变化率问题和导数概念

1、关于变化率问题与导数的概念第1页，共15页，2022年，5月20日，3点4分，星期四问题1.气球平均膨胀率.吹气球时,会发现:随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢,能从数学的角度解释这一现象吗?解:可知:V(r)= r3 即：r(V)= 当空气容量从增加时，半径增加了 r(1)r(0)= 0.62 气球平均膨胀率： 第2页，共15页，2022年，5月20日，3点4分，星期四问题1.气球平均膨胀率.当空气容量从加时，半径增加了 r()r()= 0. 气球平均膨胀率： 可以看出，随着气球体积变大，它的平均膨胀率变小 思考：当空气容量从V1增加到V2 时,气球的平均膨胀率是多少呢?第3

2、页，共15页，2022年，5月20日，3点4分，星期四问题2.平均速度.物体自由落体的运动方程是: S(t)= gt2, 12求s到s时的平均速度 解： S2S1= =14.7t2t1= 1V = 第4页，共15页，2022年，5月20日，3点4分，星期四问题2.平均速度.思考：求t1s到t2s时的平均速度 V = 第5页，共15页，2022年，5月20日，3点4分，星期四平均变化率如果上述的两个函数关系用f(x)表示那么当自变量x从x1变化到x2时，函数值就从y1变化到y2则函数f(x)从x1到x2的平均变化率：它的几何意义是什么呢？第6页，共15页，2022年，5月20日，3点4分，星期四

3、问题：瞬时速度物体自由落体的运动方程是: S(t)= gt2, 12如何求t=3这时刻的瞬时速度呢？ 能否用求平均速度的方法求某一时刻的瞬时速度？ （我们可以取t=3临近时间间隔内的平均速度当作t=3时刻的平均速度，不过时间隔要很小很小） 第7页，共15页，2022年，5月20日，3点4分，星期四问题：瞬时速度物体自由落体的运动方程是: S(t)= gt2, 12如何求t=3这时刻的瞬时速度呢？ 解：取一小段时间：3,3+t = g(3+t)2gV = t(6+t)第8页，共15页，2022年，5月20日，3点4分，星期四问题：瞬时速度解：取一小段时间：3,3+t = g(3+t)2gV =

4、t(6+t)当t 0时，v 3g =29.4（平均速度的极限为瞬时速度） 第9页，共15页，2022年，5月20日，3点4分，星期四瞬时速度：（平均速度的极限为瞬时速度） 即：limt 0S(3+t)S(3)t= 29.4 思考：在t0时刻的瞬时速度呢？limt 0S(t0+t)S(t0)t第10页，共15页，2022年，5月20日，3点4分，星期四瞬时变化率：思考：我们利用平均速度的极限求得瞬时速度，那么如何求函数f(x)在x=x0点的瞬时变化率呢？可知:函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率为：limx 0f(x0+x)f(x0)xlimx 0fx=第11页，共15页，2022年，5月20日，3点4分，星期四导数函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率为：limx 0f(x0+x)f(x0)xlimx 0fx=我们称它为函数f(x)在x=x0处的导数记作：f(x0)=limx 0f(x0+x)f(x0)x第12页，共15页，2022年，5月20日，3点4分，星期四小结：由定义知，求f(x)在x0处的导数步骤为：第13页，共15页，2022年，5月20日，3点4分，星期四例1.求y=x2在点x=