邯郸学院05级微几答案

1、邯郸学院2007-2008学年第一学期2005级数学教育专业专科期末考试微分几何答案及评分标准（A）一、单项选择题（10X3=30分）1.A 2.A 3.C 4.C 5.D 6.B 7.B8 .B 9 .D 10.A二、填空（8X2=16 分）1.F=0； 2.具有k阶连续偏导数；3.重合;4. r（t）xs（t） + r（t）x宁（t） ； 5.弯曲程度;6.垂直;7. LN M 2 0 ； 8. k = k cos2 0 + k sin2 0 ；三、名词解释（3+3=6分）如果过曲面上每一点有唯一的一条u一曲线和唯一的一条v一曲线，而且这两族曲线彼此 不相切，这样的两族曲线称为曲面上的一个

2、正规坐标网。（3分）给出闭区间Is。,s1 上的两个连续函数Ns） 0,Ws），则除了空间的位置差别外，唯一地存在一条空间曲线，使得参数s是曲线的自然参数，并且4 （s）和中（s）分别为曲线的曲率和挠率，即曲线的自然方程是k = 4（s）,T=（s）。 （3分）四、计算题（3X8=24分）1.解：圆蛀螺线的方程是：r = 2 cos t, a sin t, bta sin t, a cos t, b，ra c o t,a s i n,0（6分）（8分）（8分）（1分）rm = la s i n,（1分）所以法平面方程为：（asint）x + （acost）y + bz - b21 = 0（3

3、分）密切平面方程为：（bsin）x （b co s）y + az a b = 0（5 分）从切平面方程为：x cos t + y sin t a = 0曲率 k =-，挠率t =- a 2 + b 2a 2 + b 22.I= du 2 + （u 2 + c 2 ）dv2 （4 分）；II= -cdudv一 一 一 一一一一 a3.E = 1 + a2y2,F = a2xy,G = 1 + a2x2,L = N = 0,M =； （4 分）（EG F 2(8分)曲率线方程为：(1 + a2y2)dx2 - (1 + a2x2)dy2 = 0 ； 五、证明题(3X8(8分) TOC o 1-5

4、h z fr证明：设曲线r = r(s)，其切线方程为R - r = W)a (1分)不妨设它过定点为R0，则有：R0 - r = X(s)a(3分)两边求微商，得：1 +尤(s)(X(s) +人(s)邯(s) = 0(5分)两边点乘初，得：人(s)k(s) = 0 (a。=0)(6分)而人(s) 0，故k(s) = 0即曲线是直线。(8分)证明：设曲线(C)： r = r(s)，s是自然参数，p是单位向量，由已知有p -p -a = cos(w为常数)(2分)对上式两边求微商，得b对上式两边求微商，得b p - (k p ) = 0 ，由 k 0，有 p 邛=0对上式两边再求微商，得p - (-ka+Ty) = 0(4分)注意到p-注意到p-a = cosw，则(-k c o w t siw = 0(6分) k TOC o 1-5 h z 故 一 =taw (吊数)(8分)T证明：设曲面方程的向量函数形式为：r =匕,y, f (x) + g(y