谈多属性效用理论

1、第八章多多属性效效用理论论(Muultii-atttriibutte UUtillityy Thheorry)主要参考考文献: 92, 688, 886, 1188, 11298.11 优优先序一、二元元关系 11.无差差异(IIndiiffeerennt tto) 22.(严严格)优于(SStriict preeferrencce tto) 33.不劣劣于(ppreffereencee off inndiffferrencce tto)可以用定义，： AAB AB且BA AAB AB且非BA因此，在在任何决决策问题题中，是偏好好结构的的基础，有必要要假设关系的的存在。至于是否确确定实存存在，

2、则则取决于于能否以以直接或或间接的的方式找找到构造造的途径径。在单目标标问题，有时存存在可测测属性(或代用用属性)如成本本、收益益来衡量量偏好，这时决决策问题题简化为为各方案案属性的的比较和和排序。但在一般般场合，需要用用效用(价值)函数来来度量偏偏好，在在多目标标决策问问题中，即使各各目标的的属性值值或效用用已知，偏好次次序仍不不明确，还需作作进一步步研究。二、二元元关系的的种类(用R表示二二元关系系)传递性，若xRRy, yRzz则xRzz自反性rrefllecttiviity: xRRx非自反性性：(IIrreefleexivvityy)非xRxx对称性(Symmmettry)若zRyy

3、,则yRxx非对称性性(assymmmetrry)若若xRyy，则非非yRxx反对称性性(annti-symmmettry)若xRyy且yRxx则必有有x = y连通性(connnecctivvityy) ccomppletteneess, Coompaarabbiliity对x, yX xRyy 或/和 yRRx任何次序序关系必必须满足足传递性性. 传递递性看似似合理，实则不不然，例例如， 20.000020.0011 220.000120.0022 99.99991000, 但但是2001000连通性在在仔细验验证前也也不能假假设其成成立, 因为为存在不不可比方方案; 但是,若将不不可比归

4、归入无差差异类，连通性性就可成成立.连通性传传递性完全序序8.22多属性性价值函函数一、价值值函数的的存在性性定理8.3 X, 是X上的弱弱序，且且若;若则必存在在唯一的的01使+(11-);则存在定定义在XX上的实实值函数数v，满足足 v() v() v() = v()Notee: 1. 条件为单调调性(MMonootonniciity), 即即支配性性(doominnancce): 只要要某一属属性值增增加偏好好也增加加.2. 条条件为偏好好空间的的连续性性(coontiinuiity),即阿阿基未德德性(AArchhimeedeaan).3. vv()=f() ff的形式式通常十十分复杂

5、杂，即使使为线性性 v 的形式式仍十分分复杂.例： , 的价价值函数数为线性性, 即: =kk1=k2且 k22=1.5k11, 但是是 v()()+()因此, 价值函函数的设设定相当当困难.二、加性性价值函函数1.定义义：若 v()=, 则称价价值函数数V()是加性性的2.加性性价值函函数的存存在条件件定理8.6(PP1333) (n3)定义在YYR上的价价值函数数 v()=vv()对任何何,”Y ,” ifff v()v(”)则属性性集满足足互相偏偏好独立立条件时时当且仅仅当存在在定义在在Y, ii=1,n 上的的实值函函数v使”()+ +() (”)+ +(”)3.互相相偏好独独立的定定

6、义：属性集称为互互相偏好好独立,若的每个个非定正正常子集集偏好独独立于其其补集(=U)4.属性性集的子集集偏好独独立于其其补集的的定义(P1330定义义8.22) 当且仅当当：对特特定的若若 (,) ( ”,) 则对对所有必必有(,) ( ”,) 称属属性集的子集集偏好独独立于其其补集.5.两个个属性的的加性定定理及偏偏好独立立(定义8.4，定定理8.4)消去条件件对, ,有(,)(,),(,)(,)则必有有(,)(,)则称满满足消去去条件.Thommsonn条件将消消去条件件中的改为.三、其他他简单形形式1.拟加加性：v()=+ + + () ()条件 ii=1,2,n弱差差独立于于其补集集

7、 (详见见p1335,定定义8.7)2.乘性性(ppp1366-1337)若属性集集的每个个非室子子集弱差独独立于其其补集, 则v()=+k+ + + () ()8.33多属性性效用函函数一、二个个属性的的效用函函数后果空空间XY，后果果(x,y)，设决策策人在XXY上的偏偏好满足足公理(1)(6)，则可可用形如如 vv(x,y)=(x)+ (x) 的加性性效用函函数表示示后果空空间上的的偏好(确定性性条件下下)设决策策人关于于XY空间及及P上的抽抽奖的偏偏好为uu(x,y)则则u(xx,y)和v(xx,y)代表了了XY上相同同的偏好好，u(x,yy)=(v(x,yy). 其中中()是保序序变

8、换决策人人的行为为符合理理性行为为公理时时, 形如如 的抽抽奖可以用期期望效用用Euu(x,y)= 来来衡量其其优劣. 二、效用用独立(Utiilitty IIndeepenndennce)1.例： : : : : 若效用独独立, 则2.定义义：若二个抽抽奖有公公共的固固定的YY的值而而X中的值值不同，决策人人对它们们的偏好好与Y的取值值无关，则称XX是效用用独立于于Y。效用用独立又又称风险险独立(若X效用独独立于YY则决策策人对抽抽奖的XX上的风风险态度度与Y无关). 更一一般的定定义见PP1477，定义义8.1103.效用用独立蕴蕴含偏好好独立 (x,)(x,) 对某个个 由UI，对对任何

9、成立 (x,) (xx, )4.引理理：X是效用用独立于于Y的，当当且仅当当，对固固定的 u(xx,y)= (y) u(xx, ) + (y) (x,yy)XY其中(y)0, (y),(y)的确定定与有关关。同理，YY是效用用独立于于X的，当当且仅当当对固定定的u(x,y)= (y) u(, y) + (y) (x,yy)XY其中(xx)00, (x),(x)的确定定与有关关。5. XX、Y相互效效用独立立定理：XX和Y是相互互效用独独立的，则：若若选(,)使u(,)=00必有 uu(x,y)= u(x, )+ u(,y)+k uu(x, )uu(,yy)即XYY相互效效用独立立且 uu(,)

10、=00时，u(x,yy)具拟拟加性. 6.加性性条件：在上述假假设下，再附加加：对某某个,X, ,Y, 且 (,)( ,), (, ) ( ,)则 u(xx,y)= uu(x, )+ u(,y)加性独立立也可以以用另一一种方式式来表示示:属性X、Y是加性性独立的的，若对对所有xx,xX, yy,yY 8.定理理设u(xx,y)是XY上的效效用函数数,且X、Y是加性性独立的的,则若选选(,)使u(,)=00有u(xx,y)= uu(x, )+ u(,y)加性独立立也是效效用函数数为加性性的必要要条件。加性独独立条件件很难满满足。拟加性效效用函数数的例某人拟度度假，他他根据两两个属性性来确定定休安

11、排排假的优优劣 x:每每天的日日照时数数 y:每每天的费费用在与决策策分析人人讨论后后确定了了:a. 他他的偏好好是相互互效用独独立的;b. xx的边际际效用是是线性的的，日照照愈长愈愈好;c. yy的边际际效用也也是线性性的，费费用愈小小愈好;d. 他他认为下下面的无无差异成成立：(10,16)(8,12) (15,16)(122,8)他面临的的度假地地有两种种选择 AA：x=110, y=14 BB: y=115 有25%的可能能性是xx=133, 775%的的可能性性是x=4他应选择择那一地地点度假假?解: 先先选(,).由于于需要(,)( ,)在(100,166)(8,12)中，=88, =16 则=100, =12令u(88,166=0) , u(10, 166)=11 , 由x边际效效用的线线性性uu(x, 166)=(x-88)/22同样，由由y边际效效用的线线性性以以及u(8, 16)=0 , u(88, 112)=1 可得：uu(8,y)=(166-y)/4因此：uu(x,y)= u(x, )+ u(,y)+k uu(x, )uu(,yy) =(x-8)/2