电路理论第三册端口网络与均匀传输线第一章网络的状态变量分析法

1、第三部分端口网络与均匀传输线第一章分析法第一章网络的状态变量分析法引言动态网络的时域分析与复频率分析主题：建立联系输出(响应)输入(激励)关系的方程局限性：电容电压和电感电流在动态网络分析中的特殊地位状态的初步概念状态变量分析法借助于一组辅助变量(状态变量)，建立联系状态变量-输入的方程(状态方程)状态变量；输入-状态变量-输出三者关系的方程(输出方程)输出一组代数方程，便于计算机辅助求解；（2）容易推广到非线性和时变网络。1-1 一些有关的概念n变量代换含n个方程的一阶微分方程组dt2d2ydt2 dy +pdt+qy =f dx1 dtx2 0qx10 x2 +1fx =y= dyx112

2、dx1 =x22y=10 x2+ 0 fdtdt12dx2= qxpx +fdt12X=AX+BFY=CX+DF一些有关的概念 Y=CX+DF方程的特点问题：1）方程中的x代表电路中的哪些变量？2）怎样列写这样的一阶微分方程组？状态与状态变量 状态的一般概念系统中一组变量的数据X(t)=x1(t)x2(t)xn(t)T1）对任一时间t1，由t1时的这组数据X(t1)和从t1开始的输入，能唯一确定任一tt1时的数据X(t)；系统中一组变量的数据X(t)=x1(t)x2(t)xn(t)T1）对任一时间t1，由t1时的这组数据X(t1)和从t1开始的输入，能唯一确定任一tt1时的数据X(t)；2）t

3、时刻的这组数据连同t时刻的输入(有时可能为输入的某个导数)能唯一确定系统中任一变量在t时刻的值。电网络中的状态变量：一组独立的电容电压uC(或电荷)和独立的电感电流iL(或磁链)x2(t=t1)(t=t2)0状态空间与状态轨迹x2(t=t1)(t=t2)0 X(t)=x1(t)x2(t)状态空间状态矢量状态轨迹x1状态矢量末端的轨迹例如图，C0)=1V,)=1A求零输入响应的状态轨迹。iL34H+uCuC(t)iL34H+uC13 et + e3tF 1 F12i(t)= 13et -2 5 e3tL88tuc10iL10tuc10iL10uc1t=012t=01iL例如图，uCiL。uc1t

4、=012t=01iL uc10t0tiL+iL0tF34HuC1F12uC(t)13 et + e3t=iL(t)2813 et -82e 53te8华中科技大学 电气与电子工程学院 电路理论课程组状态方程与输出方程概念：联系输入与状态变量的一阶微分方程组X=AX+BF方程的特点：个标量方程只含一个一阶导数项合，除输入外不含任何非状态变量例iL+例F34HuC1F12=1=12dt3iLdC412uC04=044diL dt4= uCdtiL1iL1-1-3状态方程与输出方程X=AX+BF输出方程： 以状态变量和输入表示输出的代数方程Y=CX+DFiL4H3+uC例+iL4H3+uCus=-1

5、+1 uF1C3F12iL3s本章要解决的主要问题状态方程的列写状态方程的列写讨论对象：常态网络不含非独立动态元件的网络状态方程的列写不含下列情况之一(2)仅由电感元件构成的割集(全电感割集)； (3)仅由电压源与电容构成的回路；(4)仅由电流源和电感元件构成的割集；状态变量的数目=动态元件的数 常态树的概念 树包含所有电容支路，而不含任何电感支路。1-2-1状态方程的分析对LTI网络，选择电容电压和电感电流作为状态变量，因此各个标量方程的左边1-2-1状态方程的分析ducC duc =建立包含电容支路的KCL方程dtdiL dtdtLdtc= uL建立包含电感支路的KVL方程只有将KCL所选

6、取的每个割集仅含一个电容支路（单电容割集）； 从方程的右边考虑，所选取的每个割集应尽可能多地 包含电感元件的支路。所选取的每个回路只含一条电感元件的支路（回路）；另外回路应尽可能多地包含电容支路。单电容割集单电感回路基本割集基本回路树（常态树）1-2 状态方程的列写例题i1例1+eSL1L2i2+CuCR1选取常态树和状态变量（uCi1，i2）(2)对每一个由电容树支决定的基本割集，写出KCL方程(2)C duc =iiduc = 1 i 1 idt12dtC1C2(3) 对每一个由电感连支决定的基本电路，写出KVL方程1-2 状态方程的列写1-2-2例题= duc dt= 1 i1 1 i2

7、CC(3) 对每一个由电感连支决定的基本电路，写出KVL方程CCi1例1+eSL1L2i2+CuCR1Ldi1 1 dtL=ucR1i1 eSdi1 dtucR1 iL11=L1L11=L1eSL1LLdi1 2 dtL=ucR2 i2di2uc=dtL2=R1L2 i2状态方程的列写例题i1L1= C例1= CL2i2duc dt1 i1 +eS+di1uc=dtL1=R1L1 i11 eL1 SeCuCR10=1 L1 1 L2uC0=1 L1 1 L2R2=di2uc=dtL2 1u 1 C0R2 L2C0C 1 C0R2 L2C0R1L2 i2 1C 1Ci2dti1i2R1iL11i

8、0 1e+SL1+S0+Si1L1i2L2uR1CR21+u4R3C2i3+Si1L1i2L2uR1CR21+u4R3C2i3+u5Ru5eR4选取常态树和状态变量(2)du1 dt(2)=i1C1du2 dti1i2=+C2C2=+di1= (u u u u Ri )dtdi2= 1452111(u u u Ri )dt45222(3)消去除输入外的非状态变量消去除输入外的非状态变量，就是用状态变量和输入去表示那些非状态变量。u =R (i +i )5512将电容元件用电压源代替，电感元件用电流源代替 RR R u4=4es34 (i1+i2)R3+R4u1R3+R400 R4L1(R3+R

9、4)R4 L2(R00 R4L1(R3+R4)R4 L2(R3+R4)001C1u2 ddti10= 1L10 1L1 1C2a33 1C2a34u2i1+eS+eSi1+eSi1+i2R3i3+u4R4 1L2a43a44i2u101u2 i1 i200C1u2 i1 i200Cu2 ddti10= 1L10 1L11C2a33 1C2a34+i2 1L2a43a44a33= 1 (R1+R5+R3R4 )R3+R4L1L1 a34= a43= 1 L1L2 1 L1L2R3R4 )R3+R4R3R4 )R3+R400R4 L1(R3+R400R4 L1(R3+R4)R4 L2(R3+R4)

10、eSL2 1 (R2+R5+R3R4 )R3+R4例3R1Su+u+CSRguiLR11d dtiLd dti1+ u2 C22iC20m1 1 L1u1= 1 C1gm 1C1R2C11R2C1u1+0eSu21gm+R2C2+1u20R2C220讨论：若受控电流源为ic2，且=1，u1+u2=0状态变量数少于独立的动态元件数例4教材习题2-4(a)guCR1LiLiR2i+SuS= 1(ii )C= i(uR3R i+ u )duc dtCLduc dti= 1i=R2+R3dtLR3iS+R2guC)C1 LSuCd1+gR21uC0uSR3 (R2+R3)C0(R2+R3)CCR3 (

11、R2+R3)C0dt=1iLL+iRiS11iRiSLLL例5教材习题+uSMR1*i1L1R2*i2L2R3L di1+ M= Ri +uR i )1 dtdt1 1212d dti1i2Mdi1d dti1i2dt+L2dt2=R2(i1 i2) R3i2i12i21(R1+R2)L2MR2R2L2+(R2+R3)ML2i12i2=L1L2M2+R2)M 1R2(R2+R3)L1MR+ MuS讨论：若L1L2 M2=0（全耦合）讨论：则detL=0，L1不存在，i1、i2线性相关。状态方程的求解解析解法时域的解法解析解法复频域解法幂级数法矩阵函数的有限项表示法对角线化变换矩阵法X=AX+B

12、F(S1A)X(s)=X(0)+BF(s)则令(S)=(S1A)1状态方程的预解矩阵则X(S)= (s)X(0)+ (s)BF(s) det(S1A)矩阵A的特征多项式方程det(S1A)=0的根称为矩阵A的特征值,状态方程的求解解析法解法复频域解法X(S)= (s)X(0)+ (s)BF(s)由输出方程Y=CX+DFY(S)= C(s)X(0)+ C(s)B+DF(s)零输入响应零状态响应 C(s)B+D=H(S)转移函数矩阵 Y(t)= 1 C(s)X(0)+ 1H(s)F(s)例1对图示电路,列出状态方程,并求解。iL+ 1 uc(0)=134HuC12 FiL(0)1华中科技大学 电气

13、与电子工程学院 电路理论课程组 ddtiL412uCi=1i40L(S+4)12S(S1A)=S- 1 4特征多项式的零点S 1 412(S+4)(S+1)(S+3)(s)=(S1A)1 =S 1 412(S+4)(S+1)(S+3)UC(s)S121 S12I (s) 1 (S+1)(S+3)(S+4)(S+1)(S+3)=S+17/41iL34H+uC 1 F12uc(0)=iL34H+uC 1 F12uc(0)=iL(0)11=UC(s)S12 S12(S+1)(S+3)=I (s)1(S+4) S+17/4LuC(t)1 (S+1)(S+3)UC(s)1 (S+1)(S+3)42 13

14、 et +2(S+1)(S+3)e153te2iL(t)= 1IL(s) 13 8et 5 8e3tt 0讨论：关于网络的固有频率和网络函数的极点Y(S)= C(s)X(0)+ C(s)B+DF(s) C(s)B+D=H(S)det(S1A)(S)=(S1A) 1 =det(S1A)(S1A)的伴随矩阵例2图示电路为一LC振荡电路，耦合电感的付线圈开路，（1）试写出该电路的状态方程（矩阵形式）；（2）欲使此电路产生正弦振荡，K角频率为何值？R2MduuCu ku +12u1+L*Lu12u1cR1i1+ku1CdtcC1 c i 1R11c1 )R2di1 dt1 uC=L1=L M =uu1

15、L1C=uud dtuC 1d dti=R1Ci1 R2C1L1kM L1R2C1uCC0i1 d 1 1+1uCidti1R1CR2C1L1L1R2CC0i1S+ 1+ 1kM1R1CR2CL1R2CC=0S2 +( 1+ 1L1 1S kM)S+ 1=0=0R1C=0R2CL1R2CL1C产生正弦振荡的条件： 1R1C 1+R2C+ kM L1R2CR1M振荡角频率:R1M 1L1Ck= L1(R1+R2)数值近似解法状态方程的特点任一时刻状态变量的变化率由同一时刻的状态变量和输入确定X(0)，F(0)近似t)=X(0)+ (0t=(1+tA)X(0)+ BF(0)t（t步长）X(1t)=

16、AX(1t)+BF(1t)X(2t)=(1+tA)X(1t)+ BF(1t)tX(kt)t)AX(kt)+BF(kt)X(k+1)t= (1+tA)X(kt)X(k+ BF(kt)t非线性网络的状态方程1-4-1状态方程的编写例图示非线性网络中,设i1=f1(1),i2=f2(2)u3=f3(q)u =f (i ),u =f (i )441552状态变量的选择qdq = i1 = 1) f2(2)dtd2 dt34d1 = uu dtd2 dt34= f3(q) (1) eS 1 +S+i 1 +S+i1q+u4+ 2 i2+u3+u5= f3(q) (2)1-4 非线性网络的状态方程dq = f1(1) f2(2)= fd1= fdt(q) 4f1(1) eS= fd2= fdt5f2(2) 1 2f1(1) f2(2)=f3(q) f4f1(1) eS f3(q)f5f2(2) =f(X，W) （范式方程）讨论：以q和作为状态变量列写状态方程时对非线性元件的限制+eS 1 +i1+ 2 i2+uu53u43非线性电容元件应是电荷控制型的，u=fC(q)；非线性电感元件应是磁链控制型的，i