上海北郊高级中学数学猜题试题

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2、3已知集合,，且，则集合的非空真子集个数最少为。4在的形状是。 5若是钝角,且,则的值为 。6设，则 。7若二项式的展开式共7项,则展开式中的常数项为_。8直线过椭圆的左焦点和一个顶点，则椭圆的方程为。9函数的零点是 。10某市有6名教师志愿到四川地震灾区的甲、乙、丙三个镇去支教，每人只能去一个镇，则恰好其中一镇去4名，另两镇各一名的概率为。11若棱长为的正方体的八个顶点都在球的表面上，则，两点之间的球面距离为 。12动点在平面区域内，动点在曲线 上，则平面区域的面积为 ；的最小值为 。二、选择题：13若为实数，则下列命题正确的是（ ）（A）若，则（B）若，则（C）若，则（D）若，则14已知方

3、程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是 ( )（A）或 （B）（C） （D）或 15函数的部分图象如图所示，则的值为（A）0 （B）2（C）1（D）16三个实数成等比数列，若有成立，则b的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）三、解答题：17已知函数是R上的奇函数，且最小正周期为。（1）求的值； （2）求取最小值时的的集合。18如图，在四棱锥中，底面是矩形已知（）证明：平面；（）（文）求异面直线与所成的角的大小；（理）求二面角的大小。19设为奇函数，为常数。（1）求的值；（2）判断在区间（1，）内单调单调性，并证明你的判断正确；（3）若对于区间3,4上的每一个的值，不等式恒成立，求实数

4、的取值范围。20已知两点和分别在直线和上运动，且，动点满足： (为坐标原点)，点的轨迹记为曲线。 ()求曲线的方程，并讨论曲线的类型； ()过点作直线与曲线交于不同的两点、，若对于任意，都有为锐角，求直线的斜率的取值范围。21设数列的前项和为，对一切，点都在函数 的图象上。(1) 求数列的通项公式；(2) 将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（），（，），（，），（，）；（），（，），(，），（，）；（），分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值；（3）设为数列的前项积，若不等式对一切都成立，求的取值范围参考答案：一、填空题：12 2 32 4直角

5、三角形 5 60 760 8 9 10 1112；二、选择题：13B 14D 15D 16C三、解答题：17解：（1）函数最小正周期为，且，2分又是奇函数，且，由f(0)=0得5分 (2) 由(1)。6分所以，10分当时，g(x)取得最小值，此时，解得12分所以，取得最小值时的集合为14分18解：（）证明：在中，由题设可得于是.在矩形中，.又，所以平面（）解：由题设，所以（或其补角）是异面直线与所成的角.在中，由余弦定理得由（）知平面，平面，所以，因而，于是是直角三角形，故所以异面直线与所成的角的大小为（）解：过点P做于H，过点H做于E，连结PE因为平面，平面，所以.又，因而平面，故HE为PE

6、再平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知，从而是二面角的平面角。由题设可得，于是再中，所以二面角的大小为19解：（1） （2）单调递增 （3）m-9/820（I）由，得是的中点. 2分设依题意得:消去，整理得4分当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；当时，方程表示圆 5分（II）由，焦点在轴上的椭圆，直线与曲线恒有两交点，因为直线斜率不存在时不符合题意,可设直线的方程为，直线与椭圆的交点为.7分要使为锐角，则有9分即，可得，对于任意恒成立.而，所以满足条件的的取值范围是.12分21解：（1）因为点在函数的图象上，故，所以令，得，所以；令，得，所以；令，得，所以由此猜想

7、：2分用数学归纳法证明如下： 当时，有上面的求解知，猜想成立 假设时猜想成立，即成立，则当时，注意到， 故，两式相减，得，所以由归纳假设得，故这说明时，猜想也成立由知，对一切，成立 5分另解：因为点在函数的图象上，故，所以 令，得，所以；1分时 时得2分令，即与比较可得，解得因此又，所以，从而5分（2）因为（），所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），. 每一次循环记为一组由于每一个循环含有4个括号， 故 是第25组中第4个括号内各数之和由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20. 同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80. 注意到第一组中第4个括号内各数之