函数奇偶性与奇偶函数图象

1、关于函数的奇偶性及奇偶函数的图象第1页，共12页，2022年，5月20日，11点4分，星期四函数 y = f ( x ) 在定义域 A 内任取一个 x A，且 x A1) 都有 f (x ) = f ( x )2) 都有 f (x ) = f ( x )3) 都有 f (x ) f ( x ) 且 f (x ) f ( x ) 则 f ( x ) 是偶函数则 f ( x ) 是非奇非偶函数则 f ( x ) 是奇函数问题：1）奇偶性在什么范围内考虑的？2）在定义域 A 内任取一个 x , 则 x 一定在定义域 A 内吗？注意：1）奇偶性在整个定义域内考虑；2）定义域若不是关于原点对称的区间，则

2、 f ( x ) 是非奇非偶函数；3）考虑函数奇偶性必需先求出定义域。第2页，共12页，2022年，5月20日，11点4分，星期四例1、判断下列函数是否有奇偶性：1） f ( x ) = 6x 6 + 3x 2 + 1 2） f ( x ) = x 3 + x 5解：此函数的定义域为 R f (x ) = 6 (x ) 6 + 3 (x ) 2 + 1= 6 x 6 + 3 x 2 + 1= f ( x ) f ( x ) 是偶函数解：此函数的定义域为 R f (x ) = (x ) 3 + (x ) 5 = x 3 x 5 = (x 3 + x 5 )= f ( x ) f ( x ) 是奇

3、函数3） f ( x ) = x 2 + 2x + 4 4） f ( x ) = 解：此函数的定义域为 R f (x ) = (x ) 2 + 2 (x ) + 4 = x 2 2x + 4 f ( x ) 是非奇非偶函数解：此函数的定义域为 2 , + ) f ( x ) 是非奇非偶函数第3页，共12页，2022年，5月20日，11点4分，星期四例2：判断函数 f ( x ) = 的奇偶性解：由题4101 函数的定义域为 1 , 0 ) ( 0 , 1 此时 f ( x ) = = f ( x )故 f ( x ) 是奇函数第4页，共12页，2022年，5月20日，11点4分，星期四判定函数

4、的奇偶性的步骤：1）先求函数的定义域；若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为非奇非偶函数若定义域是关于原点对称的区间，进入第二步；2）计算 f (x ) 化向 f ( x ) 的解析式；若等于 f ( x ) ，则函数是偶函数若等于 f ( x ) ，则函数是奇函数若不等于 ，则函数是非奇非偶函数3）结论。第5页，共12页，2022年，5月20日，11点4分，星期四奇偶函数的图象第6页，共12页，2022年，5月20日，11点4分，星期四想一想观察下列函数的奇偶性，并指出图象有何特征？xyoy = x 2 2xyoy = x 3xyoy = x + 1图象奇偶性图 象 特 征（1）（2）（3

5、）奇函数关于原点成中心对称关于 y 轴成轴对称偶函数非奇非偶函数简称关于原点对称简称关于 y 轴对称不关于原点及 y 轴对称第7页，共12页，2022年，5月20日，11点4分，星期四定理：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称；反之，如果一个函数的图象关于原点（y 轴）对称，那么这个函数是奇（偶）函数。此定理的作用：简化函数图象的画法。例3、如图给出函数图象的一部分，用对称法作出下列函数的图象：xyoxyo1）若函数是奇函数2）若函数是偶函数第8页，共12页，2022年，5月20日，11点4分，星期四例4、作出函数 y = x 2 | x | 6 的图象解：当 x 0 时，

6、y = x 2 x 6 当 x 0 时， y = x 2 + x 6 xyo若利用对称法作图：先作出 x 0 的图象再用对称法作出另一半的图象；可知 函数是偶函数第9页，共12页，2022年，5月20日，11点4分，星期四例5、已知 f ( x ) 是奇函数，当 x 0 时， f ( x ) = x 2 2x，求当 x 0 时，f ( x ) 的解析式，并画出此函数 f ( x ) 的图象。xyo解： f ( x ) 是奇函数 f (x ) = f ( x )即 f ( x ) = f ( x )任意取x 0 时，则 x0 x0时 f ( x ) = x 2 2x f ( x )= (x ) 2 2(x ) = x 2 + 2x f ( x ) = f ( x ) = （x 2 + 2x ）第10页，共12页，2022年，5月20日，11点4分，星期四例6、已知 f ( x ) 是偶函数，而且在 ( , 0 ) 上是增函数，问 f ( x ) 在 ( 0 ，+ ) 上是增函数还是减函数？解：设 0 x 1 x 2 + 在所证区间上取值则 x 2 x 1 0 f ( x ) 在 ( , 0 ) 上是增函数 f (x 2 ) f ( x 1 ) f ( x ) 是偶函数 f ( x 2 ) f (