电磁场与电磁波(第4版)第4章部分习题参考解答

1、4.1证明以下矢量函数满足真空中的无源波动方程V2-4t=0,其中cdrTOC o 1-5 h zC2=-,为常数。(1)=eY0cos(69f-Z):(2)E=exE0sin(Tco1o)(2)V-E=eE0Vsin()cos(6X)=eEo-sin(z)cos(fiX)cdr=-er()2Eosin(z)cos)ccd2E我一丄空d2E我一丄空c_drccZsill(z)cos(yf)=-exarE0sin(z)cos(6fX)-ccex()2Eosin(z)cos(血)-占-exarEQsin(z)cos(曲)c即矢量函数E=exE0sin(-z)cos(曲)满足波动方程一亠辱=0。cc

2、dr=0/COS(+z)dVc(3)=ev0V2cos(+-z)=e/COS(+z)dVcc=-eY()2Eocos(a+z)TOC o 1-5 h zccEQ?33=乙.Eobcos(血+Z)=-E、NEocos(曲+Z)drdrcc-exarE0cos(aX+z)=0V-4=-ev(-)2Eq-exarE0cos(aX+z)=0Cdtccc-即矢量函数E=eyE0cos(朋+-z)满足波动方程V3-4=0occrdr4.2在无损耗的线性、各向同性媒质中，电场强度(F)的波动方程为V2(r)+arisEir)=0已知矢量函数E(F)=E07,其中心和斤是常矢量。试证明E(F)满足波动方程的条

3、件是，=ar/.ie,这里R=ko证：在直角坐标系中r=exx+eyy+e.z设卩=exkx+eyky+e.k.则k-r=(exkx+eyky+e.k.)(exx+eyy+ezz)=kxx+kyy+k.z故E(r)=EoeiL?=&严叫叫)V2E(r)=0V2e_jr?=E0V2ej(M4*T-v4*I：)=(_叶-乍_叫*)=-k2E(f)代入方程V2(r)+692/z(f)=0,得-IcE+ayLsE=0故/=OT/.LS4.3已知无源的空气中的磁场强度为H=ev0.1sin(107ix)cos(6tix1091-kz)A/m利用波动方程求常数k的值。解：在无源的空气中的磁场强度满足波动方

4、程苗亿/)-/企。%()=0而V2/?(f,/)=evV20.1sin(107tx)cos(6nxl09/-fc)=ev-(10n)2-20.1sin(107i)cos(67ixl09/-fe):=可0.1sin(l07L)cos(67ixl09/-fa)=-ev(67ixl09)20.1sin(107ix)cos(6nxl091-kz)代入方程苗0,得dtey|-(10n)2-2+/zoo(67ixlO9)2o.lsin(lO7U)cos(6nxl09r-fc)=0于是有-(107i)2-/:2+o(6nxlO9)2=0故得k=J弘SoWtixIOQOti)=10714.4证明：矢量函数E=

5、exE0cos(cot-x)满足真空中的无源波动方程c但不满足麦克斯韦方程。证：TOC o 1-5 h zV适(F,f)=vE0V2cos(6yf-x)=exE0cos(ax-x)=-ev()2f0cos(ajt-x)cdxccc0?0?Ct)COE2(r.t)=eEocos(mx)=-exarEQcos(ax)drdrcc所以ev()2Eqcos(必-exarEQcos(必x)=0即矢量函数E=exE0cos(血-x)满足波动方程V3-4=0occdr另一方而，VE=Eo一cos(么x)=E。一sin(a_x)HOdxccc而在无源的真空中，E应满足麦克斯韦方程为VE=0故矢量函数E=exE

6、0cos(曲-竺x)不满足麦克斯韦方程组。C以上结果表明，波动方程的解不一定满足麦克斯韦方程。4.5证明：在有电荷密度p和电流密度7的均匀无损耗媒质中，电场强度E和磁场强度方的波动方程为“云d2EdJpdH7=/z+V(IL兀aa_(1jix_tix=-expHosin()sin(必-fiz)+e,HQcos()cos(血_0Z)A/m7iaa故瞬时坡印廷矢量为S(x.z,t)=e.cojLp(/0)2sin2()sin3(-/7z)7ia*g竺冬h2sin(兰巴)sin(26tX-2flz)W/m24n0a(2)平均坡印廷矢量几(x,Z)二ReE(x,z)xHx,t)=sin2()W/m22

7、2716/412在球坐标系中，已知电磁场的瞬时值E(r,t)=sin8cos(曲一k)V/mr=耳土sinOsin(曲一kQr)A/m式中为常数，%=聘,心=血血篙。试计算通过以坐标原点为球心、为半径的球面S的总功率。解：将E和表示为复数形式，有E(W二爲如sinOe一知V/mr=耳且sin0e*A/m时丁是得到平均坡印廷矢量瓦(人&)=-ReExH=乙丄(处尸sin20W/nF22%r通过以原点为球心、为半径的球面S的总功率阴00W90阴00W90413已知无源的真空中电磁波的电场-coE=exEQcos(劲z)V/mc证明=其中”是电磁场能量密度的时间平均值，c=L=为电磁波A勺在真空中的

8、传播速度。证：电场复矢量为由=,得磁场强度复矢量所以另一方面,必冷Re辰了=所以另一方面,必冷Re辰了=計提兰wRe弄彷+卽x和烈由丁=0C,故有S=eE2c=ejvcavXu414设电场强度和磁场强度分别为E=Eqcos（血+代）和H=Hocos（必+%）证明其坡印廷矢量的平均值为-1-S/EoxH。cos（必-监）解：坡印廷矢量的瞬时值为S=ExH=Eocos（曲+代）xHqcos（曲+pm）1-=EqxHJcos（曲+y/e+cot+/）+cos（曲+代一曲一pj21-=EqxHcos（2曲+代+pm）+cos（代一pj故平均坡印廷矢量为17171一s曲=y|0Sd/=yJo-EoxHc

9、os（2曲+代+监）+cos（代一监）曲1-=EQXH0COS（0e_0j415在半径为“、电导率为er的无限长氏圆柱导线中，沿轴向通以均匀分布的恒定电流/,且导线表而上有均匀分布的电荷面密度几。（1）求导线表面外侧的坡印廷矢量;（2）证明：由导线表面进入其内部的功率等于导线内的焦耳热损耗功率。解：（1）当导线的电导率7为有限値时，导线内部存在沿电流方向的电场E丄宀onap根据边界条件，在导线表面上电场的切向分量连续，即Ek=Eo:o因此，在导线表面外侧的电场的切向分量为EI=丄，尸jui2a乂利用高斯定理，容易求得导线表而外侧的电场的法向分量为故导线表而外侧的电场为=严+互十pa%MP利用安

10、培环路定理，可求得导线表而外侧的磁场为故导线表而外侧的坡印廷矢量为=-ep厂3=-ep厂3+玄W/nrliraj、2m0a(2)由内导体表面每单位长度进入其内部的功率/2/2eodS=-.x27ici=RI2IpiTVCO7icr(jS。p=a=(瓦x/)p=a式中，r=-L-是内导体单位长度的电阻。由此可见，由导线表而进入其内部7tcr(j的功率等于导线内的焦耳热损耗功率。4.16由半径为d的两圆形导体平板构成一平行板电容器，间距为d,两板间充满介电常数为、电导率为”的媒质，如图题4.16所示。设两板间外加缓变电压u=%coscot,略去边缘效应，试求：电容器内的瞬时坡印廷欠量和平均坡印廷矢

11、量；进入电容器的平均功率；电容器内损耗的瞬时功率和平均功率。图题4图题416解：(1)电容器中的电场己-II_U迅,E=e.=e.coscotdd位移电流密度刀和传导电流密度7分别为哲=哲=氓込dtzdsincot_一(JUJ=aE=Ncoscotd由丁轴对称性，两板间的磁场只有爲分量，且在以Z轴为中心、Q为半径的圆周C上处处相等，于是由6HdT=fJds+fdsJCJsJsQl可得roUoscdU2npH$=Tipcoscot一Tipsincotcia所以(2)-_UpH=en(acos(2)-_UpH=en(acoscot一69sincot)炉2d一_-US=ExH=GdU2p(=_0a卩

12、2d2Icos加)xgJP9cosef-fwsin曲)2dc,SCOrcrcos-cotSin269/22兀3zf/2zSAV=f5dr=(一石)上2tiJ。2兀J。Q2d?I_aU2p=卩4十进入电容器的平均功率为O869rfcrcosEsill269/at2丿必迢dS+JWd5+JSepdSETanacrUTOC o 1-5 h z=一”2wid=4/2d损耗功率瞬时值p为roroU)coU2=ii(ya2U29P=cr-dV=cos*cotdV=cos-caxTicrd=cos-a)tJvJvchchd平均损耗功率伫,为iicjcrUnxiicjcrUnxId由此可见，有P：v=P絆。4

13、17已知真空中两个沿z方向传播的电磁波的电场为E=仏严民=耳空心其中0为常数、k=co辰。证明：总的平均坡印廷矢量等于两个波的平均坡印廷矢量之和。证：由xE=_jZ0得磁场复矢量7呱学0炭7jjdHr=丄VxE=丄(N)xE=-乙-COdz-所以平均坡印廷矢量耳Egx合成波电场和磁场复矢量耳EgxH=H1+H2=ex所以平均坡印廷矢量一1r-*一拿-Sav=，H=H1+H2=ex所以平均坡印廷矢量一1r-*一拿-Sav=，ReExH(rr.、十-护也丿ed)x4.18试证明电磁能量密度”拌+扣可和坡印廷矢量弘歸在下列变换下都具有不变性：E=Ecos0+rjHsin,Hx=一一Esin0+Hcos0n其中0其中0为