费米狄拉克统计

1、费米狄拉克统计编辑维基百科，自由的百科全书（重定向自费米-狄拉克统计费米-狄拉克统计（英语:Fermi Dirac statistics），有时也简称费米统计、FD统计，在统计力学 中用来描述由大量满足泡利不相容原理的费米子组成的系统中，粒子处在不同量子态上的统计规律。 这个统计规律的命名来源于恩、里科费米和保罗狄拉克，他们分别独立地发现了这一统计规律。不 过费米在数据定义比狄拉克稍早。晰2费米-狄拉克统计的适用对象是，热平衡时自旋量子数为半奇数的粒子。除此之外，应用此统计规律 的前提是，系统中各粒子之间的相互作用可以忽略不计。这样，就可以用粒子在不同定态的分布状况 来描述大量微观粒子组成的宏

2、观系统。不同的粒子分处于不同的能态上，这一特点对系统许多性质会 产生影响。费米-狄拉克统计适用于自旋量子数为半奇数的粒子，这些粒子也被称为费米子。由于电 子的自旋量子数为1/2,因此它是费米-狄拉克统计最普遍的应用对象。费米-狄拉克统计是统计力 学的重要组成部分，它利用了量子力学的一些原理。目录K刍蒲1B隐7藏1概述 2历史 3费米-狄拉克分布03.1粒子的能量分布 4量子范畴和经典范畴 5参考文献 6相关条目概述编辑!状态1状态2状态3AAAAAA服从F-D统计的两个粒子在三重简并态下的分布根据量子力学，费米子为自旋为半奇数的粒子，其本征服从F-D统计的两个粒子在三重简并态下的分布在能量为的

3、能级上同时有”：个粒子存在着，不难 想象，当从宏观观察体系能量一定的时候，从微观角度观察体系可能有很多种不同的分布状态，而且 在这些不同的分布状态中，总有一些状态出现的几率特别的大，而其中出现几率最大的分布状态被称 为最可几分布）时，体系总状态数为：费米-狄拉克统计的最可几分布的数学表达式为:由于费米-狄拉克统计在数学处理上非常困难，因此在处理实际问题时经常引入一些近似条件，使费米-狄拉克统计退化成为经典的麦克斯韦-玻尔兹曼统计。此外，对于玻色子，也有 对应的玻色-爱因斯坦统计予以处理。历史编辑1926年发现费米-狄拉克统计之前，要理解电子的某些性质尚较为困难。例如，在常温下，未施加电流的金属

4、内部的热容比施加电流的金属少了大约100倍。此外，在常温下给金属施 加一强电场，将造成场致电子发射(Field electron emission)现象，从而产生电流流经金属。研究发现，这个电流与温度几乎无关。当时的理论难以解释这个现象。3 当时，由于人们主要根据的是经典静电学理论，因此在诸如金属电子理论等方面遇到的困难， 无法得到令人满意的解答。他们认为，金属中所有电子都是等效的。也就是说，金属中的每 个电子都以相同的程度对金属的热量做出贡献(这个量是波尔兹曼常数的一次项)。上述问 题一直困扰着科学家，直到费米-狄拉克统计的发现，才得到较好地解释。1926年，恩里科费米、保罗狄拉克各自独立地

5、在发表了有关这一统计规律的两篇学术论文。m。另有来源显示，P 乔丹(Pascual Jordan)在1925年也对这项统计规律进行了研究，他称之为“泡利统计”，不过他并未及时地发表他的研究成果。回狄拉克称此项研 究是费米完成的，他称之为“费米统计”，并将对应的粒子称为“费米子”。1926年，拉尔夫福勒在描述恒星向白矮星的转变过程中，首次应用了费米-狄拉克统计的原理。冏1927年，阿诺索末菲将费米-狄拉克统计应用到他对于金属电子的研究中。6。1928年，福勒和LW 诺德汉(Lothar Wolfgang Nordheim)在场致电子发射的研究中， 也采用了这一统计规律。E直至今日，费米-狄拉克统

6、计仍然是物理学的一个重要部分。费米-狄拉克分布编辑根据费米-狄拉克分布，给定费米子组成的系统中处于量子态上的平均粒子数可以通过下 面的式子计算四 其中广是波尔兹曼常数，J为绝对温度（热力学温波），为量子态：上单个粒子的能n T = 0/量， 是化学势。当、时，化学势就是系统的费米能。半导体中电子的费米能，也被被称为费米能级。伽m要应用费米-狄拉克统计，系统必须满足一定的条件：系统的费米子数量必须足够大， 以至于再加入一个费米子所引起化学势打的变化可以忽略不计。m由于费米-狄拉克 统计的推导过程中利用了泡利不相容原理，即单个量子态上最多能有一个粒子，这样的结果就是某个量子态上的平均量子数满足-o

7、陷 费米-狄拉克分布平均粒子数和能量的关系，当温度丁较高时，平均粒子数，七,的变化更加平缓。当户，：i：,1-io不过，图中未能展现，当温度I更高时，/会下降。13平均粒子数和温度的关系（当 .-,）（点击图片可以获得完整尺寸）平均粒子数和温度的关系（当 .-,）（点击图片可以获得完整尺寸）粒子的能量分布编辑Result： Occupalicin Functiailj F (unitless)14 results Paiameler$.Cl&arSimLilaliori *1 f Tempera- SOKT 二N = O.b5eV当，邛）eN = O.b5eV当，温度在50开尔文与375开尔文

8、之间取离散值时，费米函数）和能量值 之间的关系曲线。前面的章节叙述了给定费米子系统在不同量子态上的分布，一个量子态上最多只能具有一个费米子。利用费米-狄拉克统计，还可以获得费米子系统不同能量值上的分布情况， 这与分析量子态的原理略有不同，因为可能出现多个定态具有同一能量值，即出现所谓 的简并能量态情况。将费米-狄拉克统计中某个量子态上的平均粒子数”与简并度”（即能量值为、的量 子态数）相乘，就可以得到能量为L的平均费米子数。网祯&）=现瓦= 虫棚-时片丁 + 1当&二J时，可能出现5 。导致这个现象的原因前面提到过，即具有同一个能量值的粒子可能处于不同的定态，也就是说完全可能出现多个粒子处于

9、同一能量值o当一个系统的能量是准连续（quasi-continuum ）的，定义其单位体积内单位能量 域的量子态数为状态密度。网，单位能量域的平均费米子数为N（）= g（）F（）这里：被称为费米函数，它与前面用来表达量子态”；上粒子数分布的函数具有相同的形式。gF 仕）=E/kT +1故卸（时=+ 1量子范畴和经典范畴编辑如果经典范畴中涉及的位移、动量之间的关系还远未达到不确定性原 理所设定的极限，诵常可以采用麦克斯韦-玻尔兹曼统计来代替费米 -狄拉克统计，这样做可以简化数学计算的难度。如果粒子平均间距 A远大于粒子的平均物质波波长人，就可以采用上述经典范畴的处理方式。网- hRA R -1-

10、/3mkT这里,L为普朗点常数，门为粒子的质量对于常温(约300开尔文)下金属中的电子，由于=Z,因此该系统远离经典范畴。这是因为电子质量较小，并且在金属 中聚集程度较高。这样，为了分析金属中的传导电子，必须采用 费米-狄拉克统计。网由恒星演变而来的白矮星，是另一个不属于经典范畴、必须采用 费米-狄拉克统计的例子。尽管白矮星的温度很高(其表面温度 通常能达到10,000开尔文m)，但是它内部高度聚集的电子和 每个电子的低质量，使得处理这问题必须采用费米-狄拉克统计， 而不能用经典的波尔兹曼统计近似处理。5参考文献编辑八 诟订 Fermi, Enrico. Sulla quantizzazion

11、e del gas perfettomonoatomico. Rendiconti Lincei. 1926, 3: 145-9 (Italian) ., translatedas Zannoni, Alberto (transl.). On the Quantization of the MonoatomicIdeal Gas. arXiv:cond-mat/9912229 cond-mat.stat-mech, 1999-12-14.八 252? Dirac, Paul A. M. On the Theory of Quantum Mechanics.Proceedings of the

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16、. ISBN978-0-7167-1088-2.a Reif, F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. McGraw - Hill. 1965. 340 - 2. ISBN 978-0-07-051800-1. TOC o 1-5 h z 而Ia值得注意的是,同时也是量子态被粒子占据的概率，由于一个量子0 1态最多同时被一个粒子占据因此有。a Kittel, Charles. Introduction to Solid State Physics 4th. New York: JohnWiley & Sons. 1971.245,

17、 Figs. 4 and5. ISBN 0-471-14286-7.Oefce 300039591.八赤宓 Leighton, Robert B. Principles of Modern Physics. McGraw-Hill.11959: 340. ISBN 978-0-07-037130-9.Note that in Eq. (1), and correspond respectively而讯q)to andin this article. See also Eq. (32) on p. 339.a Reif, F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. McGraw - Hill. 1965. 389. ISBN 97