复变函数总结

1、第一章 复数1i2=-1i 1欧拉公式z=x+iy实部Re z虚部Im z运算 z z Rez RezImz Imz121212 z z z z Re z z Im z 1212121212z z1 2 x iy11xiy22 x x 1ix y1ix y2y y12x x y y121i x y1x y21zz zx y yy xx y1 12 1 2 112 i1212zzz22xiy2xiy22x 2 y222x 2 y222z x iy共轭复数 z z iy iy x 2 y2共轭技运算律P1页代数，几何表示z x iyzy一一对应，与向量一一对应辐角 当z0时，向量z和x轴正向之间的

2、夹角，记作z=0 2kk=123把位于- 的 叫做Arg z =arg z0000如何寻找arg z 例：z=1-i4z=i2z=1+i4z=-1极坐标： x rcos ， y rsinz x iy rcos i sin利用欧拉公式 ei cos i sin可得到z reiz z r eir e r ri e r ri e12e1e112121 21 21e1高次幂及nz n z z z z r n ein r n n i sin n n z凡是满足方程 n z 的值称为zn n zz rei 2k n即rn1 rn 2k n 2kn第二章解析函数1 极限函数极限 复变函数对于任一ZD都有W

3、与其对应 fz注：与实际情况相比，定义域，值域变化例f zlim f zz z0zz0f 当z z0时以A当 f 时，连续0例1证明f z在每一点都连续f z f 0 zz0z zz z0z z0f z 在每一点都连续导数df z zf z df z zf z0 limzz00z z0z z0例2fzC时有0证：对有f z fz limC 0所以 0z0zz0z3f z 不可导解：令 z z0f z f z0z z0z zz z0 z z0z z0 x iyx iy当 0 时，不存在，所以不可导。f z uxy y在z x iy 处可导 u，vy处可微，且满足C-Ru vu vf zu i v

4、xyyxxx4f z 不可导解：fz z xiy其中ux,y xy yu,v关于x,y可微u 1v 1不满足C-R条件所以在每一点都不可导xy例5f z Rez解：fz Rez xux,y xy0u 1 0不满足C-R条件所以在每一点都不可导xy例6：f z z2解：fz z 2 x2 y2其中ux,y x2 y2y0根据C-R2x 0,2 y 0 x y 0所以该函数在z 0 处可导4 解析f 在z f 在z 处解析。00用C-Ru,v四则运算f g f gf f g kf z nzn1f g f g f g ez ez f f g f gg2 g2g例：证明f ezez ez解： f e

5、z e x cos y ie x sin y则ux,y ex cos yy e x sin yu e x cos y e x cos yxyuv ex sin y ex sin y任一点z xiy 处满足C-Ryx所以ez处处解析f z i ex cos y ie x sin y e zxx练习：求下列函数的导数f z z 2 z解f z z 2: z 2 y 2 iy x3 ix 2 y xy 2 iy 3 x3 xy 2 2 y y 3 ux, y x 3 xy2y x 2 y y3所 以 u 3x 2 y2xv x 2 3y 2yu 2xy 2xyC-R 方 程 可 得yuv3x2 y2

6、 x2 3y2xyu 2xy v2xy x y 0yx所以当z 0 f 0初等函数常数指数函数 e z e x cos y i sin y121定 义域 e z ez e zz e z e z i sin e z 121ez ez对数函数 称满足z e 的 叫做z 的对数函数，记作 ln zn zn z目标：寻找 arg幅角主可用：z ez rei u iv过程：z rei e euiv eu eiv rei r eu ,ei eivu lnr,v 2kk 所以uiv lnr 2klnr lnz z2kk 例：求i的值1 ln1 2ki k i4i ln1i i2k 1ln2i 2kk arg

7、i 2424 2Lni lni i 2k1i 2 2k k 幂函数 对于任意复数 z 0时 z eLnz1：求i1i 的值 e2k 2k e解：i1i eln i1k e1i e1i i iArg e 2 2例2：求 1 3iln 1i 3 i3iln 1i3i 2 ln 2i 4 2k 1ieee三角函数cos y cos y eiy cos y isin yeiy2eiy cos y i sin ysin y eiyeiy2i定义：对于任意复数z x iy ，由关系式可得z 的余弦函数和正弦函数cos z eiz eizsin z eiz eiz2例：求ii解 ： 1 sin1ei 1i2

8、iei 1i1cos5 ei 5i2ei 5i第三章复变函数的积分1 复积分Cf z uxy yC续 ， 则 f z ux, y y在C上 可 积 ， 且 有 f C iCux, ydy vx, ydx注：C是线方式跟一元一方法一：思路：复数实化把函数 f z u iv 与微分dz dx idy 相乘，可得 f C iCux, ydy vx, ydx方法二：参数方程法核心：把C参数C： t fzdz ztztdtC例：求 zdz：1i的直线段011；1C2 1iC解：C： t it0 t 1itzdz 1t itt 1t1i1idt 1itC00C : t0 t 11C: 1it0 t 12z

9、dz zdz zdz 1tdt 11itdt 12 1 i 1 i2CCC1200 结果不一样2 柯西积分定理1idz n 10C zan0n 1C：以a，为半径的圆，方向：逆时针解 ： C ： z a eiz x iy0 12 21 dz ei n dz iei dCz a n0i20ei n1n 1n1e 1n i d 1n 20n 0n 1 积分与路径无关：单联通 处处解析 2 8z ，其中 C 是连接 Oa的摆线：Cx siny cosLCf 2z2 8z 1则C2z2 8z 1 dz 0即 2z2 8z1dzC2z2 8z 1 dz把函数沿曲线C 的积分化为沿着直线段L 上的积分。由

10、于 8 2z 2 8z 1dz L02x8x1dx 2a2 13故 2z2 8z1dz 2C3 1关键：恰当参数 合适准确带入3定义 设函数 f z在区域 D 内连续，若 D 内的一个函数z满足条件z fzz D定理 若可用上式，则zz0f z0z,zD0例： 计算 i ez dz0解： i ezdz ez i0 ei 1练习：计算 2i ze3z 21dz22i12i 12i 12ze3z2 1dz 2 2e3z 2 1d z26 2e3z 2 1d 3z 1 24 柯西积分公式定理 处处解析 f z 在简单闭曲线 C 所围成的区域内则fa1f zdz2 i1C z aez 1dzz z解：

11、ez 1ez 1z 1dz dz ez 1zz z 0 0z 02sin zdzz 2 z 2 1sin zz 2 z 2 1dz 1sin z dz 12z 2 z12sin zdz isin1z 2 z 1例3：zdzz 2 9 z2 z7解：22dz z9 2 dz z 22z 29 z z 2 z i9 zzi5f z1 f dz D2i C z注：Cz D1一次分式 z找到fzf在D内处处解析4z 2sin z z2zz 1dz解z 2：sin z z2zz sin zzsin z z 2dz 2dz 2isin z zsin z z isin1 1z 2z 1z 2z02z2z 0

12、解析函数的高阶导数公式：f nzf dz Dn=1，22iC z n1应用要点： z D 1 n z n1精准分离f zn1sin zdzZ 1 2z 3 sinzdz2dzz 1z 0 21i sin z 2z 0 0调和函数gxy满足g 2 2 2 2 0 则称gxy叫做Df z uxy y在D所以 2u 2u 2 v 2 v 02把u, v 称为共轭调和函数第四章 级数理论1n距离dz,z n1谈极限对 若有 zD使得d , z zz0n0n0n0n 此 时 z0为n 的极限点 记作 z0 lim znn或z zn0n 推广：对一个度量空间x, d 都可谈极限2 极限的性质z zn0n0

13、z n z00 n znz znz00nzn 0nn0 0n0z xiy z x iy nnn000 x x n0n y yn0n级数问题Sn z1 z2 z3 znSn部分和数列若 lim Sn S z0nn1则 收敛，反之则发散。n性质：1若z都收敛，则z z 收敛nnnnnn2 若一个收敛，一个发散，可推出发散3 Sn S0S n1 S0S若a a绝对收敛nn若a但a 收敛，为条件收敛nnSn z z z z 1 zn1 Szz时收敛，其他发散 n1 z幂级数n0C z z nn00 z z则0n0C n0 求收敛域 n 0CnCn1Cn 10 R 0 0 例：求n1z n 的收敛半径及

14、收敛圆n解：因为lim limn1所以级数的收敛半径为R=1，收敛圆Cn1C为 z Cn1Cnnn n 1泰勒级数0泰勒定理设函数f在圆K：zz R内解析则f在K内可展成幂级数0fz n0C z z nn0其中，Cnf 0n!（n=0,1,，且展式还是唯一的。例 1f e z 在z 0 处的泰勒展式解 ：f ez 在全平面上解析，f ez，f 0 1所以在z 0 处的泰勒展式为z2zne z 1 z n!z 2f 1 展成z i 的幂级数1 z 2解 111：1 z i z in1f z nz i 1 z 221 z1 i z i 1 2 1i 1i 罗朗级数罗朗定理若函数f在圆环D：r zz

15、 r R内解析，0则当zDf z C z z nn0其中C1nfd n z0n1例：将函数f z 1在圆环（1）1 z 2（2）2 z z 2z2z21z（）在1z2内，由于1z1，所以f z 11111z 2z2z11 z1 1 1 z 1 1 2zzn12n02n z n02n1n0z n11z2z（2）在2 z 内，由于1z2z1，所以f z 1111 11z 2z2z11 z 1 11 2 1 1 zz2n1 zn0 zznzzn n 孤立奇点定义：若函数fz在z 的去心邻域0 zz R内解析，00z 点不解析，则称z f 的孤立奇点。00sinzz2z4z2n例：1 1n z 0为可

16、去奇点z2n 1 !sinz1zz2n3 1 n1 z 0为一级极点z2z2n1!sin 1 1 1 1n1 1z 0为本性奇点zzz32n 1! z2n15（残数）f 以有限项点z f z 的去心邻00域0 z z0处的留数 R1i f zdz 的值为函数 f z在点 z0Re sf z01i f zdz其中，C: zz R，C的方向是逆时针。01f z sin z 在z 1处的留数。z4 1z 4 1z 1为一级零点，而sin1 0 f zz 1为一级极点。Resf sinz sinz4z3z 1 sin14z4 1z2f z e z 1 z 0 z 0 f 的本性奇点，因为z1 z11z

17、2zn111 111f z ez eze 1 z 10 z n1!zz2zn所以C 1 1 1 1 n 1! 可得Resf1 1 1 1 第7章傅里叶变换n 1通过一种途径使复杂问题简单化，以便于研究。定义：对满足某些条件的函数 f在,上有定义，则称F f teitdt为傅里叶变换。同时f f d为傅里叶逆变换注：傅里叶变换是把函数 f t 变为函数F 傅里叶逆变换是把函数F 变为函数 f t 求傅里叶变换或傅里叶逆变换，关键是计算积分两种常见的积分方法：凑微分、分部积分1dx edex 0sin7x 1 sin7x 1 771 1 e3 x2 3xe3x23dx e3x23d xe3x23d 3x 3 266 x3exdx x3ex exdx3 x3ex 3ex x2dx x3ex 3 ex x 2 exd x 2 x3ex 3ex x2 6ex x3ex 3ex x 2 6 xex exdx x3ex 3ex x 2 6xe x 6ex x2 sin xdx x2 sin x sin xd x2 x2 sin x 2x x2 sin x 2 x sin x sin xdx x2 sin x 2x sin x 2 cos xu vdx u v udv01：求 f 0F f teitdtt s ts的F s 0eitdt s1eitdt 0eitdtss i解：is e