主观概率与先验分布

1、Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for .NET.第二章 主观概率和先验分布Subjective Probability and Prior Distribution 本章章主要参参考文献献：600，52，上上帝怎样样掷骰子子 2-1 基本本概念 一、概率率（proobabbiliity） 11. 频频率 ffn(A)=NNa/N PP (AA)= fn(A) 古典概概率的定定义2. LLapllacee在概概率的理理论分析析(118122)中的的定义 PP(A)=kk/N 式中中，k为A所含基基本事件件数

2、， N为为 基本事事件总数数 适用条条件 1.基基本事件件有限 2.每个基基本事件件等可能能 33.公理理化定义义 E是随随机试验验,S是E的样本本空间,对E的每一一事件AA,对应应有确定定实数PP(A),若满满足: 非负性性：0P(AA)1 规范性性： PP(S)=1 可列可可加性：对两两两不相容容事件AAk (kk=1,2) (Ai Aj=) P(Ak)=P(AAk) 则称P(A)为为事件AA发生的的概率 二、主观观概率(subbjecctivve pprobbabiilitty, likkeliihoood) 1. 为什什么引入入主观概概率 。有有的自然然状态无无法重复复试验 如：明天是

3、是否下雨雨 新新产品销销路如何何 明明年国民民经济增增长率如如何 能能否考上上博士生生 。试试验费用用过于昂昂贵、代代价过大大 例例：洲导导弹命中中率 战争中中对敌方方下一步步行动的的估计 22.主观观概率定定义：合合理的信信念的测测度 某人人对特定定事件会会发生的的可能的的度量。 即他他相信(认为)事件将将会发生生的可能能性大小小的程度度。 这种相相信的程程度是一一种信念念，是主主观的，但但又是根根据经验验、各方方而后知知识，对对客观情况的的了解进进行分析析、推理理、综合合判断而而设定(AAssiignmmentt)的，与与主观臆臆测不同同。 例：考考博士生生、掷硬硬币、抛抛图钉三、概率的的

4、数学定定义对非空集，元素素，即=，F是的子集集A所构成成的-域(即F； 若AAF则AF； 若AAiF ii=1,2,则AiF) 若若P(AA)是定定在F上的实实值集函函数，它它满足 非负性性 P(A)0 规范性性 P()=11 可列可可加性 则则称P(A)为为直的(主以或或客观)概率测测度，简简称概率率 为基本本事件 A为事事件 三元总总体(，F，P)称为为概率空空间 注注意：主主观概率率和客观观概率（objjecttivee prrobaabillityy）有相相同的定定义 四四、主客客观概率率的比较较(一) 基本属属性： O：系统的的固有的的客观性性质，在在相同条条件下重重复试验验时频经经

5、的极限限 S：概概率是观观察者而而非系统统的性质质，是观观察者对对对系统统处于某某状态的的信任程程度 (二)抛硬币币：正面面向上概概率为 OO：只要要硬币均均匀，抛抛法类似似，次数数足够多多，正面面向上的的概率就就是，这这是简单单的定义。 SS：这确确是定义义，DMMer认认为硬币币是均匀匀的，正正、反面面出现的的可能性性(似然率率)相同，是个主主观的量量。 (三)下次抛抛硬币出出现正面面的概率率是 O：这这种说法法不对，不不重复试试验就谈谈不上概概率 S：对对DMeer来说说，下次次出现正正、反是是等可能能的。但但是他不不是说硬硬币本身身是公正正的，它它可能会会有偏差差，就他他现有知知识而言

6、言，没有有理由预预言一面面出现的的可能会会大于另另一面，但但多次抛抛掷的观观察结果果可以改改变他的的信念。 O、S：下次次抛硬币币出现正正面还是是反面不不能确定定，但知知道： 要要么是正正面，要要么是反反面。 22-2 先验分分布(Priior disstriibuttionn)及其其设定 在在决策分分析中，尚尚未通过过试验收收集状态态信息时时所具有有的信息息叫先验验信息，由由先验信信息所确确定的概概率分布布叫先验验分布。 设设定先验验分布是是Bayyeseean分分析的需需要.一、设定先先验分布布时的几几点假设设 11.连通通性(CConnnecttiviity)，又称称可比性性 即即事件A

7、A和B发生的的似然性性likkeliihoood是可可以比较较的： AL B或A L B或BL A 必必有一种种也仅有有一种成成立. * AL B读作作 A 发生的的似然性性大于BB 发生生的似然然性, A LL B 读作 AA 发生生的似然然性与BB 发生生的似然然性相当当。 2.传递递性(TTrannsittiviity) 若对事事件A，B，C , A L B， B L C 则则A L C 3. 部部分小于于全体：若AB则BL A 例：设定明明年国民民经济增增长率时时：A：811% B：1215% C：1520% 若 A L B， B L C ， 则 A L C A：811% D：810%

8、 必有有D L A 二、离散型型随机变变量先验验分布的的设定1.对各事事件加以以比较确确定相对对似然率率 例例1. 考博士士生 E：考考取 E：考不取取 若P(EE)=22P(EE) 则P(EE)=22/3 P(E)=1/33 例例2。某地地气候状状况：正正常年景景1，旱2，涝3 正常与与灾年之之比：332 则P（1)=00.6 水旱灾灾之比111 P(2)=PP(3)=00.2 该法适适用于状状态数较较少的场场合2.打赌法法设 事件件E发生时时收入PP，（0 P 1） 且 Ec(1P)调整P，使使决策人人感到两两者无差差异为止止, 则：P(EE)=PP三、连续型型RV的先先验分布布的设定定1

9、.直方图图法该法适用用于取值是是实轴的的的某个个区间的的情况步骤：,将区间间划分子子区间i离散化化 设定每每个子区区间的似似然率(i)赋值 变换成成概率密密度曲线线例如：明年年国民经经济的增增长率缺点：子区间间的划分分没有标标准 赋值不不易 尾部误误差过大大2.相对似似然率法法适用范围围：同11 步骤骤：离散化化 赋值：给出各各区间似似然的相相对比值值 规范化化： 例如：同11A. 相相对似然然率R 似似然率(A) 子区间间89% 10 100R 78 9 99R 910 7.55 7.5RB. 决策策者给出出每二个个状态似似然率的的比例关关系 aij= pi/pj (1)应有 aij= 1/

10、aaji (22) aij=aik.aakj (3)在(3)式式不满足足时，可可用最小小二乘法法估计决决策人心心目中真真正的主主观概率率分布PPi ii=1,，n即求规划问问题 minn(aijpj - pi) ss.t. pi= 11 , ppi0*用拉格朗朗日乘数数法,构造拉拉格朗日日函数 LL 上式式对 ，i=11,2n求偏导导数，并并令其为为0，得： l=1,22,n. 与 联列，构构成n+1阶齐齐次方程程组，求求得Pi, ii=1,，n3.区间对对分法适用范围围：可以以是开区区间步骤：求中位位 确定上上、下四四分位点点(quuarttilee frracttilee) 由于误误差积累

11、累,最多确确定八分分位点(Eigghthh frracttilee) 例：产产品销售售量(预计明明年) 缺点点：精度度差4.与给定定形式的的分布函函数相匹匹配 这是最最常用，且且常常被被滥用的的方法步骤：选择一一个与先先验信息息匹配得得最好的的函数 如如正态，泊泊松，e-CCaucchy分分布等例：a)在在单位时时间以恒恒常的平平均比率率入出现现，则在在T单位长长度时间间内该事事件出现现的次数数服从PPoisssonn分布 2-4 b)若若影响某某一随机机变量的的因素很很多而每每一因素素的作用用均不显显著，则则该变量量服从正正态分布布。例如如，测量量误差，弹弹落点，人人的生理理特征的的度量，农

12、农作物产产量等均均服从正正态分布布。 c)事事件A出现的的概率为为P，n次独立立试验出出现r次A的概率率b(pp,r,n)= . 即服服从二项项分布。 参数估估计： A.矩法：N(,) Be(，) 缺点：尾部估估计不准准，但对对矩的影影响却很很大 B.分位数数：利用用几个分分位点和和现成的的概率密密度 函函数分位位数表，估估计参数数并检验验。5. 概率率盘法(darrt) 用园盘盘中的扇扇形区表表示抽奖奖事件, 透用于于西方管管理人员员注意：状状态的概概率或概概率分布布不是也也不应富富由决策策分析人人员来设设定，而而应当由由决策人人和有关关问题专专家提供供基本信信息。 理由：2-3 无信息息先验分分布一、为什么么要研究究无信息息先验Bayeeseaan法需需要有先先验分布布，贝叶叶斯法的的简明性性使人在在无信息息时也想想用它。二、如何设设定无信信息先验验分布1.位置参参数 随机变变量X的概率率密度函函数形如如f(xx-)时 称为位位置参数数 其无信信息先验验 ()必为一一常数2.标度参参数 X的的密度函函数为11/f(xx/)称为为标度密密度称为标标度参数数 其无信信息先验验()=11/2.4 利用过过去的数数据设定定先验分分布一、有的的统计数数据 为为能获得得的观察察值i i=1,n的数数据，则则可： 通过直直方图勾勾划出先