气候统计第四章 (2) 因子分析课件

1、4.4因子分析 因子分析是寻找对观察结果起支配作用的潜在因子（潜变量，latent variable) 的探索性统计分析方法。基本目的就是用少数几个因子去描述许多指标之间的关系，将关系比较密切的几个变量归为同一类中，每一类变量就称为一个因子（之所以称其为因子，因为它是不可观测的，既不是具体变量，故也称潜在因子），以少数几个因子反映原始资料的大部分信息。 因子分析涉及的计算与主成分相似，但在分析内容上有很大区别。 因子分析的意义 因子分析首先在心理学领域里发展起来，1904年斯彼尔曼在（C.Speraman）在对高级预备学校部分学生成绩分析中发现，各科成绩有一定的相关性，所得相关矩阵如下：科目古

2、典语x1法语x2英语x3数学x4判别x5音乐x6古典语x110.830.780.70.660.63法语x210.670.670.650.57英语x310.640.540.51数学x410.50.051判别x510.4音乐x61 从上述矩阵可以看出，除对角线元素外，各科成绩间的相关系数从左到右呈递减趋势，相近学科（如语言类）的成绩相关系数较大，因此斯彼尔曼认为某一学科的成绩xi 是受到对所有科目都有影响的公共因子f和对该科目成绩有特殊作用的因子ei的作用，用公式表示为： 把f通称公共因子，ai称为因子载荷，而ei称为特殊因子。在斯彼尔曼的例子里，可以认为考试成绩受一般智力因子f和某学科特殊因子e

3、i的影响。 一、因子分析的一般模型假设 对p个气象变量进行因子分析的目的是研究它们有哪些共同因素，哪些是特殊因素，这些因素在变量分析中起什么作用。为研究方便，设这些变量已进行标准化，可以表示为： 由上可见因子分析是将一组有着复杂关系的变量分解为所有变量共同具有的公共因子和每个原始变量独有的特殊因子。 即 因子分析的目的就是对原始变量寻求公共因子，以分析和简化存在于原变量之间的复杂关系，将具有相同本质的变量归结为一个因子，使分散而复杂的数据趋于整体化、简单化。对样本矩阵：(4.4.3)2.公共因子是标准化变量，各公共因子之间是无关的：3.各特殊因子之间是无关的。 二、公共因子分析过程 设原始数据

4、矩阵为：1.对原始数据标准化：令：(4.4.5)(4.4.4)(4.4.6)代入（4.4.4）4.求因子载荷矩阵APM 根据公共因子数m,可将（4.4.7）写为 则有（4.4.2）因子模型： A称为因子载荷矩阵，F称为公共因子矩阵，E称为特殊因子矩阵。根据主成分的正交性（独立性）的性质，原变量是标准化变量时的因子载荷阵的主要性质。）因子载荷ik,表示第k个公共因子在第i个原变量上的作用。统计上表现为fk和xi的相关系数。证：可证满足模型假设1、2。由模型假定1、22）载荷阵APP的行元素的平方和为1：而载荷阵APm的行元素的平方和 称为共同度，它表示全部公共因子对变量xi的总方差的贡献大小，反映xi的代表性、公共性。 表现为fk对xi的方差贡献。 称为特殊因子方差。3）载荷阵APP的列元素的平方和 称为公共因子fk的方差贡献。 公共因子fk对所有原变量的方差贡献为其对应的特征值。结论：1、 最大，即2月份的公共性最大，说明2月份最具代表性，这与通常以1月份为冬季气温的代表月份是不同的。2、第一公共因子与12月份气温的相关系数最大，可以说第一公共因子反映12月份；而第二公共因子反映2月份。m个公共因子是正交的