上海大学2011-2012学年《高等数学》试题

1、lim(1xln(xx21f (x)dxx(1xy1 xn0. 0时, sintdt 是 B ）（B）高阶无穷小 . f(a) f(a h)h 0（D）既非充分条件又非必要条件 . ddx0a2xx)2t3t1 x2n（D）存在间断lim(1xln(xx21f (x)dxx(1xy1 xn0. 0时, sintdt 是 B ）（B）高阶无穷小 . f(a) f(a h)h 0（D）既非充分条件又非必要条件 . ddx0a2xx)2t3t1 x2n（D）存在间断点 xx0h( f(x)d)x)xx2)（a为常数）,则dy2 f(t)dt2t2t31. 2x3的（a可导f(x). 1edx0. 在

2、对应于 t（B） F (x)dx F (). . ,则 f (x)2处的切线方程为C. x 1y. 92x2. 一、填空题（本题共 5小题，每小题 3分，满分 15分）. 11、极限2、设 ya23、设4、15、曲线二、选择题（本题共 5小题，每小题 3分，满分 15分）. 1、设函数 f (x) lim ,讨论函数 f () 的间断点,其结论为（ B ）（A）不存在间断点 . （B）存在间断点 x 1. （C）存在间断点 x2、当 x（A）低阶无穷小 . （C）等价无穷小 . （D）同阶但非等价无穷小 . 3、设 f (x) 在x a的某个邻域内有定义 ,则lim 存在是 f() 在x的（

3、C ）（A）充分条件而非必要条件 . （B）必要条件而非充分条件 . （C）充分条件且必要条件 . 4、设 F(x)为 f (x)在某一区间 I 内的一个原函数 ,则下列命题不成立的是（ B ）（A）- 1 - （D）d( f x dxx2, 0 x 1,1, 1 x 23x,3x 1, (1 x 2)01xx),0时,0时,lim(0)x),f (x)1xlim( ) )设x , (0 x 1). (1 x 2)x , (0 x 1). ln(1 t)dt,求 f (x). (xxfff(x) f (0)x 00. x21exe 1 xx 0f(x)dx. F(（D）d( f x dxx2,

4、 0 x 1,1, 1 x 23x,3x 1, (1 x 2)01xx),0时,0时,lim(0)x),f (x)1xlim( ) )设x , (0 x 1). (1 x 2)x , (0 x 1). ln(1 t)dt,求 f (x). (xxfff(x) f (0)x 00. x21exe 1 xx 0f(x)dx. F()3（B）3（D）, (x0)0(x)(0)x2sinlimx 00 xsin1xx(e 1)x131 130)2limx1xx1x. xf (t)xxxsinf (x)xlim(x 0. cos1,lim(033,33,1xf (0)0 x sinxex 0 x1(0

5、x 1). cos ,limx01x)xxx22) F(x)(0 x 1). 1x0 x0. 01 x,则 为（ D ）. xln(1limx0lim0t)dt1ex 0ln(1 xx2x)10lim, xx 012x25、已知 f(x)1（A）x, (1 x 2)1（C）x 1, (1 x 2)x三、（满分 9分）设 f(x)x2sin ,ln(1解：当 xx当 x0f (0)x 0即 fln(1综上,有四、（满分 7分）求limx0解：原式- 2 - y(x)是由方程yy2(2x 1x2,0)( 2,0)x极小值 yarctanxxarctanxdxx21xln x22x12cosy12s

6、in填写下表：(0, 2,(0,凹区间2( 2)22arctanxdx1121 cos2xdxy1两边同时对 x求导,得sin y yy)2),且) 3,0),(0,拐点1/4dx1xx2ln(12120,解得： ycosyy(x)是由方程yy2(2x 1x2,0)( 2,0)x极小值 yarctanxxarctanxdxx21xln x22x12cosy12sin填写下表：(0, 2,(0,凹区间2( 2)22arctanxdx1121 cos2xdxy1两边同时对 x求导,得sin y yy)2),且) 3,0),(0,拐点1/4dx1xx2ln(12120,解得： ycosy yy凸区间

7、)( 3, 2/9)渐近线（2）arctanxxdxx2) C2sinxdxcosy22 sin y4cos y(2xx3(y21x 121确定的隐函数 ,求,则sin y)32, 30,x1 cos2xdx. 1x22 sinxdxd ydx,y0dx20222(xx42 2. 3). 解：将 x1y六、（满分 10分）对函数 y解：定义域为 (单调减少区间单调增加区间极值点极值七、（本题共 2小题,每小题 7分, 满分 14分）求积分：（1） ; 解：（1）arctanxxarctanxx（2）2- 3 - x 2zy 3zjs1x3yS S SS y(t,t ) (0t3t2t334t2

8、8t1/ 2为4yx22t 4 0的直线方程5 0k1331x2 (01120 x dx2t332t2S01 . 0yx2tx2dx2t2驻点S (0)S1(2z 1. 1),问S11),则2t33(113tx 2zy 3zjs1x3yS S SS y(t,t ) (0t3t2t334t28t1/ 2为4yx22t 4 0的直线方程5 0k1331x2 (01120 x dx2t332t2S01 . 0yx2tx2dx2t2驻点S (0)S1(2z 1. 1),问S11),则2t33(113t2S2的唯一极小值点 ,从而也为 Sy)2dy2iS2最小？；t)t2430,t0,SS13232t3

9、3t31/2, (1/2)S2的最小值点 . jt2t22k13130. . , . i解：已知直线的方向向量为：0则所求直线方程为：2九、（满分 10分）考虑抛物线（1）t为何值时,图中阴影部分的面积 与 之和（2）求当 S为最小值时 , 绕 轴旋转一周所成的旋转体的体积 . 解：（1）设抛物线上点 P坐标为tS11S2SS(t)S (t)即t1（2）如图, VySS10 - 4 - (x)f(x)C 0,1 ,且 F(0,1), Fx(x1,x(x)1.证明：在开区间 (0,1)内有且仅有一个x,即证：有且仅有一点(0)( )12)1,x,使 f( )(0,1), Ff (0)0. x2(0,1), F(0,1). ( )0(0,1),( )F (x)0. 0;F(1)F(x1)0. 0(x)f(x)C 0,1 ,且 F(0,1), Fx(x1,x(x)1.证明：在开区间 (0,1)内有且仅有一个x,即证：有且仅有一点(0)( )12)1,x,使 f( )(0,1), Ff (0)0. x2(0,1), F(0,1). ( )0(0,1),( )F (x)0. 0;F(