解析几何中的存在性问题

1、探究圆锥曲线中的存在性问题求曲线（或轨迹）的方程。对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系， 以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；2与圆锥曲线有关的最值（或极值）和取值围问题，圆锥曲线中的定值、定点问题， 探究型的存在性问题。这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析 几何、平面几何、平面向量、函数、不等式、三角函数知识，正确的构造不等式或方程， 体现了解析几何与其他数学知识的联系。一、是否存在这样的常数例1 在平面直角坐标系xy中，经过点（0,2）且斜率为k的直线l与椭圆三+ y2 = 1有两个不同的交点户和Q（I）求k的取值围；uuur uur（II ）设

2、椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A B，是否存在常数k，使得向量OP + OQ与uuurAB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由4 + k 2 x 2 + 2 厄kx +1 4 + k 2 x 2 + 2 厄kx +1 = 0代入椭圆方程得 5 + （kx +瑚2）2 = 1 整理得 直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 = 8k2 -4f1 + k2 = 4k2 -2 0，k2 J解得k解得k v 或k 22即k的取值围为8, kuur uur(H)设 P(x，y ) Q(x，y )，则 OP + OQ = (x + x, y + y )，11221212由方程，4/2

3、kx1 + x2 = 1 + 2由方程，又 y + y = k(x + x ) + 2/2 1212_uuur _而 A32,0) B(0,1),AB =() TOC o 1-5 h z uur urnr uutr.一所以OP + OQ与AB共线等价于x + x =*2(y + y )，1212一一 -v2将代入上式，解得k =2由（I）知k由（I）知k 2故没有符合题意的常数k练习1 ：（08卷20）（本小题满分练习1 ：（08卷20）（本小题满分12分）已知抛物线C : y = 2x2，直线y = he + 2交C于A, B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N -（I）证明

4、：抛物线C在点N处的切线与AB平行；uur mr（H）是否存在实数k使NAgNB = 0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由角牟法一 ：(I)如图，设A(x,2x2)，B(x ,2x 2)，把y = kx + 2代入y = 2x2得2x2 kx 2 = 0，1122k由韦达定理得x1+x2 = 2.x = x =工=k，N M 24二N点的坐标为k.x = x =工=k，N M 24二N点的坐标为k 2设抛物线在点N处的切线l的方程为y 8mk k 2 - 将 y = 2x2 代入上式得 2x2 mx + = 0，Q直线l与抛物线C相切，/.A = m2 8即 l AB （H）假设存在实数k

5、由（I）知yM1 ( k 2 /+ 4=m2 2mk + k2 = (m k)2 = 0，m = k uur mr，使NAgNB = 0，则NA NB，又Q M是AB的中点，=Z (y + y ) = (kx + 2 + kx + 2)=上k(x + x ) + 4212212212k2=+ 2 4Q MN x 轴，.MN I=I yM - y. 1=藉 + 2 与=如；16 又 I AB 1= J1 + k2 g x - x 1= J1 + k2 *(x + x )2 4xx=X：1 + k 2- 4 X (-1) = k2 +1 gk2 +=X：1 + k 22k2 +16 = kk2 +

6、1 gk2 +16，解得 k = 2 -84uur iur即存在 k = 2，使 NAgNB = 0 -解法二：解法二：（I）如图，设A（x2xi2）,B(x ,2x2),把 y = kx + 2 代入 yk2x2 kx k2x2 kx 2 = 0 由韦达定理得 +气=2，xx = -11 2= k，二N点的坐标为24k抛物线在点N处的切线l的斜率为4 X - = kuur iur（H）假设存在实数k，使NAgNB = 0 -l AB -k 2 :uurkk 2 )(kx 一一 ,2 x 2,NB =(x-,2 x 21418 )2 I428，则mr由(I)知NA =uur uur ( NAg

7、NB =(土4k(土4k 2 V+ 4 E2-区 Jc k2 x2k丫x -kg1 + 4 x +- 人2 4)g1 + 4 x1 x2 + k (x1g1 + 4 x1 x2 + k (x1+x2)+ kx x - (x + x 7+ 1241216二 + 二 g 1 + 4 x (-1) + k x k + 2-24(-116Q -1Q -1 -希 3 + 4 k2 = 0，解得 k = 2 -uur iur即存在 k = 2，使 NAgNB = 0 - 练习2.直线ax - y = 1与曲线x2 - 2 y2 = 1相交于P、Q两点。当a为何值时，PQ = 2侦1 + a2 ；是否存在实

8、数a，使得以PQ为直径的圆经过原点O？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。 TOC o 1-5 h z | ax - y = 1_解：（1）联立方程 1-,得（1 2a2）x2 + 4ax- 3 = 0，f x 2 - 2 y 2 = 1又知直线与曲线相交于P ,Q两点，可得，_Lf 1- 2a2 ? 0，即 |a| 0224a3设 P、Q 两点的坐标为 P(x ,y ),Q(x ,y )则乂 + x =,xx = ，1 12 2122a 2 - 1 1 22a 2 - 14(1+ a2)(3- 2a2) _ 。 ；XT所以 PQ一-=2W + a2， (2 a 2 - 1)2化简得(1-

9、 2a2)2- (1- 2a2)- 2 = 0,解得a = ? 1即为所求。假设存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过原点O，则Uk .k = - 1,也就是x x + y y = 0,xx + (ax - 1)(ax - 1) = 0, OP oq12121 212整理得(1+ a2)x x - a(x + x ) + 1 = 0,故有一竺) + + 1 = 02122a2- 11- 2a2解得a2 = - 2,a纹，即不存在实数a.二、是否存在这样的点一-x 2 y 23例2.已知椭圆C :f b = l(a b 0)的离心率为一丁，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，2当l的斜率为1时

10、，坐标原点O到l的距离为2（I）求a ，b的值；uur uur uuur（II）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OP = OA + OB成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆 有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况 的处理。解：（I）设F（c,0）当l的斜率为1时，其方程为x - y - c = 0,O到l的距离为0 0 cc , c b 0) a 2 b 2左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上

11、位于xEC,10V轴上方的动点，直线AS,BS与直线l:x =分别交于M,N两点。(I)求椭圆C的方程；(H)求线段MN的长度的最小值；1(m)当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得MSB的面积为5 ?若存 在，确定点T的个数，若不存在，说明理由(I)由已知得，椭圆C的左顶点为A(2,0),上顶点为2(0,1),a = 2, b = 1一X 2一故椭圆C的方程为一+ y2 = 1410 16k、 (n)直线AS的斜率k显然存在，且k 0 ，故可设直线AS的方程为y = k(x + 2)，从而M(耳，)y = k (x + 2)由 0.1 MN 1=+ 233k16k 1T

12、3k16k11，当且仅当二一=勇-，即k = 时等号成立33k4k =时，线段MN的长度取最小值二 TOC o 1-5 h z 3(皿)由(H)可知，当MN取最小值时4 4克此时 BS 的方程为 x + y 2 = 0, s(, ),.I BS 1=-12 一要使椭圆C上存在点T，使得ATSB的面积等于匚，只须T到直线BS的距离等于 ，所以T42,在平行于BS且与BS距离等于的直线Z上。47_ 八 11 + 21 寸235设直线l: x + y + t = 0，则由一=厂,解得t =-或t = -2422练习：1.已知双曲线x2 一y2 = 2的左、右焦点分别为F f2，过点%的动直线与双曲线

13、相交于A B 两点umr uur uur uuur若动点M满足FM = FA + FB + FO (其中O为坐标原点)求点M的轨迹方程；1 1 1 1uur uur在x轴上是否存在定点C 使CA CB为常数？若存在求出点C的坐标；若不存在请说明B也，y) uurF A = (x/ 2, uuur uuur=FA+FB+FO得1 理由 B也，y) uurF A = (x/ 2, uuur uuur=FA+FB+FO得1 211uuuury)解法一 ：(I)设 M (x, y)，则 FM = (x + 2, yy)uuuruuuruuuur uuurFB = (x + 2, y ),FO = (2

14、,0)，由 FM12211(.r.，x + 2 = x + x + 6, y = y + y 即x + x = x 4x + x = x 4, y + y = y侦12于是AB的中点坐标为号，y Iy - y 当AB不与x轴垂直时2 x - xy 口x - 4 - 2x-8 ,即 yi 一 y2又因为A, B两点在双曲线上，所以x; - y; = 2 x2 - y2 = 2，两式相减得 (x x )(x + x ) = (y y )(y + y )，即(x x )(x 4) = (y y )y 121212121212将y y =;(x x )代入上式，化简得(x 6)2 y2 = 4 12

15、x 8 12当AB与x轴垂直时，x1 = x2 = 2，求得M(8,0)，也满足上述方程所以点M的轨迹方程是(x 6)2 y2 = 4 uur uur(II)假设在x轴上存在定点C(m,0)，使CAgCB为常数当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y = k(x- 2)(k u1) 4k 2 + 2x1 x2 = k 2 - 1代入x2 y2 = 2 有(1 k2)x2 + 4k 2 + 2x1 x2 = k 2 - 1则x1,一则x1,x2是上述方程的两个实根，所以x1 + x2 = k_1uur uuor于是 CAgZB = (x 一m)(x -m) + k2(x 一2)(x 一2)12

16、12=(k2 + 1)x x 一 (2k2 + m)(x + x ) + 4k2 + m2(k 2 + 1)(4k 2 + 2)4k 2(2 k 2 + m). 7一+ 4k 2 + m 2k 2 -12(1-2m)k 2 + 24 一 4m+ m2 = 2(1-2m) + m2 -k 2 -1k 2 -1uur uuruur uur因为CACB是与k无关的常数，所以4-4m = 0，即m = 1，此时CACB = -1 - 当AB与x轴垂直时，点A, B的坐标可分别设为(2,2)，(2,-f2)，uur uunr_此时 CAgCB = (1,2) 1,f2) = -1 -uur uur故在x

17、轴上存在定点C(1,0)，使CACB为常数练习2.如图，设抛物线方程为x2=2py(p0),M为直线y=-2p上任意一 点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.(I)求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；(H)已知当M点的坐标为(2，-2p)时，AB = 4而，求此时抛物线的方程； (皿)是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2 = 2 py (p0)上，其中，点C满足 utur uur uurOC = OA + OB (O为坐标原点).若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在,请说明理由. TOC o 1-5 h z x 2x 2(I)证明：由题意设 A(x , 1

18、),B(x ,j),x Vx ,M(x ,-2p).1 2 p2 2 p 120 x 2x所以kMA =才kMB由 x 2 = 2 py 得 y = 所以kMA =才kMBx x 一因此直线MA的方程为y + 2p = t(x- px 直线MB的方程为y + 2p = ;(x-x0).x2x2x所以 2p + 2p =；(气-x0),x2x+ 2 p = 2 (x - x ).由、得由、得气+ x2 = x + x - x ,因止匕2120 x =气 + *2 ，即 2 x = x + x .02012所以A、所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.(H)解：由(I)知，当x0=2时，将其代入、

19、并整理得：X2 一 4x 一 4 X2 一 4x 一 4 p 2 = 0,所以 x1、x2是方程x2 一 4x 一 4P2 - 0的两根，因此 x + x = 4, x x = 一4 p 2,x 2x 2一 一1又 k _ 2 p 2 p _ 尤+ 尤2 _ x0AB x - x 2 p p 由弦长公式得所以kAB|AB| = ，1 + k2 (气+ x )2 一 4 xx21 2=i1 + 生(16 +16 p 2.又 AB = 4ji0， 所以 p=1 或 p=2,因此所求抛物线方程为x2 = 2y或x2 = 4y.(m)解：设 D(x3,y3)，由题意得 C(x1+ x2, y1+ y2

20、),贝I cd的中点坐标为Q(,+ ； + x,也+号+ y),设直线AB的方程为y 一 y1 =；(*一气入,x + x y + y、由点Q在直线AB上，并注意到点(, 12)也在直线AB上，x代入得y3= p七若 D (x3,y3)在抛物线上则x； = 2py3 = 2x0 x3, 因此 x3=0 或 x3=2x0. TOC o 1-5 h z /c2 x 2即 D(0，0)或D(2x0,-p).当x0=0时，则x1 + x2 = 2x0 = 0，此时，点M(0,-2p)适合题意.x2 + x2x2 x2 + x212-4 px0当 x0。0，对于 D(0，0)，此时c(2x x2 + x

21、2)k =2po( % 2 p 人 cd 2 x0kAB所以k g幻gx2x2 吐土兰AB CD p 4 px 0即 X2 + X2 = -4p2,矛盾.2 x 2、c2 x 2、c对于D(2x0,),因为C(2x0,板p 2）,此时直线CD平行于y轴，又k o丰0, AB p所以，直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，所以x0。0时，不存在符合题意的M点.综上所述，仅存在一点M（0，-2p）适合题意.练习3.在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在第二象限、半径为2、还的圆C与直线y = x相切于坐标八x 2y 2原点O 椭圆一+=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10 a 29（1）求

22、圆C的方程；（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长若 存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 解：（1）设圆心坐标为（m，n） （m0），则该圆的方程为（x-m）2+（y-n）2=8已知该圆与直线y=x相 切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则m 一 =2 2即 mn =4 0)相交于A, B两点(I)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求 MNB面积的 最小值；(II )是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆 截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理 由(此题不要求在答题卡上画图) 解析：本小题主要考查直线

23、、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理 运算的能力和解决问题的能力解法1 ： (I )依题意，点N的坐标为N(0, p)，可设A(气，y，B(气，y2)，f x 2 = 2 py,直线AB的方程为y = kx + p，与x2 = 2py联立得消去y得x2 一2pkx一2p2 = 0 I y = kx + p. TOC o 1-5 h z 由韦达定理得x + x = 2pk，xx =一2p2 121 21.，于是S = S + S= -2px 一x ABN BCN ACN2121=p|x x | = pj(x + x )2 一4xx=p 侦 4 p 2 k 2 + 8

24、 p 2 = 2 p 2 k 2 + 2，.当 k = 0 时，(Sabn ) . = 2J2p2 (H)假设满足条件的直线l存在，其方程为y = a，AC的中点为O，l与AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为h，则 OH则 OH PQ，q点的坐标为才，y p 22 7OH=OH=2|2a - y1 - p|，1=|AC=x2+(y1p)2 = ： y2+ p2 ，11 一. |PH|2 = OP|2 OHI2 = 4 (y; + p2) 一4(2a 一 y1 一 p)(p) za 一 y + a(p _ a)V 2 7 PQ|2= (2PH|)2 = 4 a -p j + a(p - a

25、)V 2 J 1令a P = 0，得a = P，此时|PQ| = p为定值，故满足条件的直线Z存在，其方程为j = p， 即抛物线的通径所在的直线解法2 ： (I )前同解法1，再由弦长公式得AB =寸1 + k 2x - x | = 11 + k2(x + x )2 - 4xx = J1 + k2 】4p2AB =寸1 + k 2又由点到直线的距离公式得=吝1 + k 2从而 S = *dAB| = ,2p1 + k2 k2 + 一？P = 2p2k2 + 2ABN 221 + k 2.当k = 0时，(S冬).=2很p2 (n)假设满足条件的直线/存在，其方程为j = a ，则以AC为直径

26、的圆的方程为(x 0)(x 一气)一(j p)(y J1)= 0，(p) za- y + a(p a)V 2 J将直线方程y = a代入得(p) za- y + a(p a)V 2 J则= x2 4(a p)(a y ) = 411设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x3，y3) Q(x4，y4)，则有 pQ = |则有 pQ = |x3 x4y + a (p a)p 八 一 p一八八.一.p令a 5 = 0，得a =，此时PQ = p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y =， 即抛物线的通径所在的直线 练习1.已知双曲线方程为x 2 - y2 = 1，问：是否存在过点m(i，1)的直

27、线1，使得直线与双曲线交于P、Q两点，且M是线段PQ的中点？如果存在，求出直线的方程，如果不存在，请说明理由。解：显然x=1不满足条件，设l: y- 1 = k(x- 1).联立 y- 1 = k(x- 1)和 x2 - 2 = 1，消去 y 得(2- k2)x2 + (2k2 - 2k)x- k2 + 2k- 3 = 0，22（k- 2（k- k2）气+ X22 - k 2，由M（1，1）为PQ的中点，得气-%二 二1，解得k = 2，这与k 7；矛盾，所以不存在满足条22 - k 22件的直线1.四、是否存在这样的圆0）过M（2, b 0 ）半焦距为c;a 2 b2f 2a = 12 rI

28、 a = 6则 0，由 62 + 02 + 12k 0 21 = 5 + 12k f 0 可知点（6，0）在圆 C 外，k若k 0 ）过M（2，司2 ） ，N（侦6 ，1）两点，O为坐标原点，a 2 b 2uur uur(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA1 OB,设该圆的切线方程为y = kx 设该圆的切线方程为y = kx + m解方程组|Xi+2 = 1 得I 84x 2 + 2( kx + m)2 = 8k2(2mk2(2m2 一 8)4k2m2m2 一 8k2一+ m 2 =要使1 + 2k 2m2m28mr =: 0 ,即 8k2

29、一m2 + 4 04kmx + x = 一121 + 2k 22m2 - 8x x =1 21 + 2k 2y y = (kx + m)(kx + m) = k2x x + km(x + x ) + m2 =1 2121 2121 + 2k 21 + 2k 2皿顷， 八 2m2 - 8 m2 - 8k2OA1 OB，需使xx + y y = 0，即+= 0，所以3m2 -8k2 -8 = 0,1 2 1 21 + 2k 21 + 2k 2 TOC o 1-5 h z ,3m2 一 8八所以 k2 =8 0 又8k2 -m2 + 4 0 ,I m2 28所以m2 8,所以m2 - 3，即m 2匹

30、或m V一匹3因为直线y = kx + m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为而当切线的斜率所求的圆为x2 + y2 = 8，此时圆的切线y = kx + m都满足m 矣6或m -矣6，而当切线的斜率3332齿X2 y2 2后,2就、 2b 0)的右顶点为A(1,0)，过C的焦点且垂直长轴的弦长为1 (I)求椭圆q的方程；(II)设点P在抛物线C2 : y = X2 + h (h G R)上，C2在点P处的切线与C1交于点M, N 当线 段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值 TOC o 1-5 h z b = 1(a = 2y 2解析：(I)由题意得仁b2 ，k,所求的椭

31、圆方程为土 + X2 = 1，2 一 = 1b = 14、 a(II)不妨设M (x , y ), N (x , y ), P (t, t2 + h),则抛物线C在点P处的切线斜率为y= 2t，直线MN1 12 22x=t的方程为y = 2tx -12 + h，将上式代入椭圆C的方程中，得4x2 + (2tx -12 + h)2 - 4 = 0，即 4(1 +12)x2 4t(t2 h)x + (t2 h)2 4 = 0，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有 = 1614 + 2(h + 2)t2 h2 + 4_|0，设线段MN的中点的横坐标是七，则x = 土% =)，设线段PA的中点的横坐标是x，则322(1+12)4，由题意得 x = x ，即有 t2 + (1+ h)t +1 = 0，其中的 = (1+ h)2 4 0, h 1 或 h 3 ；当h 3时有h + 2 0,4 - h2 0不成立；因