二次函数与圆的综合

1、二次函数与圆的综合5. (2012济南)如图1,抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A (-3, 0), B (- 1, 0), 与y轴相交于点C, OG1为 ABC的外接圆，交抛物线于另一点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求cosN CAB的值和0Gl的半径；(3)如图2,抛物线的顶点为P,连接BP, CP, BD, M为弦BD中点，若点N在坐标平 面内，满足 BMN- BPC,请直接写出所有符合条件的点N的坐标.图1图2考点：二次函数综合题.分析：(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)如答图1所示，由 AGC为等腰直角三角形，确定N CAB=45,从而求出其三 角函数值；由圆

2、周角定理，确定 BG1C为等腰直角三角形，从而求出半径的长度；(3)如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点D坐标，进而求出点M的 坐标和线段BM的长度；点B、P、C的坐标已知，求出线段BP、BC、PC的长度； 然后利用 BMN- BPC相似三角形比例线段关系，求出线段BN和MN的长度； 最后利用两点间的距离公式，列出方程组，求出点N的坐标.解答：解：(1) ;抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A (-3, 0), B (-1, 0),.pa - 3b+3=0,a-b+3=0 ,解得 a=1, b=4,抛物线的解析式为：y=x2+4x+3.(2)由(1)知，抛物线解析式为：y=x2

3、+4x+3,令 x=0,得 y=3,. C (0, 3),GC=GA=3,则 AGC为等腰直角三角形，. N CAB=45,. cosZ CAB= 22在RtA BOC中，由勾股定理得：BC= _；2 + 3匕V如答图1所示，连接O1B、01G由圆周角定理得：Z BO1c=2Z BAC=90,. BO1c为等腰直角三角形，二。1的半径 OFuMbCm v亏.12(3)抛物线 y=x2+4x+3= (x+2) 2-1,顶点P坐标为(-2,-1),对称轴为x=-2.2对称.3)关于对称轴对称，又 A (- 3, 0), B (- 1, 0),可知点A、B关于对称轴x= 如答图2所示，由圆及抛物线的

4、对称性可知：点D、点C (0, D (-42对称.3)关于对称轴对称，又丁点M为BD中点，B (- 1, 0),. M ( 一龙，卫)，2 2. BM=. BM=在 BPC 中，B (- 1, 0), P (-2,- 1)_C (0, 3),_ 由两点间的距离公式得：BP=.，BC= W, PC=2,尺 BMN- BPC,，即融旦BP EC PC V2 VIo 2y解得：BN= 10，MN= 3,-. TOC o 1-5 h z 设N (x, y),由两点间的距离公式可得： 产2(肝 1)，二；芯中+ (厂|)=0，. CO=4, AO=8, BO=2, A (- 8, 0), B (2, 0

5、), C (0, 4),:抛物线y=ax2+bx+c过点A, B, C三点，. c=4,由题意得：4a+2b+4=0由题意得：64a- 8b+4=0,1解得：b=解得：b=4抛物线的解析式为：y= - 1x2-抛物线的解析式为：y= - 1x2-旦+4； X ，设直线DC交x轴于点F,. AOS ADCAD=AO=8, OCII AD,. FOCs FAD, O F O C-,AF AI)8 (BF+5) =5 (BF+10),BF= IP, F (M 0)；33设直线DC的解析式为y=kx+m,-k+nF0解得：、ni=4,直线DC的解析式为y=-1+4,4-(X+3) -(X+3) 2+4

6、25.得顶点E的坐标为（-3,争将E （- 3,孕）代入直线DC的解析式y=-条+4中,44右边二-x （- 3） +4= 2左边，44,抛物线顶点E在直线CD上；(3)存在，P1 (-10,- 6), P2 (10,- 36). A (- 8, 0), C (0, 4),过A、C两点的直线解析式为y=lx+4,2设过点B且与直线AC平行的直线解析式为：y=x+b,把B (2, 0)代入得b=- 1,直线PB的解析式为y=L-1,2r i i2，解得产一 ，2 (舍去)，产一工2_区+4I尸-61产。 Pi (- 10,- 6).求P2的方法应为过点A作与BC平行的直线，可求出BC解析式，进而

7、求出与之平行的直线的解析式，与求 Pi 同法，可求出 X= - 8, yi=0 (舍去)；乂2=10, 丫2= - 36. P2 的坐标(10,-36).点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质，点与函数的关系， 直角梯形等知识.此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思 想的应用.(2011 .潍坊)如图，y关于x的二次函数y=-j (x+m) (x - 3m)图象的顶点为M, 3m图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点.以AB为直径作圆，圆心为C.定点E的坐标为(-3, 0),连接ED. (m0)(1)写出A、B、D三点的坐标；(2)当m为何值时

8、M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系；(3)当m变化时，用m表示AAED的面积S,并在给出的直角坐标系中画出S关于m的 函数图象的示意考点：二次函数综合题.专题：压轴题；分类讨论.分析：(1)根据X轴，y轴上点的坐标特征代入即可求出A、B、D三点的坐标；(2)待定系数法先求出直线ED的解析式，再根据切线的判定得出直线与圆的位置 关系；(3)分当0Vm3时两种情况讨论求得关于m的函数.斛目：解：(1)令 y=0,则-(x+m) (x - 3m) =0,解得 x1= - m, x2=3m；3m令 x=0,则 y= -(0+m) (0 - 3m) =： 3m.31n_故 A (-m, 0),

9、 B (3m, 0), D (0, .；3m).(2)设直线ED的解析式为y=kx+b,将E (-3, 0), D (0, ：?由)代入得: f - 3k+b=0解得，k=-y 1p b= /Im.直线ED的解析式为y=_?mx+ : 3m.3将 y=-二(x+m) (x - 3m) 化为顶点式：y= - (x - m) 2+-.3m3m3顶点M的坐标为(m, Um). 代入 y= _Jx+ :却得：m2=m33v m0,，m=1.所以，当m=1时，M点在直线DE上.连接CD,_C为AB中点，C点坐标为C (m, 0).v OD=.飞,OC=1,. CD=2, D点在圆上又 v OE=3, D

10、E2=OD2+OE2=12,EC2=16, CD2=4,二 CD2+DE2=EC2.乙 EDC=90直线ED与。C相切.(3 - m)(3)当 0m3 时，当 m3 时，SA aed=AE. OD=(m - 3).即5=m.S关于m的函数图象的示意图如右:点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有X轴，y轴上点的坐标特征，抛物 线解析式的确定，抛物线的顶点公式和三角形的面积求法.注意分析题意分情况讨论 结果.(2011邵阳)如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A (-微，0),点C (0, 3),点B是x轴上一点(位于点A的右侧)，以AB为直径的圆恰好经过点C.(1)求N ACB

11、的度数；(2)已知抛物线y=ax2+bx+3经过A、B两点，求抛物线的解析式；(3)线段BC上是否存在点D,使ABOD为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的考点：二次函数综合题.专题：综合题.分析：(1)根据直径所对的圆周角是直角可以得到N ACB的度数.(2)利用三角形相似求出点B的坐标，然后把A, B两点的坐标代入抛物线求出抛 物线的解析式.(3)分别以OB为底边和腰求出等腰三角形中点D的坐标.解答：解：(1) :以AB为直径的圆恰好经过点C,. N ACB=90.: AOC- COB,一 OC2=aoob,. A (- , 0),点 C (0, 3),4 RO3, 0c=3,又 CO2=AOOB, . 一2 9f- 3 qOB， 0B=4,. B (4, 0)把A、B、C三点坐标代入得产-,+3.(3)0D=DB,如图：D在0B的中垂线上，过D作DHL0B,垂足是H,则H是0B中点.DH=-1 g。的|出BD=B0