曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)

1、 /13例2计算曲面积分1=川(ax+by+cz+n)2dS，其中为球面x2+y2+z2=R2.解I=U(ax+by+cz+n)2dS(a2X2+b2y2+C2Z2+n2+2abxy+2acxz+2bcyz+2anx+2bny+2cnz)dS由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知JJxydS=JJxzdS=JJyzdS=JJxdS=JJydS=JJzdS=0又由轮换对称性知JJx2dS凡dSLdSI-a2JJx2dS+bJJ+c2Hz2dS+乙dS同，性.=(a2+b2+xdS+MJdSa2+:+同，性.=(a2+b2+xdS+MJdSa2+:+c2JJ(x2+y2+z2)dS+4R2n2a2

2、+b2+c2R2JJdS+4兀R2n2=4兀七R+b+c2)+n2方法技巧对面积的曲面积分的对称性与对坐标的曲面积分的对称性不理解起来更容易些.若碰到积分曲面是对称曲面，做题时可先考虑一下对称例3计算曲面积分+y2+z)dS，其中为球面x+y2+z2=2ax.x2+y2+z2)dS=JJ2axdS=2ax一a)dS+2a2JJdS=0+dS=2a24兀a2=8兀a4方法技巧积分曲面是关于x-a二0对称的，被积函数-a是x-a的奇函数，因此v(xa)dS=0其中L为圆周x2+y2=a其中L为圆周x2+y2=a2(a0)的逆，时针方向.解法1直接计算.将积分曲线L表示为参数方程形式L:+y-x+y

3、P=,Q=x2+y2L:+y-x+yP=,Q=x2+y2x+y2代入被积函数中得Nxy2dy-x2ydx=aJ2叫cosesin2ecose-cos2esine(-sine)心+V22兀sin2ecos2e022兀sin2ecos2e02兀sin2e(1-sin2e)=8a3j2(sir2esin4e)d0=8aOr0解法2利用格林公式蜒xydy-xydx=103,1兀-31兀=1兀a312242252lx2+y2Jxy2dy-X2ydx=L1ir，(x2+y2)dxdyaD其中D:x2+其中D:x2+y2Q在D内有一阶连续偏导数的条件.例5计算曲线积分J（x+y）dx（x-y）dy，其中L为

4、沿y=兀cosx由点Lx2+y2A（-兀，兀）到点B（-兀，-兀）的曲线弧.解直接计算比较困难.由于由于OPx-y2-2xyOQ0y=(x2+y2)2Ox一因此在不包含原点0（0,0）的单连通区域内，积分与路径无关.取圆周x2+V2=2兀2上从A（-兀,兀）到点B（-兀，-兀）的弧段L，代替原弧段L，其参数方程为：l，:1x户cos9J(x+其参数方程为：l，:1x户cos9J(x+y)dx-(x-y)dy1|y=2兀sin。(。：二一幻),代入被积函数中得Lx2+y2(x+y)dx-(x-y)dyL，=J(coA+sinA)(-sin9)-(coA-sinA)cos0兀方法技巧本题的关键是选

5、取积分弧段L既要保证L，简单，又要保证不经过坐标原点.例6计算曲面积分+ydzdx+zdxdy，其中E为x+y+z=1的法E向量与各坐标轴正向夹锐角的侧面解由于曲面E具有轮换对称性，解由于曲面E具有轮换对称性，xOy面的区域D=jx,y)x+y1JJxdydz=JJydzdxJJzdxdy，E投影到E，故+ydzdx+ydzdx+zdxdy=3JJzdxdy3JJ(1-y)2dxdy=3=3JJ(1-x-Dxyy)2dxdy=3JldxJ(1-x)2(1-x-、,1J，y)2dy=21(1-x)4dx20d1t=1-x-J0t4(1-t)dt=301因此可以将dydz,dzd遁方法技巧由于积分

6、曲面因此可以将dydz,dzd遁接转换为dxdy，E只要投影到xOy面即可.例7计算曲面积分JJ(x-y2)dydz+(y-z2)dzdx+(z-x2)dxdy，其中E为锥E面z2=x2+y2在0zh部分的上侧.解利用高斯公式.添加辅助面E:z=h(x2+y2h2)，取下侧，则JJ(x-y2)dydz+(y-z2)dzdx+(z-x2)dxdy=(x-y2)dydz+(y-z2)dzdx+(z-x2)dxdye+e1TJ(x-y2)dydz+(y-z)dzdx(z-X2)dxdy二加3螭dzNdxdy-dxdydz+二加3螭dzNdxdy-其中Q为和围成的空间圆锥区域，Dx其中Q为和围成的空间

7、圆锥区域，Dxy1x,y)除+y2h2xyD为投影到xOy面的区域，即xy，由D的轮换对称性，有xyJJx2dxdy=Dxy1IL、一2(x2+y2)dxdyDxyJJ(x-y)dydz+(y-z)dzdx+(z-X2)dxdy-4+hJJdxdy-D-4+hJJdxdy-D1=-兀h3+hg兀h2-21JJ2Dxy(X2+y2)dxdyhp3dp=-1兀h44方法技巧添加辅助面时，既要满足封闭性，又要满足对侧的要求.本题由于积分锥面取上侧(内侧)因此添加的平面要取下侧，这样才能保证封闭曲面取内侧，使用高斯公式转化为三重积分时，前面要添加负号.例8计算曲线积分N(z-y)dx+(x-z)dy+

8、(x-y)dz，其中L:+y2=1Lx-y+z=2从z轴的正向往负向看，L的方向是顺时针方向.解应用斯托克斯公式计算.令解应用斯托克斯公式计算.令:面的投影区域为D=x,y)x+y21xyx-y+z=2(x2+y21)取下侧，在xOy，则JJ-y)dx+(x-JJ-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz=Ldydzaaxzydzdxa0yx-zdxdyaazxy=JJ2dxdy=-2JJdxdy=-2兀xy方法技巧本题用斯托克斯公式计算比直接写出曲线L的参数方程代入要简单，所有应用斯托克斯公式的题目，曲面的选取都是关键，既要简单，又要满足斯托克斯的条件，需要大家多加练习.二、曲线积分与曲面积

9、分的物理应用1.曲线积分与曲面积分的物理应用归纳如下:(1)曲线或曲面形物体的质量.(2)曲线或曲面的质心(形心)(3)曲线或曲面的转动惯量.(4)1.曲线积分与曲面积分的物理应用归纳如下:(1)曲线或曲面形物体的质量.(2)曲线或曲面的质心(形心)(3)曲线或曲面的转动惯量.(4)变力沿曲线所作的功.矢量场沿有向曲面的通量.(6)散度和旋度.2.在具体计算时，常用到如下一些结论:M=Jp(x,y)ds(1)平面曲线形物体空间曲线形物体曲面形构件一JL,M=p(x,yz)dsLM=JJp(x,yz)dSE(2)质心坐标平面曲线形物体的质心坐标:J-xp(x,y)dsx=Lp(x,y)dsLyp

10、(x,y)dsy=Lp(xy)dsL空间曲线形物体的质心坐标:xyP(x,y)ds(xl,yxyP(x,y)ds(xl,y,z)d“P(x,yz)dS曲面形物体的质心坐标:JJxp(x,yz)dSJy=yp(XLP(x,y)ds,y,z)dYP(x,y,z)dSJJyp(x,y,z)dSJzpp(xy)ds(xl,y,z)dsJJf/LJp(x,yz)dSJJzp(x,yz)dSE当密度均匀时，质心也称为形心.IIx(3)转动惯量x平面曲线形物体的转动惯量:二，TJ-y2p(x,y)ds,I=x2p(x,y)dsTJ,TJ,一-I=(z2+x)p(x,y,z)dsL空间曲线形物体的转动惯量：T

11、J1=(丫2+z)p(x,y,z)dsTJI=(x2+y)P(x,yz)dsz10/1311/1311/13曲面形物体的转动惯量：I。2Z2)(x,y,z)dS,I(4X2)(x,y,z)dSxyI(X2y2)(x,y,z)dSz其中(x,y)和区丫区分别为平面物体的密度和空间物体的密度.(4)变力沿曲线所作的功平面上质点在力FP(x,y)i+Q(x,y)j作用下，沿有向曲线弧L从A点运动到B点，F所做的功WP(x,y)dxQ(x,y)dyAB空间质点在力FP(x,y,z)i+Q(x,y,zj+R(x,y,z)k作用下，沿有向曲线弧L从A点运动到B点，F所做的功WP(x,y,z)dxQ(x,y

12、,z)dyR(x,y,z)dzAB(2)矢量场沿有向曲面的通量矢量场AP(x,y,z)i+Q(x,y,zj+R(x,y,z)k通过有向曲面指定侧的通量P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy(3)散度和旋度矢量场AP(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k的散度丁APQRdivAxyz矢量场AP(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k的旋度RQPRQPr0tA(_)i()j+()kyzzxxyijkxyzPQR1.曲线积分或曲面积分应用题的计算步骤：根据所求物理量，代入相应的公式中;(2)计算曲线积分或曲面积分.例9设质点在场力f

13、=卜y-x的作用下，沿曲线：y=ncosx由A(0,兀)r222移动到B(50)，求场力所做的功.(其中r=x2+y2,k为常数)y解积分曲线L如图11.7所示.场力所做的功为W=jP(x,y)dx+Q(x,y)dy.y.x.=kjdx-rdy(x+y00)图11.7TOC o 1-5 h zAB(x+y00)图11.7令P=y,Q=-2x，2则P=k(x2-y2)=0Qr2r2y22yr4x即在不含原点的单连通区域内，积分与路径无关,另取由A到B的路径:L:x=ncos,y=nsin0(0:：0)1222W=kydx-rxdy=k0-(sirO+cos20)d0=nkL1r22兀22方法技巧

14、本题的关键是另取路径L，一般而言，最简单的路径为折线1路径，比如AOOB，但不可以选取此路径，因为Q在原点处不连续,换句话说，所取路径不能经过坐标原点，当然路径L的取法不是唯一的.1例10设密度为1的流体的流速v=xz2i+sinxk，曲面是由曲线y=1+z2(1z2)饶z轴旋转而成的旋转曲面，其法向量与2轴正向的夹角为x=0锐角，求单位时间内流体流向曲面正侧的流量Q.解旋转曲面为:x2+y2-z=1(1z2)，令为平面z=1在内的部分i取上侧，为平面z=2在内的部分取下侧，则+为封闭曲面的内侧，Q=JJP(x,y,z)dydz+Qx,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy二Hxz2dydz+sinxdxdyJJxz2dydz+JJxz2d