实验9 π的近似计算

1、河西学院数学与统计学院数学实验报告 数学实验报告兀2222计算n的近似值。班级数学08（3）班姓名杜虎生（07）姓名赵容福（57）姓名刘春伟（24）姓名张军杰（51）姓名叶建生（47）实验名称n的近似计算实验序号：日期：2011年10月25日问题背景描述：n是人们经常使用的数学常数，对n的研究已经持续了2500多年，今天，这种探索还在继续中。割圆术。2.韦达（VieTa）公式。3.利用级数计算n。4.拉马努金（Ranmaunujan）公式。5.迭代方法。6.n的两百位近似值。实验目的:1了解圆周率n的计算历程。了解计算n的割圆术、韦达公式、级数法、拉马努金公式、迭代法。学习、掌握MATLAB软

2、件有关的命令。实验所用计算机配置：CPU：AMDPhenom(tm)IIP9602.0GHzRAM：2GOperateSystems:WindowsXP实验所用软件及版本：Matlab7.1主要内容（要点）：利用韦达（VieTa）公式实验过程记录：练习1用刘徽的迭代公式x=；2-：4-x,s=3D2nx,x=16卫+1Y弋602602+16020计算n的近似值。相应的MATLAB代码为clear;x=1;fori=1:30 x=vpa(sqrt(2-sqrt(4W2),15)%计算精度为15位有效数字S=vpa(3*2人i*x,10)end计算可得S=3.105828541S=3.132628

3、613S=3.139350203x=.517638090205042x=.261052384440103x=.130806258460286xxxxxxxxxxxxxxxxx=.654381656435522e-1=.327234632529735e-1=.163622792078742e-1=.818120805246955e-2=.409061258232818e-2=.204530736067660e-2=.102265381402739e-2=.511326923724832e-3=.255663463951308e-3=.127831732236766e-3=.63915866151

4、0219e-4=.319579330795908e-4=.159789665403054e-4=.798948327021645e-5=.399474163511619e-5=.199737081755909e-5=.998685408779670e-6=.499342704389851e-6=.249671352194927e-6=.124835676097464e-6=.624178380487320e-7=.312089190243660e-7=.156044595121830e-7=.780222975609150e-8=.390111487804575e-8=.19505574390

5、2288e-8x=.975278719511453e-9S=3.141031951S=3.141452472S=3.141557608S=3.141583892S=3.141590463S=3.141592106S=3.141592517S=3.141592619S=3.141592645S=3.141592651S=3.141592653S=3.141592653S=3.141592654S=3.141592654S=3.141592654S=3.141592654S=3.141592654S=3.141592654S=3.141592654S=3.141592654S=3.14159265

6、4S=3.141592654S=3.141592654S=3.141592654S=3.141592654S=3.141592654S=3.141592654.计算n的练习2用韦达公式2=舍2+迈*2+2+迈卩+27+2近似值。相应的MATLAB代码为clear;x=1;fori=1:20;ix=vpa(x*cos(pi/2人(i+1),30);%计算精度为30位有效数字pai=vpa(2/x,22)error=vpa(pai-2/x,22)end计算可得i=1pai=2.828427124746190097603error=.3774484188e-21i=2pai=3.0614674589

7、20718232298error=.2223605969e-21i=3pai=3.121445152258052404216error=.579142540e-22i=4pai=3.136548490545939249125error=.2408548301e-21i=5pai=3.140331156954752858963error=.3651343370e-21i=6pai=3.141277250932772720892error=.1464196722e-21i=7pai=3.141513801144301048318error=.4482597912e-21i=8pai=3.14157

8、2940367091461583i=9pai=3.141587725277159716287i=10pai=3.141591421511200086037i=11pai=3.141592345570117830926i=12pai=3.141592576584872625535i=13pai=3.141592634338562821891i=14pai=3.141592648776985437337i=15pai=3.141592652386591008149i=16pai=3.141592653288992575505i=17pai=3.141592653514592792966i=18pa

9、i=3.141592653570993021726i=19pai=3.141592653585093078916i=20pai=3.141592653588617918820error=.596014783e-22error=.1189029953e-21error=.3229610904e-21error=.4967305463e-21error=.4344678192e-21error=.4862357044e-21error=.2757983366e-21error=.956629086e-22error=.4169549797e-21error=.2783657489e-21error

10、=.1396314172e-21error=.1682315366e-21error=.2544362353e-21练习3用莱布尼茨级数-乏上上计算n的近似值。42n+1n=1相应的MATLAB代码为clear;x=0;fori=1:2000 x=vpa(x+(-1)人(i+1)/(2*i-1),30);pai(i)=vpa(pi_4*x,22);error(i)=vpa(pi-4*x,22);endfori=1:10i*200pai(i*200)error(i*200)计算可得ans=200ansans=400ansans=600ansans=800ansans=1000ansans=120

11、0ansans=1400ansans=1600ansans=1800ansans=2000ans=.4999968750976488048e-2=.2499996093780516997e-2=.1666665509263278001e-2=.1249999511719703670e-2=.999999750000312499e-3=.833333188657532994e-3=.714285623177900670e-3=.624999938964873553e-3=.555555512688631079e-3=.499999968750009766e-3ansansans=.4999968

12、750976488048e-2=.2499996093780516997e-2=.1666665509263278001e-2ans=.1249999511719703670e-2ansansansansansans=.999999750000312499e-3=.833333188657532994e-3=.714285623177900670e-3=.624999938964873553e-3=.555555512688631079e-3=.499999968750009766e-3end2k+1522k+12392k+1计算n的近似n=0n=0练习4利用级数加速后的公式11y(-1)k1

13、兀=16arctan一4arctan=16值。相应的MATLAB代码为clear;5239河西学院数学与统计学院数学实验报告河西学院数学与统计学院数学实验报告 digits(160);symsxx=sym(0);fork=1:15kx=x+sym(-1)人(sym(k)+sym(1)/(sym(2)*sym(k)-sym(1)*(sym(16)/sym(5)人(sym(2)*sym(k)-sym(1)-sym(4)/sym(239)人(sym(2)*sym(k)-sym(1);vpa(x,40)vpa(vpa(pi,60)-x,5)计算可得k=1k=2k=3k=4k=5k=6k=7k=8k=9

14、endans=-.41671e-1ans=.99562e-3ans=-.28376e-4ans=.88141e-6ans=-.28815e-7ans=.97448e-9ans=-.33762e-10ans=.11910e-11ans=-.42609e-13ans=.15415e-14ans=-.56285e-16ans=.20708e-17ans=-.76681e-19ans=.28552e-20ans=-.10682e-21ans=3.183263598326359832635983263598326359833ans=3.1405970293260603143045311065792288

15、98150ans=3.141621029325034425046832517116408069706ans=3.141591772182177295018212291112329795027ans=3.141592682404399517240259836073575860490ans=3.141592652615308608149350747666502755367ans=3.141592653623554761995504593820311845927ans=3.141592653588602228662171260486978513156ans=3.1415926535898358474

16、85700672251684395509k=10k=11k=12k=13ans=3.141592653589791696917279619620105448141ans=3.141592653589793294747374857715343543379ans=3.141592653589793236391840944671865282509ans=3.141592653589793238539324592671865282509k=14ans=3.141592653589793238459788161264457875102k=15ans=3.1415926535897932384627502

17、07675492357860练习5利用拉马努金公式丄=仝2-(4n)！1103+26396n计算n的近似值。兀9801(n!)4396n=0相应的MATLAB代码为clear;digits(1000);syms(x,a1,a2)x=sym(2)*sym(2)Asym(0.5)/sym(9801)*sym(1103);fori=1:10ia1=sym(1);a2=sym(1);forj=1:ia1=a1*sym(j);endforj=1:4*ia2=a2*sym(j);endx=x+sym(2)*sym(2)Asym(0.5)/sym(9801)*a2/a1Asym(4)*(sym(1103)+

18、sym(26390)*sym(i)/(sym(396)A(sym(4)*sym(i);vpa(sym(pi)-sym(1/x),100)end计算可得i=1ans=-.639536262443026510210019475629947743058199019199197967994362302676065243568507322414e-15i=2ans=-.5682423256013959508081087228960193455003336923388272632581577024409623866078e-23i=3ans=-.52388962804811045274090241759303699129381656638070433206383565863851e-31i=4ans=-.494418757924803001220998690736699221300101442275012552450900e-39i=5ans=-.4741011768567914974136850634834727161360394467082100e-47i=6ans=-.45988650161912667792063133135997447987433955e-55i=7ans=-.449997920804985666841204367226104708e-63i=8a