定积分的概念94315课件

1、第六章 定积分6.1 定积分的概念6.2 定积分的性质6.3 定积分的计算6.4 广义积分 6.5 定积分在几何上的应用第六章 定积分6.1 定积分的概念6.1 定积分的概念 求由曲线，直线x=a,x=b和x轴所围成的（一）引例引例1 几何学中求曲边梯形的面积曲边梯形的面积A:6.1 定积分的概念 求由曲线，直线x=a,x=b和x轴 把区间分成n个小区间：设第i个区间长度为过每个分点作垂直于x轴的直线段，把曲边梯形分成n个小曲边梯形; 1、分割内任意插入个分点：在区间 把区间分成n个小区间：设第i个区间长度为过每个分点作垂直于作垂直于x轴的直线与曲线相交于点以为高，为宽构成的矩形面积为:2、近

2、似代替内任取一点在第i个小区间当0时，小曲边梯形的面积可以近似地看成小矩形的面积，即作垂直于x轴的直线与曲线相交于点以为高，为宽构成的矩形面积为曲边梯形面积3、求和4、取极限当0时，分点数，则有曲边梯形面积3、求和4、取极限当0时，分点数，则有求某物体在时间间隔内运动的路程s，引例2 物理学中求变速直线运动的路程其中速度v（t）是时间t 的函数。 求某物体在时间间隔内运动的路程s，引例2 物理学中求变速直在内插入个分点： 把时间间隔分成n个小时间段：设为第i个区间长度任取区间内的某一时刻的速度为在内物体匀速直线运动的路程。当时，即分点越多是，第i个时间段的路程1、分割2、近似代替在内插入个分点

3、： 把时间间隔分成n个小时间段：设为第i个区3、求和4、取极限3、求和4、取极限在区间内任取个分点：把区间分成n个小区间：设 ，即第i个区间的区间长度，（二）定积分的概念定义6.1 设函数在区间上有定义。（1）、分割在区间内任取个分点：把区间分成n个小区间：设 ，即第i个区间任取为曲线（3）取极限存在，则称函数在上可积，并将极限值称为函数,在上的定积分，记作，即 =（2）作和 上一点，作乘积，则称为函数在上的积分和。任取为曲线（3）取极限存在，则称函数在上可积，并将极限值称为其中称为被积函数，x称为积分变量，称为被积表达式，称为积分号称作函数从a到b的定积分。称为积分区间，a称为积分下限，b

4、称为积分上限，其中称为被积函数，x称为积分变量，称为被积表达式，称为积分号（三）定积分的几何意义(1)当时，定积分表示由曲线直线x=a,x=b和x轴所围成的曲边梯形的面积（图（a）(2)当时，定积分表示由曲线直线x=a,x=b和x轴所围成的曲边梯形的面积的负值（图（b）(3)当在上既有负值又有正值时，定积分表示几部分的和:时，取面积的正值，时，取面积的负值（图（c）（三）定积分的几何意义(1)当时，定积分表示由曲线直线x=a定积分的概念94315课件1、用定积分表示由曲线2、试用定积分表示由曲线与直线3、某物体以作直线运动，用定积分表示此物体在内所走过的路程。练习6.1与直线x=2,x=6和x

5、轴所围成的曲边梯形的面积。所围成区域的面积。时间段1、用定积分表示由曲线2、试用定积分表示由曲线与直线3、某物6.2 定积分的性质（1）（2）若时，有=规定：6.2 定积分的性质（1）（2）若时，有=规定：性质1 若函数和在上可积，则在上也可积，且（一）定积分的线性性质证明： 性质1 若函数和在上可积，则在上也可积，且（一）定积分的线性质2 如果函数在上可积，c为常数，在上也可积，且有则函数证明： 性质2 如果函数在上可积，c为常数，在上也可积，且有则函数（二）定积分的区间可加性性质3 若函数在上可积，且则函数在上也可积，且有性质4 若函数在上都可积，则在上也可积。 （二）定积分的区间可加性性

6、质3 若函数在上可积，且则函数在性质5 如果、在上都可积，且对每一都有，则（三）定积分的单调性推论1 如果函数在上可积，且对每一都有，则有推论2 如果函数在上可积，则在上也可积,则有性质5 如果、在上都可积，且对每一都有，则（三）定积分的单性质6 如果函数，c为常数，则函数在上可积，且有（四）定积分的中值定理证明： 性质6 如果函数，c为常数，则函数在上可积，且有（四）定积性质7 如果函数在区间上最大值与最小值分别是M与m，则有 性质8（中值定理） 如果函数在上连续，则在内至少存在一点，使得 =性质7 如果函数在区间上最大值与最小值分别是M与m，则有 函数证明： 在上有最大值M和最小值m，即又

7、由定积分的单调性，有 所以由介值定理可知，对于m与M之间的常数在内至少存在一点，使得即有 函数证明： 在上有最大值M和最小值m，即又由定积分的单调性，中值定理的几何意义是：在连续曲线上至少能找到一点，使得由曲线，直线x=a,x=b和x轴所围成的曲边梯形的面积等于以为高，为宽的矩形面积（见下图）:中值定理的几何意义是：在连续曲线上至少能找到一点，使得由曲线（1） （2）（3）（4）（1） （2）（3）练习6.21、比较下列各对积分值的大小:2、估计下列积分的值（1） （2）（3）（4）（1） （2）（3）练习6.216.3 定积分的计算（一）变上限定积分定义6.2 设函数在区间上可积，则称 为变

8、上限定积分。定理6.1 如果在上连续，则变上限定积分 在区间上可导，且6.3 定积分的计算（一）变上限定积分定义6.2 设函定理6.2（微积分基本定理） 如果函数在上连续，并且是的一个原函数，则=（二）牛顿*莱布尼兹*公式牛顿莱布尼兹公式还可表示为=定理6.2（微积分基本定理） 如果函数在上连续，并且是的一例1 求解：因为所以 故有=例1 求解：因为所以 故有=例2求解：因为 所以 故有例2求解：因为 所以 故有例3 求解：（1）先求不定积分设所以 =所以 =例3 求解：（1）先求不定积分设所以 =所以 （2）再求定积分 （2）再求定积分 例4 求解: 所以 例4 求解: 所以 （三）定积分的

9、换元积分法 定理6.3 如果函数在上连续，且函数在上有连续导数，当时，有,则有（三）定积分的换元积分法 定理6.3 如果函数在上连续，且例5 求解：设当x=0时，t=0；当x=1时，t=1，则有 例5 求解：设当x=0时，t=0；当x=1时，t=1，则有例6 求解：例7 求解： 例6 求解：例7 求解： 例8 求解： 例8 求解： 例9 求解： 设当所以 例9 求解： 设当所以 （四）定积分的分部积分法可得 即 在则由导数的乘法法则设函数上连续且可导， 或 （四）定积分的分部积分法可得 即 例10 求解： 例10 求解： 例11 求解： 例11 求解： 例12 求解：整理，得 例12 求解：整

10、理，得 （1） （2）（3）（4）练习6.31、求下列函数的导数2、求下列定积分 （1）（2）（3） （4）（5） （6）（1） （2）（3）（4）练习6.31、求下列函数的导数2、3、利用换元积分法求下列定积分 （1） （2）（3）（4）（5） （6）（7） （8）（9）（10）3、利用换元积分法求下列定积分 （1） （2）（3）（4）（1）（2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）4、利用分部积分法求下列定积分（1）（2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）4、利6.4 广义积分（一）无穷区间上的广义积分 定义6.3 设函数在上是连续函数，对于任意的，如果极限 存在，则称此极限

11、为在无穷区间上的广义积分，记作即这时称广义积分收敛，若极限不存在，则称广义积分发散。 6.4 广义积分（一）无穷区间上的广义积分 定义6.3 定义6.4 设函数在c为任意的实数，如果广义积分 与上是连续函数，都收敛，则称上述两个广义积分之和为在无穷区间内的广义积分，记作 ，即+这时称广义积分收敛，否则称为发散。定义6.4 设函数在c为任意的实数，如果广义积分 与上例1 求广义积分解：被积函数在内是连续函数，所以广义积分 ，有 所以任取一实数例1 求广义积分解：被积函数在内是连续函数，所以广义积分 例2 求广义积分解：被积函数在内是连续函数，有所以任取一实数所以广义积分 发散。例2 求广义积分解

12、：被积函数在内是连续函数，有所以任取一（二）无界函数的广义积分定义6.5 设函数在区间上连续，且，对于任取的正数，如果极限 存在，则称此极限为在上的广义积分，记作，即 这时称广义积分收敛；否则称为发散。 （二）无界函数的广义积分定义6.5 设函数在区间上连续，且则称上述两个广义积分的和是在上的广义积分，记作定义6.8 若函数在区间上除点外连续，且，如果广义积分 都收敛，此时称广义积分收敛；否则称为发散。 则称上述两个广义积分的和是在上的广义积分，记作定义6.8 例3 求广义积分解：因为当所以被积函数时无界。由定义，对于任意的正数，有所以广义积分发散例3 求广义积分解：因为当所以被积函数时无界。

13、由定义，对于例4 求广义积分解：当时，被积函数所以是无界函数的广义积分。对于任意的正数，有 例4 求广义积分解：当时，被积函数所以是无界函数的广义积分练习6.4（1）（2）（3）（4）（5）（6）求下列广义积分练习6.4（1）（2）（3）（4）（5）（6）求下列广义积分6.5 定积分在几何上的应用 （一）平面图形的面积由连续曲线，直线x=a,x=b和x轴所确定的曲边梯形的面积公式有 （1）当时，（见图（a），所以有公式（2）当时，（见图（b），故有公式6.5 定积分在几何上的应用 （一）平面图形的面积由连续定积分的概念94315课件 （3）在上，有正有负，（见图（c），则有公式（4）(见图（d

14、）)面积公式为：（4）由两条曲线和直线x=a,X=b所围成的平面区域的面积 定积分的概念94315课件例1 求曲线，直线x=0,x=3和x轴所围成的曲边梯形的面积（见图阴影部分）上，函数都是正数，所以利用解：因为在公式有 例1 求曲线，直线x=0,x=3和x轴所围成的曲边梯形的面例2 求曲线和直线所围成的图形的面积。解：如图所示，在上有：故应用公式阴影部分的面积为 = 例2 求曲线和直线所围成的图形的面积。解：如图所示，在上有 例3 求由曲线，直线所围成的图形的面积。解： 第一步：求交点，找出x的取值范围 （1） 。故是曲线与直线的交点 （2）。故是曲线与直线的交点。 例3 求由曲线，直线所围

15、成的图形的面积。解： 第一步：求交由图所示： 由图所示： （二）旋转体的体积求由连续曲线和直线x=a,x=b和x轴所围成的图形绕着x轴旋转而得到的旋转体的体积（见图（a）（二）旋转体的体积求由连续曲线和直线x=a,x=b和x轴所围由曲线，直线y=a,y=b和y轴所围成的图形绕着y轴旋转而得到的体积公式为 是积分变量为x的旋转体体积公式 任取上的一点x（见图（b），相应地有函数与之对应。以为半径绕x轴旋转一周，得到一个，所以区间上的几何体的体积为圆面，面积为由曲线，直线y=a,y=b和y轴所围成的图形绕着y轴旋转而得例 求由连续曲线和直线和x轴所围成的图形绕x轴旋转所成旋转体的体积。解：如图，由体