概率1-4全概公式

1、四 贝努里概型与二项概率求 的概率. 假设罚球命中率为0.9, 各次罚球是相互独立的.引例: 三分球犯规, 罚球3次. 随机事件 表示 得k分.Bernoulli试验:只关心某个事件 是否发生.n重Bernoulli试验: 把Bernoulli试验独立地重复做n次. 在 重Bernoulli试验中, 我们感兴趣的是, 在试验中事件 正好发生 次的概率, 即问题描述为: 设 为 重Bernoulli试验, 事件 是一次试验的一个结果, 记事件 在n重Bernoulli试验中出现 次 则问题转化为求概率 分析 设 若在前 次试验中出现的是 后 次试验中出现的是 则相应的概率为 注意到在 次试验中出

2、现 个 其余为 的组合共有 个, 所以原问题的概率为： 由于上述问题与事件 的具体内容无关, 仅与试验次数及 相关, 故一般我们简记成:其中 表示事件在 重试验中出现的次数. 而这恰好是二项展开式中的一项, 故称为二项概率.例1: 围棋番棋比赛. 见22页, 例1.23结论: 多局赛制对高手有利.注: 三局两胜制实际比赛中, 连赢两局不再比三局, 在贝努里概型计算中是拆成胜胜负与胜胜胜.例2 设某种杯子, 摔破的概率为0.4, 连续摔7个杯子,解 此问题是 的Bernoulli试验, 由条件求恰好摔破3个杯子的概率.由二项概率公式得相应的概率为:例3 某小区有10部电梯, 每部电梯发生故障的概

3、率为解 此问题是 的二项概率, 则问题为0.2, 求在同一时刻有三部电梯发生故障的概率.求概率 由二项概率公式得 该问题可以进一步延伸为: 某小区有200部电梯, 每部电梯发生故障的概率为0.02, 电梯发生故障时, 物业管理部门需要派出一名维修工人进行修理. 要保证电梯发生故障时, 物业管理部门一定有维修工人可以派遣, 则一个最可靠的方法是, 为每一部电梯都安排一个维修人员.但实际上, 没有一个物业管理部门会这样做. 现在的问题是, 如果我们要求以95%的把握保证当电梯发生故障时,物业部门有维修人员可以派遣, 则应该聘用多少名维修人员？ 若数 表示聘用的维修人员数, 则发生故障的电梯台数不超

4、过 问题为即要找到适当的 使上式成立. 若用公式进行计算, 则问题是比较复杂的. 在下一章中, 我们寻找更好的方法来解决该问题. 1.6 全概率公式与贝叶斯公式引例: 求进校园销售的自行车的不合格率.直接按古典概率定义, 很难得到数据.如果投放学校的自行车有三种型号分别记为 则 表示市场占有率 .以B表示不合格的自行车则表示各型号自行车的不合格率.这两组数据容易得到.能否由这两组数据算出自行车的不合格率？由可加性得 再由乘法定理 由条件概率公式得如果, 已知买到了不合格的自行车, 要看是哪种型号的自行车可能性大, 也就是要比较可见与两个因素, 市场占有率和自身的不合格率有关.这种思路, 就是本

5、节要学的全概率公式与贝叶斯公式.将自行车设定为n种, 很容易推到一般情况.完备事件组1设 是 的一组事件 若满足下列两条件2则称 是样本空间的一个划分或一个完备事件组. 这是一个完备事件组.例 设 而注: 完备事件组是样本空间的一个划分. 图示如下.全概公式贝叶斯公式定理 1.3 设 是一完备事件组, 且则对任一事件 有证明同引例, 略.解: 先普及历法. 400年一周期. 任取一年, 求该年有53个周日的概率. 若已知该年有53个周日, 求该年是闰年的概率.例1 历法问题方法一 古典概型 每逢4的倍数闰, 一共有100个每逢100的倍数不闰, 一共有4个每逢400的倍数闰, 一共有1个400

6、年中共有100-4+1=97个闰年.方法二 利用全概公式 表示平年, 则 构成一划分 表示有53个星期天 如果已知该年有53个星期天, 求该年是闰年的概率.则由已知条件 得例2 已知肝炎发病率为万分之四. 用某法检查肝炎. 患者阳性率为95%, 正常人阴性率为90%. 求反应为阳性者确实得了肝炎的概率.解 设A为反应为阳性, 为反应为阴性, B为被诊断者患肝炎.先求阳性率 反应阳性实际得病这一概率非常小. 是否可以不管？事实上高危人群. 倍,例3 设有三箱产品, 其中甲箱有产品120件, 次品率随机取一箱, 再取一件, 取到的是次品; 开箱后混放, 从中取一件, 取到的是次品. 解 设 表示从

7、甲、乙、丙三箱中取产品, 表乙箱有100件, 次品率 丙箱有200件, 次品率 求以下概率:示取到的是次品, 则由全概率公式由于第二个问题是开箱后混放产品, 故取到各箱产品的概率就不同了, 此时产品总数为420件, 所以再由全概率公式得例4 某工厂有三个车间生产同一产品, 第一车间的次品率为0.05, 第二车间的次品率为0.03, 第三车间的次品率为0.01, 各车间的产品数量分别为2500, 2000, 1500件. 出厂时, 三车间的产品完全混合, 现从中任取一产品, 求该产品是次品的概率. 若已知抽到的产品是次品, 求该产品是一车间的概率.解: 设 为取到第i个车间的产品, B为取到次品

8、由全概率公式得:由贝叶斯公式得:注: 一定要写清事件, 公式, 不得只写算式.全概率公式和贝叶斯公式是概率论中的两个重要公式,有着广泛的应用.若把事件 理解为原因, 而把B理解为结果, 则 是原因 引起结果B出现的可能性, 是各种原因出现的可能性. 全概率公式表明综合引起结果的各种原因, 反映了结果出现的可能性的大小；而贝叶斯公式则反映了当结果出现时, 它是由原因 引起的可能性的大小, 故常用于可靠性问题. 如: 可靠性寿命检验, 可靠性维护, 可靠性设计等.例5 某机器由A, B, C三类元件构成, 其所占比例分别为0.1, 0.4, 0.5, 且其发生故障的概率分别为0.7, 0.1, 0.2. 现机器发生了故障, 问应从哪个元件开始检查？ 类；C为元件是C类, 则解: 设D