【方法总结】由递推式求数列通项典型例题的技巧解法

1、 例1.已知数列%a例1.已知数列%a满足a-丄a=an+1+J，求数列%a的通项公式。n解：由条件知：an+1n2+nn（n+1）n_11n+1由递推式求数列通项的典型题的技巧解法对于由递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。类型1递推公式为aa+f（n）n+1nn+1解法：把原递推公式转化为aaf(n)，利用n+1n得(n-1)个等式累加之，即a解法：把原递推公式转化为+f(n),an例2.得(n-1)个等式累加之，即a解法：把原递推公式转化为+f(n),an例2.已知数列%a满足a2n13利用累乘法(逐商相

2、乘法)求解。nan+1n+1n，求数列%的通项公式。解：由条件知an+1annn+1，分别令n1,2,3,（nD代入上式得(n-1)个等式累乘之，即aaa23aaa1232又丁a1-3,a123n一1-1XXXXa234nn123nanan1（2）由an+1=f(n)a和a确定的递推数列%的通项可如下求得:n1分别令n1,2,3,(n1)，代入上式（a一a）+（a一a）+（a一a）+（a一a213243nn11111111（1一2）+（2一3）+（3一4）+（n1一n）1所以aa1n1n11131*/a，a+112n2n2n类型2(1)递推公式为af(n)an+1naf（n2）a，af（1）a

3、依次向前代af（n2）a，af（1）a依次向前代n1n221nn-1入，得a二f(n1)f(n2)f(l)a,n1TOC o 1-5 h z简记为a二(叶f(k)a(n1,什f(k)二1)，这就是叠(迭)代法的基本模式。nk=i1k=i(3)递推式：a二pa+f(n)n+1n解法：只需构造数列缶，消去f(n)带来的差异。n例3.设数列b：a=4,a=3a+2n1,(n2)，求数列a的通项公式。n1nn1n解：设b二a+An+B,贝【a二bAnB，将a,a代入递推式，得nnnnnn1bAnB二3lbA(n1)B1+2n1 HYPERLINK l bookmark12 o Current Docu

4、ment nn1二3b(3A2)n(3B3A+1)n1A=3A一2fA二1B=3B3A+1B=1.取b二a+n+1(1)则b二3b，又b=6，故b二6x3“-1二2x3nnnnn11n代入(1)得a=2x3nn1n说明：(1)若f(n)为n的二次式，则可设匕=an+An2+Bn+C(2)本题也可由an=3an1+2n(2)本题也可由an=3an1+2n1n3)TOC o 1-5 h zn1n2两式相减得anan1=3(an13-2)+转化为二nJ9求之.例4.已知a=3，a=fa(n1)，求数列b的通项公式。1n+13n+2nn解：an3x2131a3x解：an3x2131a3x2+23+21

5、3(n1)+23(n2)+23n43n75263=3n一13n一4853n一1类型3递推公式为a=pa+q(其中p，q均为常数，(pq(p1)丰0)n+1n解法：把原递推公式转化为：a-1=p(at)，其中t=亠，再利用换元法转化为等n+1n1p比数列求解。在数列a中，若a=1,a=2a+3(n1)，则该数列的通项an1n+1nn例5.已知数列中，a=1,a二2a+3,求数列的通项公式。TOC o 1-5 h zn1n+1nn解：设递推公式a=2a+3可以转化为at=2(at)即a=2atnt=3.n+1nn+1nn+1n故递推公式为a+3=2(a+3),令b=a+3，则b=a+3=4,且n+

6、1nnn11ba+3宀17严=亠=2.所以1b/是以b=4为首项，2为公比的等比数列，则ba+3n1nnb=4X2n1=2n+1,n所以a=2n+13.nTOC o 1-5 h z类型4递推公式为a=pa+qn(其中p,q均为常数，(pq(p1)(q1)丰0)。(或q,n+1nq,a=pa+rqn，其中p，q,r均为常数)n+1n解法：该类型较类型3解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以qn+1，得: HYPERLINK l bookmark0 o Current Document apa1n11=n+。qn+1qqnq引入辅助数列1引入辅助数列1(其中b=身),n

7、nqn得：bn+1=-b+-再应用类型3的方法解决。qnq=1a+()n+1，求数列1的通项公式。=1a+()n+1，求数列1的通项公式。3n2nTOC o 1-5 h zn16n+1112解：在a=a+()n+1两边乘以2n+1得：2n+1a=(2na)+1n+13n2n+13nn2n令b=2na，则b=b+1，应用例7解法得：b=3nnn+13nnb1所以a=才=n2G)n数学驿站：n2n3类型5递推公式为a=pa+qa(其中p，q均为常数)。n+2n+1n解法：先把原递推公式转化为asa=t(asa)n+2n+1n+1nIs+1=p其中s，t满足Lt=q，再应用前面类型3的方法求解。n+

8、1n已知数列a满足a=1,a=2a+1(neN*).求数列n+1nn1n+1nn例7.已知数列中，a=1,a=2,a=a+；a，求数列b的通项公式。n12n+23n+13nn21解：由a=a+a可转化为asa=t(asa)n+23n+13nn+2n+1n+1n即a=(s+1)astan2s+t=31st=3s=11或t=3这里不妨选用(当然也可选用1s=-3，大家可以试一试)，则n(aa是以首项为aan+12s+t=31st=3s=11或t=3这里不妨选用(当然也可选用1s=-3，大家可以试一试)，则n(aa是以首项为aan+1n21=1，公比为-3的等比数列,aa=(aa)n+2n+13n+

9、1n1=(一3)n-1，应用类型1的方法，分别令n=1,2,3,(n-1)，代入上式得所以aan+1n(n1)个等式累加之，即S-a1=110+(-3)1+(3)n2=1(-)n-131+-3731又a=1，所以a=一()n-1。1n443类型6递推公式为S与a的关系式。(或S=f(a)nnnn解法：利用a=nS1SSnn1(壮进行求解。(n2)例8.已知数列前n项和Snnn2n21)2)求a与a的关系；n+1n求数列佥的通项公式。n解：(1)由S=4a-小nn2n21得:n+1-J)2n-1=4an+12n-11于是SS=(aa)+(n+1nnn+12n2111所以a=a-a+na=a+-.

10、n+1nn+12n1n+12n2n(2)应用类型4的方法，上式两边同乘以2n+1得:2n+1a=2na+2n+1n由a=S=4-a-丄na=1.于是数列1112121nan是以2为首项，2为公差的等差数列，n所以2na=2+2(n1)=2nna=nn2n1类型7双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例9.已知数列b缶n1n1a二1(2a+b),b二(a+2b)，求数列b、哲的通项公式。n3n-1n-1n3n-1n-1nn11解：因a+b二一(2a+b)+(a+2b)二a+bnn3n-1n-13n-1n-1n-1n-1所以a+b二a+b=a+b=a+b=a+b=1nnn-1n-1n-2n-222111)即a+b二11)nn111乂因为ab=(2a+b)(a+2b)(ab)TOC o 1-5 h znn