声xt ，由例1已经算得 d 2，若l =

40、 0 Y ( T ) = Cov( xt ) xt 0,若l W敝高斯白 噪声的自相关函数为：Y ( 0) = b 2 p1(J)若l = 0。0,若l丰03设X是随机变量，Var ( X )=。逅 2 1 p (l ) = 1 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析注：例 3 的结论表明时间序列xt 具有极强的相关性。实际上，该序列的每一项是相同的，因而也是严平稳的。与例2比较可知，白噪声是另一个极端的情形。样本自相关函数(ACF)

41、假定有样本xt T=1 ,则xt 的间隔为1的样本自t相关系数为p仁汇(x t =1 T tx )( xt 1 x ) t 汇(x t =1x)T2 一般地，xt 的间隔为l的样本自相关系数定义为T pl = t = l +1 汇(x t x )( xt l x ) , t 汇(x t =1 T 0 x) 2 l 注 T 1、若xt 是独立同分布(iid)序列，且E ( xt ) q , p l渐近地服从均值为0、方差为(1 +2汇p i ) / T 2i =1 q的正态分布(见 Box, Jenkins和 Reinsel(1994) 。3、对于有限样本，p l是 p l的有偏估计。T事实上，

42、若记 丫 l =汇(xt)( xt 1 x ),称其为样本自协方差。因为对于t =1 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics,2006 金融时间序列分析 0 & l 0为q阶滑动平均模型，简记为 MA(q)模型。 注：1、MA模型是用白噪声序列组成的一个加权平均；2、MA模型具有许多吸引人的特点，包括简单的均值和自协方差结构。MA模型性质。MA(1)模型的均值和方差 2 E ( xt ) = 0 , Var ( xt ) = (1 + 0 12 ) aMA(1)模

43、型：xt = at0 1a t 1 ,两边取期望可得 E ( xt ) = 0 ;两边取方差可 Copyright:Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 得 2 2 2 Var ( xt ) = E ( xt2 ) = E (a t2 ) 20 1 E (at a t 1)+9 12 E (a t2 ) =+ 8 a2a = (1 + 0 12 ) 06 a 一般地，我们有如下命题：命题 对MA模型，我们有(1) MA模型是零均值的；(2) MA(q)模

44、型的方差为 2 Var ( xt ) = (1 + 0 12+ + 0 q2 ) (r。a。MA模型的平稳性 因为 E ( xt ) = 0 ,且 MA模型总是弱平稳的。 总 Cov( xt , xt l ) = E ( xt xt l ) = E (at at l )0 1 E (at 1at l + E (at at l 1 ) + 0 1 E (at 1 at 1l ) 2 2 2 0 1 (r a =0 l =1 。 l 1 。MA(1)模型的自相关函数 在 MA(1)模型 p0 = 1 , p 1 = 0 1 , pl = 0对l 1 1 + 9 12 xt = at 0 1a t

45、1。 两端同乘以 xt l ,得xt l xt = xt l a t 0 1 xt l a t 1 ,利用 MA(1)模型的递推性 质，将上式右端用白噪声表示，有 xt l xt = xt l at 0 1 (at l 0 1 at l 1 )at 1 = xt l at 0 1 at at1 + 0 1 at l 1 at 1 2 两边取期望，得 丫 l = E ( xt l at ) 0 1 E (a t l a t 1)+9 12 E (a t l 1 at 1 ) 2 0 1(T a =0 2 由于 Var ( xt ) = (1 + 0 12 ) % 故 l =1 l 1 p 0 =

46、 1 1 = 0 1, pl = 0对 l 1 。 1 + 0 12Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006金融时间序列分析类似的计算可以得到(请同学自己验证)：。MA(2)模型的自相关函数对 MA(2)模型 xt = at 0 1 at 1 0 2 at 2，有 p0 = 1, p 1 = 0 1+9192 0 2 p 2 = , pl = 0 对 l 2。 2 2 1 +01+02 什。13。22 注：1、上述自相关函数 式表明：MA(1)模型的自相

47、关函数在间隔为1以后是截 尾的；MA(2)模型的自相关函数在间隔为2以后是截尾的；一般地，对 MA(q)模型有p q w ,0但对l q有p l = 0,即MA(q)模 型 的自相关函数在间隔为l q以后是截尾的。因此MA(q)序列是一个有限记忆”模型。2、某些金融时间序列有时会有正的均值，这时就应当是把这个常数均值添加入到模型中去，使得MA(q)模型变为xt = + a t 0 1 a t 10 q a t q那么，通过计算可以得到 E ( xt )=,而方差和自相关系数均保持不变。例 考虑MA(1)模型：yt =a t 1 0 1 a t 1,通过计算(同学自己完成)可得 p0 = 1,

48、p 1 = 0 1 , pl = 0对l 1 。1 +。12即与上面 MA(1)模型xt = at 0 1a t 1具有相同的自相关函数。问题：问题：MA(1)序列xt 与 y t 具有相同的相关系数，那么选择哪一个模型更为合适呢 为回答这个问题，我们将白噪声 a t 分别用数据 xt 与 y t 表示：at = xt + 0 1 at 1 = xt+ 0 1 ( xt 1+ 0 1 at 2 ) = xt + 0 1 xt 什。1 xt 2f 2 (1) (2) at = yt + 1 0 1 at 1 = y4t 1 0 1 ( y t + 1 0 1 at 2 ) =yt + 1 0 1

49、 y t + 1 0 1 2 yt 2如果| 0 1 | q有pl = 0 ,则xt服从一个 MA(q)模型。注：在实际问题中，我们是计算序列的样本自相关函数，如果从某 pq以后 的样本自相关函数显著 的小，则可以近似地视样本自相关函数在q项以 后是截尾的，从而是 q阶MA模型。第四节 自回归模型 另一类常用的模型是自回归模型。自回归模型之所以有吸引力是因为它与很传统的线性回归模型非常相像。美国芝加哥大学证券价格研究中心(CRSP价值指数的月收益率 rt具有统 计显著的间隔为 1的自相关系数，这表明延迟的收益率rt1在预测rt时会有一定 的作用，描述这样的预测功能的模型就是所谓的一阶自回归模型

50、。自回归模型概念自回归模型的英文为： Auto Regressive Model,缩写为：AR模型。AR( p莫型 假定a t 是均值为零、方差为(T a的白噪声序列，则称2 xt = 1 xt 1 + + pxt p + a t, p 0为p阶自回归模型，简记为AR(p)模型。 注：1、自回归模型从形式上看与线性回归模型很相似，但是，两者又有显著的不同。下面以一阶自回归模型为例来与一阶线性回归模型进行比较：一阶回归模型：yi = bxi + e i一自回归模型：xt = 1 xt 1+ at xi是确定性取值， y i是随机性变量值， xt均是随机变量 Copyright: Rongbao

51、Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析 一随机变量对另一确定性变量的依存一随机变量对自身过去值的依存关系关系静态条件下研究 动态条件下研究a t独立，xt之间有相关性 无条件回归 i , y i皆是独立的条件回归 二者之间的联系：若固定时刻t 1且xt 1已知时，AR(1渥一元线性回归；而当我们用时间序列的过去(滞后)值代替线性回归模型的预测子后，就得到一个 AR模型。因此我们有理由相信经典回归所导出的大部分统计结果可以只作少量的修改就可以推广到AR情形。2、 p阶自回归

52、模型反映了系统的p期记忆性，或 p阶动态性质，即，系统 的t时刻的状态主要与该时刻之前的p个时刻的状态有关，而与 t时刻之 前p个时刻以前的状态无关。3、模型中xt是因变量，xt 1 , , xt p是解释变量，j表示xt对xt j的依赖程 度。4、对AR(1底型，在已知过去收益率rt 1的条件下，我们有 E (rt | rt 1 ) = 1 rt 1 , Var (rt | rt 1 ) = Var (at ) =, 2 即,a 给定过去收益率rt 1 ,现在的收益率将以1 rt 1为中心取值，离散程度 以(T a衡量。2 AR模型的性质。AR(1)模型的均值 当AR(1)序列是弱平稳时，其

53、均值为零，即 E ( xt ) = = 0 , 1丰1在AR(1) 序歹U xt = 1 xt 1 + at 的两边取期望，得 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, NanjingUniversity of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析E ( xt ) = 1 E ( xt 1 )+ E (a t )由弱稳定性假设可知E ( xt ) = E ( xt 1 )=,以及对所有的t , E (a t ) = 0 ,我们有 =1,于是，当1丰1时有E ( xt ) = = 0。AR(1底型的方差 当AR(1)序

54、列是弱平稳时，其方差为 Var ( xt )=将 AR(1底型写为 (T a2 ,1丰1 2 1 1 xt = a t + 1 xt 1两边取方差，得Var ( xt ) = E ( xt ) = E (at )+ 21 E ( xt 1 at ) + 12 E ( xt21 ) 2 2 为计算 E ( xt 1 a t ),我们利用 叠代方程，重复叠代可推得， 00 xt = at + 1a t 1 + 1 a t 2 + = E 1 at i 2 i i =0将()式两 边同乘以a t +1再取期望，得 8 e ( xt at+1 )= 汇1 E (a t Halt ) i i =0利用白

55、噪声序列 a t 的独立性，我们有 E ( xt at +1 ) = 0 。由式得 Var ( xt ) = 1 Var ( xt 1 ) + o- a。 2 2 Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间 序列分析 在平稳性的假定下，Var ( xt ) = Var ( xt 1 ),故a2 Var ( xt ) =。 2 1 1注：类似等式 E ( xt at +1 ) = 0的证明，可以得到等式 E ( xt l at ) = 0，这表明白

56、噪声 序列a t 在t时刻的噪声 a t与其以前各时刻的历史记录xt l是独立的。AR(1)模型的弱平稳性由于AR(1)模型弱平稳的条件之一是方差非负有限，即 0 w Var ( xt ) ，淅以1 1，即| 1 | 1 。于是，我们得到 2命题 AR(1膜型xt = 1 xt 1 + at是弱平稳的必要条 件是| 1 | 1,则该模型不是弱平稳的。问题：我们如何判断AR(1)模型xt = 1 xt 1 + at是弱平稳的呢 问题 事实上，我们可以证明： 命题 AR(1膜型xt = 1 xt 1 + at是弱平稳的| 1| 1 。 。AR(1)模型的自相关函数 当AR(1)序列是弱平年I时(即

57、| 1 | 0,由后一方程 丫 l = 1 丫推得若l = 0若l 0 pl = 1 。又因p 0 = 1 ,故有pl = 1。l注： 1、AR(1)模型的自相关系数从p0 = 1开始以比率为1指数衰减，因此不能在任意有限间隔后截尾。(然而由于是一指数衰减，实际问题的计算时，也可以视为是截尾的。)2、1为正时，若AR(1)模型的自相关函数图在上方以1比率指数衰减；1若 为负时，AR(1)模型的自相关函数图由上下两个都以1比率衰减的图形组成。2 1 =的ACF图：Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Fin

58、ance and Economics, 2006金融时间序列分析1 =的ACF图：3、如果把一个常数0加入到方程中，使得 AR(1)模型变为xt = 0 + 1 xt 1 + a t仿照上面方法计算可得(请同学自己验证)： Copyright:Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间 序列分析 E ( xt ) = = o- a2 0 l, Var ( xt ) = , pl = 1, l 0 2 1 1 1 1 这表明序歹 U xt 的均值与常数项0有关，而方差和

59、自相关函数均保持不变。易见，xt的均值为零0=0 。为求方差，由上述均值公式可得0 = (1 1 ),代入得xt = at + 1 ( xt 1)利用此方程重复叠代可推得，xt = at + 1 at 1 + 1 at 2 + = E 1 a t i 2 i i =0将)式两边乘以a t +1再取期望，并利用序列a t 的独立性，我们有 E( xt )a t +1 = 0。由协方差定义，Cov( xt 1 , at ) = E( xt 1)at = 0。故对() 式两边平方再取期望，可得 E( xt ) 2 = E1 ( xt 1) 2 + 21 ( xt 1 )at + at 2 2 即 V

60、ar ( xt )=1 Var ( xt 1 ) + b a 2 2 2其中a是a t的方差。在平稳性的假定下，Var ( xt ) = Var ( xt1),故b a2 Var ( xt ) = 2 11。AR(2膜型的均值用类似上面的方法(请同学自己验证)，可以证明 均值当AR(2)序列是弱平稳时，其均值为E ( xt ) = = 0 , 1 + 1 W1Copyright: Rongbao Gu, School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics, 2006 金融时间序列分析。AR(2膜型的自相关函数由AR(2腥