例说借助导数证明函数不等式人教版

1、例说借助导数证明函数不等式用导数证明不等式是一种重要方法，其主要思想是结构协助函数，把不等式的证明转变成利用导数研究函数的单一性或求最值，从而证得不等式；而如何结构协助函数是用导数方法证明不等式的要点，下面举例说明。一、直接作差结构函数例1：求证不等式x2ln(1x)xx2)等建立。x2在x(0,2(1x)证明：令f(x)ln(1x)(xx2),补充定义f(0)=0.2f(x)11xx2101xxyf(x)在0，）上单一递加。当x，）时，f(x)恒建立ln(1x)x2(1)2令g(x)xx2ln(1x),补充定义g（0）0，则2(1x)g(x)14x24x-2x2-12x204(1x)21x4

2、(1x)2g(x)在)上单一递加。0,当x，）时，xx2-ln(1x)恒建立。（）2(1x)故由（1）、（2）可知，x(0,)时，不等式xx2ln(1x)x-x2建立22(1x)议论：一般的，用导数证明不等式时要注意所结构的函数在区间端点处能否连续，即能否要补充函数在端点处的定义；其他要注意用到一个结论：设函数f(x)在区间a,+)上连续，在区间(a,+)内可导，且f()0;又f()0,则xa时，f(x)0。xa例2：，证明不等式：log2x(1x)log2(1x)1；证明：（1）对函数f(x)求导数：()(log)(1)log(1)fxx2xx2xlog2xlog2(1x)11.log2xl

3、og2(1x).1)ln2ln2于是f(0.2当x1时,f(x)log2x2当x1时,f(x)log2x21因此f(x)在x时获取最小值，2log2(1x)0,f(x)在区间(0,1)是减函数，2log2(1x)0,f(x)在区间(1,1)是增函数.f(1)212议论：.若f(x)，g(x)差函数为非单一其差有极大值或极小值，用导函数求其极大值、极小值，从而证明不等式。二、依照题目自己特点结构函数1、变形（代换、比商等）后再作差结构函数例3，若x(0,),求证x1lnx111xx证明：令11t,x0，t1,x1.xt-1则原不等式11lntt-1，令f(t)t1lnt，f(t)11ttt(1,

4、),f(t)0,f(t)在t(1,)上为增函数。f(t)f(1)0,t1lnt.令g(t)lnt11,g(t)11t1,ttt2t2t(1,),g(t)0,g()在t(1,)上为增函数。tg(t)g(1)0,lnt11,t1x11x1ln.xx1议论：(1)代换作用：本题设代换xt1,0 x值代换为可取到的t=1,把原来要研究函数在x实质上就是把原来取不到的x=0处的值，等价为研究函数在t=1处的值；1则ln(1111x1(2)若令tx)即为例（21）之特例，想一想ln如何证？xxx1x2、用分别变量的思想结构函数例4若e,证明证明：原题等价于lnln,设f(x)lnx,x当xe时，f(x)1lnx0,当xe时，f(x)单一递减，x2lnln.e,即lnln说明：本题结构的方式不是直接作差或作商，而是依照题目的特点先用分别变量的方式将两个变量分别变形到式子的两边再结构函数。3、端点变量法结构函数例5若g(x)=xlnx,0b,则0g(a)+g(b)-2g(ab)F(a)=0,xxax)(axb).即00时，G(x)0,即当x0时，G(x)是减函数，g(b)G(a)=0,即g(a)+g(b)-2g(ab)(b-a)ln2.2议论：一般的利用协助函数证明